Abituraufgaben 2018 – Analysis 1

 

Inhaltsverzeichnis

 

Aufgaben

Die Abbildung zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Realität; die x-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.

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Die Kugel wird aus der Ruhelage (R) beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt (A) die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d. h. der Abstand zwischen dem Punkt (0|0) und dem Auftreffpunkt auf dem Boden.

Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion f mit

    \begin{equation*} f(x)=0.4 + 1.6 \cdot e^{0.5x} \quad \textit{und} \quad x \in [-2;0] \end{equation*}

beschrieben werden.

 

 

Funktion f

    1. Berechnen Sie die Länge der Strecke \overline{RA} mit R(-2|f(-2)), die näherungsweise der Länge der Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt entspricht.

      (2 P)

 

    1. Berechnen Sie den Abstand der Kugel von der zur y-Achse parallelen Gerade durch R, wenn sie sich in der Hand der Athletin 1.50 m über dem Boden befindet.

      (4 P)

 

  1. Während eines Stoßes wurde die Höhe der Kugel über dem Boden an fünf Stellen gemessen. Die fünf Stellen werden im Modell durch die x-Werte x_1 bis x_5 dargestellt, die gemessenen Höhen werden mit h_1 bis h_5 bezeichnet.Beurteilen Sie die folgende Aussage:


    Wenn der Wert des Terms

        \begin{equation*} \mathlarger{\Biggl | \sum_{i=1}^5\big(h_i-f(x_i) \big) \Biggl | } \end{equation*}


    klein ist, dann werden die gemessenen Höhen durch die Werte, die das Modell liefert, gut beschrieben.

    (3 P)

LÖSUNG

 

 

Funktionenschar

Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der Funktionen p_a mit

    \[ p_a(x)=-ax^2+bx+2 \quad \textit{und} \quad a>0 \]

beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt A keinen Knick auf.

  1. Ermitteln Sie den Wert von b.

    (4 P)

Verwenden Sie im Folgenden p_a mit

    \[p_a(x)=-ax^2+0.8x+2\]

.

 

    1. Berechnen Sie denjenigen Wert von a, für den der Graph von p_a durch den Punkt (3|3.5) verläuft.

      (2 P)

 

    1. Bei der Flugkurve zu a=0.1 beträgt die Stoßweite 10 m. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Kugel auf den Boden auftrifft.

      (3 P)

 

    1. Zeigen Sie, dass \left(\frac{0.4}{a}\bigl|2+\frac{0.16}{a}\right) der einzige Hochpunkt des Graphen von p_a ist.

      (4 P)

 

  1. Weisen Sie nach, dass die Hochpunkte aller Graphen von p_a auf einer gemeinsamen Gerade liegen.

    (3 P)

LÖSUNG

 

 

Parameter a

Der Zusammenhang zwischen den Werten von a und den Stoßweiten s mit

    \begin{equation*} s>0 \end{equation*}

lässt sich durch die Gleichung

    \begin{equation*} \begin{array}{ l } a=\frac{0.8}{s}+\frac{2}{s^2} \end{array} \end{equation*}

darstellen.

    1. Leiten Sie diese Gleichung her.

      (3 P)

 

  1. Bei einem Stoß beträgt die Stoßweite 20 m. Berechnen Sie die größte Höhe über dem Boden, die die Kugel bei diesem Stoß erreicht.

    (4 P)

LÖSUNG

 

 

Funktion g

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion g mit

    \begin{equation*} g(s)=\frac{0.8}{s}+\frac{2}{s^2} \quad \textit{mit} \quad s>0 \end{equation*}

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    1. Geben Sie eine Stammfunktion von g an.

      (2 P)

 

    1. Zeichnen Sie in die Abbildung (Arbeitsblatt) die beiden Parallelen zur s-Achse ein, die durch die Punkte des Graphen mit den s-Koordinaten 2 bzw. 10 verlaufen.

      (2 P)

 

  1. Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph mit der y-Achse und den beiden eingezeichneten Parallelen einschließt.

    (4 P)

LÖSUNG

Aufgaben zum Ausdrucken: Abitur 2018, Analysis, 1. Aufgabe, Schleswig-Holstein als PDF





 

Lösungen

Lösung : Funktion f

Aufgabe 1 – Strecke von R nach A

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Zur Berechnung der Strecke \overline{RA} kann eine rechtwinkliges Steigungsdreieck mit den Kathetenlängen 2 und 1 konstruiert werden. Die Strecke wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

    \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{ r c l l } c^2 & = & a^2 + b^2 & \\ \overline{RA}^2 & = & 2^2 + 1^2 & \\ \overline{RA}^2 & = & 5 & \bigl| \hspace{2pt}\sqrt{\dots} \\ \overline{RA} & = & \sqrt{5} & \\ \overline{RA} & \approx & 2.236 & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \end{equation*}

 

Aufgabe 2 – Abstand Kugel zur Geraden

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Wir wissen, dass die Kugel die Höhe 1.5 m hat und setzen f(x)=1.5

    \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{ r c l l } 1.5 & = & 0.4 + 1.6 \cdot e^{0.5x} & \bigl| \hspace{2pt} -0.4 \\ 1.1 & = & 1.6 \cdot e^{0.5x} & \bigl| \hspace{2pt} :1.6 \\ \frac{11}{16} & = & e^{0.5x} & \bigl|\hspace{2pt} ln \\ ln \left(\frac{11}{16}\right) & = & 0.5x & \bigl| \hspace{2pt} \cdot 2 \\ 2 \cdot ln \left(\frac{11}{16}\right) & = & x & \\ x & \approx & -0.75 & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \end{equation*}

Der Abstand zur Gerade durch den Punkt R beträgt

    \begin{equation*} -0.75- (-2) = 1.25 \textit{ m} \end{equation*}

 

Aufgabe 3 – Aussage

Der Term

    \begin{equation*} h-f(x) \end{equation*}

beschreibt die Höhenabweichung der gemessenen Werte zu dem Graphen von f.

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Der Term

    \begin{equation*} \mathlarger{\Biggl| \sum_{i=1}^5\left( h_i-f(x_i \right) \Biggl| } =\bigl| \big( h_1 - f(x_1)\big) +\big( h_2 - f(x_2)\big) +\big( h_3 - f(x_3)\big) +\big( h_4 - f(x_4)\big) +\big( h_5 - f(x_5)\big) \bigl| \end{equation*}

berechnet die Summe aller Messabweichungen zu dem Graphen von f.

Die Aussage besagt also:
Ist die Summe der einzelnen Abweichungen vom Funktionswert von f klein, so ist die Modellierung mit f(x) ein gute Beschreibung der Flugbahn im Intervall [-2; 0].

Auf den ersten Blick scheint diese Aussage richtig zu sein. Ob dem wirklich so ist überprüfen wir jetzt.

Gilt die Aussage für alle Fälle? Schauen wir, ob es einen Fall gibt für den die Aussage nicht gilt. Dazu konstruieren wir einen Fall:

Wir nehmen an, dass der Punkt R und der Punkt A eingehalten werden und brauchen 3 weitere Messwerte. Wir nehmen

    \begin{equation*} P_2(-1.5|1.3), \qquad P_3(-1|1.35), \qquad P_4(-0.5|1.5) \end{equation*}

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Diese konstruierte Wurfbahn ist natürlich recht unrealistisch. Aber es soll hier ja ausschließlich die Qualität des Terms untersucht werden.

Wir berechnen nun die Summe der Höhenabweichungen mit dem Term.

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{array}{ l } \bigl| \big( 1 - f(x_1)\big) +\big( 1.3 - f(x_2)\big) +\big( 1.35 - f(x_3)\big) +\big( 1.5 - f(x_4)\big) +\big( 2 - f(x_5)\big) \bigl| \\ =| ( 1 - 1) + ( 1.3 - 1.156) + ( 1.35 - 1.370) + ( 1.5 - 1.646) + ( 2 - 2) | \\ =| 0+0.144-0.02-0.146+0 | \\ =|-0.022 | \\ = 0.022 \text{ m } = 2.2 \text{ cm}\\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Mit 2.2 cm Gesamtabweichung erfüllen wir die Voraussetzung der Aussage. Allerdings haben wir zweimal eine Höhenabweichung von mehr als 14 cm vom Graphen von f, so dass der Graph von f keine geeignete Modellierung von dieser Wurfbahn ist.

Zusatzinformationen

Um das noch weiter zu deutlichen wird jetzt einmal weit über die Fragestellung hinaus gegangen. Dazu nehmen wir eine waagerechte Linie mit abweichenden Punkten ober- und unterhalb der Linie, d. h. Punkte mit positiven und negativen Abweichungen von der Linie:

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Zählen wir alle Abweichungen zusammen, so heben sich die Abweichungen teilweise gegenseitig auf, was das Gesamtergebnis verfälscht.

Werden hingegen alle negativen Abweichungen nach oben geklappt,

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wie es hier zu sehen ist, so bekommen wir ein realistisches Gesamtergebnis mit dem Term. Wir brauchen also die Beträge der einzelnen Abweichungen (vergleiche auch: Streuungsmaße). Ein Term, der das berücksichtigt, würde lauten

    \begin{equation*} \mathlarger{ \sum_{i=1}^5\bigl | h_i-f(x_i) \bigl | } \end{equation*}

Berechnen wir nun die Abweichungen der Wurfbahn, so erhalten wir:

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{array}{ l } \bigl|1 - f(x_1)\bigl| +\bigl| 1.3 - f(x_2)\bigl| +\bigl| 1.35 - f(x_3)\bigl| +\bigl| 1.5 - f(x_4)\bigl| +\bigl| 2 - f(x_5)\bigl| \bigl| \\ =| 1 - 1| + |1.3 - 1.156| + | 1.35 - 1.370|+ |1.5 - 1.646| + |2 - 2 | \\ =| 0| + |0.144| + |-0.02| + |-0.146| + |0 | \\ =0.144 + 0.02 + 0.146 \\ = 0.31 \text{ m } = 31 \text{ cm}\\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Mit diesem Term bekommen wir dann auch ein Ergebnis, mit dem die Voraussetzung der Aussage nicht erfüllt wird und wir können davon ausgehen, dass der Graph von f keine geeignete Modellierung dieser Wurfbahn ist. Damit bleibt dann die Richtigkeit der Aussage gewahrt.

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Lösung : Funktionenschar

Aufgabe 1 – Achsenabschnitt b

p_a ist im Punkt A knickfrei und hat damit an der Stelle x=0 die gleiche Steigung wie f und wir stellen fest:

    \begin{equation*} p_a'(0)=f\/'(0) \end{equation*}

Wir benötigen zunächst die Ableitung von f

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.2} \begin{array}{ r c l } f\/'(x) & = & 0.5 \cdot 1.6 e^{0.5x}\\ f\/'(x) & = & 0.8 \cdot e^{0.5x}\\ f\/'(0) & = & 0.8 \cdot e^{0.5 \cdot 0}\\ f\/'(0) & = & 0.8 \cdot e^0\\ f\/'(0) & = & 0.8 \cdot 1\\ f\/'(0) & = & 0.8\\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

und weiter die Ableitung von p_a.

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.2} \begin{array}{ r c l } p_a'(x) & = & -2 ax + b \\ p_a'(0) & = & -2 a \cdot 0 + b \\ p_a'(0) & = & b \\ f\/'(0) & = & b \\ 0.8 & = & b \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.5} \end{equation*}

 

Aufgabe 2 – Parameter a

Punkt (3|3.5) in p_a eingesetzt:

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.2} \begin{array}{ r c l l } p_a(x) & = & - ax^2 + 0.8x + 2 &\\ 3.5 & = & - a \cdot 3^2 + 0.8 \cdot 3 + 2 & \\ 3.5 & = & - 9a + 4.4 & \bigl| +9a\\ 9a + 3.5 & = & 4.4 & \bigl| -3.5\\ 9a & = & 0.9 & \bigl| :9\\ a & = & 0.1 & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

 

Aufgabe 3 – Auftreffwinkel

Der Winkel, unter dem die Kugel bei x=10 auf den Boden auftrifft, lässt sich berechnen mit

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.2} \begin{array}{ r c l } tan(\alpha) & = & p_{0.1}'(x) \\ tan(\alpha) & = & -2 ax + 0.8 \\ tan(\alpha) & = & -0.2 \cdot 10 + 0.8 \\ tan(\alpha) & = & -1.2 \\ \alpha & = & tan^{-1}( -1.2 ) \\ \alpha & = & -50.19^\circ \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \end{equation*}

Die Kugel trifft unter einem Winkel von 50.19° auf dem Boden auf.

 

Aufgabe 4 – Hochpunkt

notwendige Bedingung: \mathbf{p_a'(x)=0}

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.3} \begin{array}{ r c l l } p_a'(x) & = & -2 ax + 0.8 & \\ 0 & = & -2 ax + 0.8 & \bigl| +2ax\\ 2ax & = & 0.8 & \bigl| :2a\\ x & = & \frac{0.4}{a} & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \end{equation*}

hinreichende Bedingung: \mathbf{p_a''(x) \not= 0}

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{array}{ r c l c l } p_a''(x) & = & -2 a & , & a>0\\ p_a''( \frac{0.4}{a}) & = & -2 a & < & 0 \quad \Rightarrow Hochpunkt\\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \end{equation*}

Funktionswert

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{array}{ r c l } p_a(\frac{0.4}{a}) & = & - a \cdot \left(\frac{0.4}{a} \right)^2 + 0.8 \cdot \frac{0.4}{a} + 2\\ p_a(\frac{0.4}{a}) & = & - a \cdot \frac{0.4^2}{a^2} + \frac{0.32}{a} + 2\\ p_a(\frac{0.4}{a}) & = & - \frac{0.16a}{a^2} + \frac{0.32}{a} + 2\\ p_a(\frac{0.4}{a}) & = & - \frac{0.16}{a} + \frac{0.32}{a} + 2\\ p_a(\frac{0.4}{a}) & = & 2 + \frac{0.16}{a} \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \end{equation*}

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } \quad \Rightarrow H\left(\frac{0.4}{a} \bigl| 2 + \frac{0.16}{a}\right) \\ \end{array} \end{equation*}

 

Aufgabe 5 – Ortsgerade

  1. x=\frac{0.4}{a}
  2. y=2 + \frac{0.16}{a}

 

  1. x nach a auflösen:\renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{array}{ r c l l } x & = & \frac{0.4}{a} & \bigl| \cdot a \\ ax & = & 0.4 & \bigl| :x\\ a & = & \frac{0.4}{x} & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1}
  2. a in y einsetzen:\renewcommand\arraystretch{2.2} \begin{array}{ r c l } y & = & 2 + \mathlarger{\frac{0.16}{\frac{0.4}{x}}} \qquad \textit{durch Bruch teilen:} \Rightarrow \textit{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\ y & = & 2 + 0.16 \cdot \mathlarger{{\frac{x}{0.4}}} \\ y & = & 0.4 x + 2 \qquad \Rightarrow \quad \textit{Geradengleichung vom Typ: } y=mx + b\\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1}

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Lösung : Parameter a

Aufgabe 1 – Herleitung

Die Stoßweite s entspricht der Nullstelle N(s|0) beim Auftreffen der Kugel auf dem Boden. Wir setzen in p_a ein:

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{array}{ r c l l } 0 & = & - as^2 + 0.8s + 2 & \bigl| +as^2\\ as^2 & = & 0.8s + 2 & \bigl| : s^2\\ a & = & \frac{0.8s}{s^2}+ \frac{2}{s^2} & \\ a & = & \frac{0.8}{s} + \frac{2}{s^2} & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

 

Aufgabe 2 – größte Höhe

Bei einer Stoßweite von 20 m ist s=20. Daraus folgt

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{array}{ r c l } a & = & \frac{0.8}{s} + \frac{2}{s^2} \\ a & = & \frac{0.8}{20} + \frac{2}{20^2} \\ a & = & 0.045 \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Die größte Höhe befindet sich beim Hochpunkt. Mit der Beschreibung des Hochpunktes

H\left(\frac{0.4}{a} \bigl| 2 + \frac{0.16}{a}\right)

ermitteln wir die größte Höhe mit

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{array}{ r c l } h & = & 2 + \frac{0.16}{0.045}\\ h & \approx & 5.56 \textrm{ m}\\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation}

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Lösung : Funktion g

Aufgabe 1 – Stammfunktion

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{array}{ l } g(s)=\frac{0.8}{s}+\frac{2}{s^2} \\ g(s)=0.8 \cdot \frac{1}{s}+2 \cdot s^{-2} \\ G(s)=0.8 \cdot ln(s)+\frac{2}{-1} \cdot s^{-1} \\ G(s)=0.8 \cdot ln(s)-2 \cdot s^{-1} \\ G(s)=0.8 \cdot ln(s)-2 \cdot \frac{1}{s} \\ G(s)=0.8 \cdot ln(s)-\frac{2}{s} \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

beachte: f(x)=ln(x) \quad \Rightarrow f\/'(x)=\frac{1}{x} \quad mit \quad x>0

 

Aufgabe 2 – Skizze

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Aufgabe 3 – Fläche

Die Fläche besteht aus dem Rechteck an der y-Achse und der Fläche unter der Kurve im Intervall [2;10] ohne das Rechteck unter der unteren Parallele. Wir erhalten die Fläche mit

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{2.8} \begin{array}{ r c l } A & = & 2 \cdot 0.8 + \mathlarger{\int}_2^{10}g(x)dx - 8 \cdot 0.1 \\ A & = & 1.6 - 0.8 + \mathlarger{\int}_2^{10} \left(\frac{0.8}{s}+\frac{2}{s^2} \right) dx \\ A & \approx & 2.888 \textit{ FE}\\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

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