Abituraufgaben 2018 – Analysis 2

 

Inhaltsverzeichnis

 

Aufgaben

Da das Grillen im Winter immer beliebter wird, untersucht der Hersteller eines Gasgrills den Temperaturverlauf während eines Grillvorgangs bei einer Umgebungstemperatur von 8°C.
Zwei Minuten nach Beginn der Messung wird der Deckel für einen gewissen Zeitraum geöffnet, um Grillgut aufzulegen. Die durch den Temperaturfühler im Deckel gewonnenen Messpunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion f mit

    \begin{equation*} f(t) = -t^4 + \frac{56}{3} t^3 - 112 t^2 +256t + 8; 0 \leq t \leq 9, \end{equation*}

Dabei gibt t die Zeit in Minuten und f(t) die Temperatur am Temperaturfühler in °C an.

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Funktion f

  1. Bestimmen Sie mithilfe der Graphik auf dem Arbeitsblatt sowohl die Temperatur als auch die momentane Temperaturänderungsrate sechs Minuten nach Beginn der Messung.

    (4 P)

  2.  

  3. Berechnen Sie die maximale Temperatur.

    (6 P)

  4.  

  5. Berechnen Sie die durchschnittliche Temperatur über dem Zeitintervall [0;9].

    (3 P)

  6.  

  7. Der Hersteller behauptet, dass die momentane Temperaturänderungsrate zu Beginn des Grillvorgangs 5°C pro Sekunde erreicht. Zeigen Sie rechnerisch, dass diese Behauptung bei dem untersuchten Grillvorgang nicht zutrifft.

    (3 P)

LÖSUNG

 

 

Funktionenschar

Nach 9 Minuten kühlt der ausgeschaltete Grill bei geöffneten Deckel weiter ab. Die bei der Abkühlung gewonnenen Messpunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion g_{a;b} mit

    \begin{equation*} g_{a;b}(t) = a \cdot e^{-b \cdot (t-9)} + 7 \quad ; \quad 9 \leq t \leq 20 \quad ; \quad a > 0 \quad ; \quad b>0. \end{equation*}

Es gilt

    \begin{equation*} g_{a;b}'(t) = - a \cdot b \cdot e^{-b \cdot (t-9)} . \end{equation*}

  1. Beweisen Sie, dass die Graphen der Funktionen g_{a;b} für alle a>0 und b>0 an jeder Stelle t fallen.

    (2 P)

  2.  

  3. Die Graphen der Funktionen g_{a;b}'' verlaufen für alle a>0 und b>0 vollständig oberhalb der t-Achse. Erläutern Sie die Bedeutung dieser Eigenschaft für die Graphen der Funktion g_{a;b}.

    (2 P)

  4.  

  5. Auf dem Arbeitsblatt ist der Graph einer Funktion g_{a;b} abgebildet, der knickfrei an den Graphen von f anschließt. Bestimmen Sie die zugehörigen Parameter a und b.

    (5 P)

LÖSUNG

 

 

Funktion g

Im Folgenden wird die Funktion g mit

    \begin{equation*} g(t)=g_{280;0.5}(t) = 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (t-9)} + 7 \quad ; \quad 9 \leq t \leq 20 \end{equation*}

und die durch die Funktion g beschriebene Abkühlungsphase betrachtet.

  1. Ermitteln Sie den Zeitpunkt t, an dem die momentane Temperaturänderungsrate gleich der mittleren Temperaturänderungsrate der Abkühlungsphase ist.

    (4 P)

  2.  

  3. Berechnen Sie das zweiminütige Zeitintervall, in dem die Temperatur um genau 100°C sinkt.

    (3 P)

LÖSUNG

 

 

Fläche F

Der Graph von f, der Graph von g und die t-Achse begrenzen über dem Intervall [0;20] eine Fläche F.

  1. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche F.
     

        \begin{equation*} [Kontrolle: A \approx 2666.91] \end{equation*}

    (3 P)

  2.  

  3. Durch den Punkt M(m|0) verläuft eine zur y-Achse parallele Gerade, die die Fläche F in zwei flächeninhaltsgleiche Teile zerlegt. Ermitteln Sie den Wert m.

    (5 P)

LÖSUNG

 
Aufgaben zum Ausdrucken: Abitur 2018, Analysis, 2. Aufgabe, Schleswig-Holstein als PDF





 

Lösungen

Lösung : Funktion f

Aufgabe 1 – Daten ablesen

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Die Temperatur ist f(6)=250°C und die momentane Temperaturänderungsrate nach 6 Minuten ist die Steigung der Tangente bei x=6.
Wir zeichnen also eine Tangente ein und lesen die Werte ab.

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } m= \frac{\mathsmaller{\Delta} y}{\mathsmaller{\Delta} x} = \frac{100}{1.5} = \frac{200}{3} \approx 66.7 \frac{^\circ C}{min} \end{array} \end{equation*}

Je nachdem wie genau die Tangente wird, gibt es hier tolerierbare Abweichungen.

 

 

Aufgabe 2 – maximale Temperatur

Wir berechnen die Extrempunkte und benötigen mit der

notwendigen Bedingung: f'(t)=0

die 1. Ableitung:

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } f\/'(t)=-4t^3 + 56t^2 - 224t + 256 \end{array} \end{equation*}

und setzen sich gleich Null:

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } 0 = -4t^3 + 56t^2 - 224t + 256 \\ \end{array} \end{equation*}

Mit dem Taschenrechner, z. B. den Casio fx-991 DE X mit der Funktion

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } menu \rightarrow A \rightarrow 2 \\ \end{array} \end{equation*}

erhalten wir

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } x_1=8, \qquad x_2=4, \qquad x_3=2 \\ \end{array} \end{equation*}

Weiter überprüfen wir die Werte mit der 2. Ableitung, wobei die

hinreichende Bedingung: f“(t) \mathbf{\not= 0}

gilt.

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{array}{ r c l c r c c } f\/''(t) & = & -12t^2 + 112t - 224 & & & & \\ f\/''(2) & = & -12 \cdot 2^2 + 112 \cdot 2 - 224 & = & -48 & <0 & \Rightarrow Hochpunkt \\ f\/''(4) & = & -12 \cdot 4^2 + 112 \cdot 4 - 224 & = & 32 & >0 & \Rightarrow Tiefpunkt \\ f\/''(8) & = & -12 \cdot 8^2 + 112 \cdot 8 - 224 & = & -96 & <0 & \Rightarrow Hochpunkt \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Funktionswerte

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{array}{ r c l l l l } f (2) & = & -2^4 + \frac{56}{3}\cdot 2^3 - 112 \cdot 2^2 +256 \cdot 2 + 8 & = & \frac{616}{3} & \approx 205.33 \\ f (4) & = & -4^4 + \frac{56}{3}\cdot 4^3 - 112 \cdot 4^2 +256 \cdot 4 + 8 & = & \frac{536}{3} & \approx 178.67 \\ f (8) & = & -8^4 + \frac{56}{3}\cdot 8^3 - 112 \cdot 8^2 +256 \cdot 8 + 8 & = & \frac{1048}{3} & \approx 349.33 \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Wir erhalten also die Punkte

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } H_1(2|205.33), \qquad T(4|178.67), \qquad H_2(8|349.33) \\ \end{array} \end{equation*}

Damit liegt die maximale Temperatur bei 349.33°C.

 

 

Aufgabe 3 – durchschnittliche Temperatur

Die durchschnittliche Temperatur berechnen wir mit der Mittelwertsformel

    \begin{equation*} \begin{array}{ * {7}{ l } } \hspace{-20pt} \overline{m} & = & \frac{1}{b-a}\mathlarger{\int}_a^b f(x)dx & = & \frac{1}{9-0}\mathlarger{\int}_0^9 \left(-t^4 + \frac{56}{3} t^3 - 112 t^2 +256t + 8\right) dt & = & 225.8^\circ C \\ \end{array} \end{equation*}

 

 

Aufgabe 4 – momentane Temperaturänderungsrate

Die momentane Temperaturänderungsrate, siehe Tabelle,

mittlere und momentane Änderungsrate

zu Beginn des Grillvorgangs, dass heißt, die Tangentensteigung bei x=0, wird mit der 1. Ableitung berechnet.

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } f\/'(0)=-4 \cdot 0^3 + 56 \cdot 0^2 - 224 \cdot 0 + 256 = 256 \frac{^\circ C}{min} = 4.27 \frac{^\circ C}{sec} \end{array} \end{equation*}

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Lösung : Funktionenschar

Aufgabe 1 – fallende Funktion

Wenn die Steigung kleiner als Null, also f_{a;b}'(t)<0, ist, so ist die Funktion fallend an jeder Stelle t. Wir wissen, dass a>0 und b>0 ist und untersuchen e^{-b \cdot (t-9)}. Dazu schauen wir uns die Verläufe der e-Funktionen an.

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Egal ob im Exponenten ein positives oder negatives Vorzeichen steht, die Exponentialfunktion hat immer einen positiven Funktionswert wie oben dargestellt. Es folgt

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } e^{-b \cdot (t-9)} >0 \end{array} \end{equation*}

Daraus ergibt sich

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } g_{a;b}'(t) = - a \cdot b \cdot e^{-b \cdot (t-9)} <0 \quad \text{mit} \quad a>0 \quad \text{und} \quad b>0 \end{array} \end{equation*}

für alle t. Die Graphen der Funktionenschar sind also an jeder Stelle fallend.

 

 

Aufgabe 2 – Linkskrümmung

Wenn der Graph der 2. Ableitung oberhalb der t-Achse verläuft, so ist g_{a;b}''(t) an jeder Stelle t positiv. Das heißt, dass die Krümmung positiv ist und somit über den ganzen Verlauf des Graphen wie hier dargestellt eine Linkskrümmung vorliegt.

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Wenn wir uns den Graphen flach auf den Boden gelegt als eine Straße vorstellen, auf der wir entlang fahren, so würden wir von links nach rechts permanent eine Linkskurve fahren.

 

 

Aufgabe 3 – Parameter a und b

Für \mathbf{g_{a;b}''(t)} muss

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.4} \begin{array}{ r r c l } \text{I} & g_{a;b}(9) & = & f(9) \\ \text{II} & g_{a;b}'(9) & = & f\/'(9) \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

gelten, denn an der Stelle t=9 gehen beide Funktionsgraphen durch denselben Punkt und haben dort die gleiche Steigung.

Gleichung I :

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.4} \begin{array}{ r r l l } a \cdot b e^{b \cdot (9-9)} + 7 & = & -9^4 + \frac{56}{3}\cdot 9^3 -112 \cdot 9^2 + 256 \cdot 9 + 8 & \\ a \cdot e^0 + 7 & = & 287 & \bigl| -7\\ a \cdot 1 & = & 280 & \\ a & = & 280 & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Gleichung II :

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.4} \begin{array}{ r r l l } - a \cdot b \cdot e^{-b \cdot (9-9)} & = & -4 \cdot 9^3 + 56 \cdot 9^2 - 224 \cdot 9 + 256 & \\ - a \cdot b & = & -140 & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

a eingesetzt in Gleichung II :

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.4} \begin{array}{ r r l l } - 280 \cdot b & = & -140 & \bigl| :(-280)\\ b & = & \frac{1}{2} & \\ b & = & 0.5 & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Wir erhalten

    \begin{equation*} \begin{array}{ c } g_{280;0.5}(t) = 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (t-9)} + 7 \end{array} \end{equation*}

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Lösung : Funktion g

Aufgabe 1 – gleiche Temperaturänderungsrate

Für die mittlere und momentane Temperaturänderungsrate gilt (siehe auch Funktion f – Aufgabe 4):

m_s \; = \; \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \quad \textrm{und} \quad m_t \; = \; f\/'(x)

Die Steigungen der Tangente und der Sekante sollen gleich sein.

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Um den Zeitpunkt des Tangentenpunktes zu ermitteln, setzen wir

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.4} \begin{array}{ r r l l } f\/'(t) & = & \frac{g(20)-g(9)}{20-9} & \\ -4t^3 + 56t^2 - 224t + 256 & = & \frac{280 \cdot e^{-0.5 \cdot (20-9)}-287}{11} & \\ -4t^3 + 56t^2 - 224t + 256 & = & -25.35 & \bigl| +25.35\\ -4t^3 + 56t^2 - 224t + 281.35 & = & 0 & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Mit dem Taschenrechner erhalten wir

    \begin{equation*} \begin{array}{ r r l } t & = & 8.24 \hspace{3pt} \text{min nach Beginn der Messungen}\\ \end{array} \end{equation*}

 

Aufgabe 2 – Differenz von 100°C

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Das gesuchte Intervall ist I=[z ; z+2]. Es muss nach Aufgabenstellung gelten:

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{array}{ r c l l } g(z+2) & = & g(z) -100 &\\ 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (z+2-9)} + 7 & = & 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (z-9)} + 7 -100 & \bigl| -7\\ 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (z-7)} & = & 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (z-9)} -100 & \bigl| +100\\ 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (z-7)} + 100 & = & 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (z-9)} & \bigl| -280 \cdot e^{-0.5 \cdot (z-7)}\\ 100 & = & 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (z-9)}-280 \cdot e^{-0.5 \cdot (z-7)} & \bigl| Ausklammern\\ 100 & = & 280 \cdot \big(e^{-0.5 \cdot (z-9)}-e^{-0.5 \cdot (z-7)} \big) & \bigl| :280\\ \frac{5}{14} & = & e^{-0.5 \cdot (z-9)}-e^{-0.5 \cdot (z-7)} & \\ \frac{5}{14} & = & e^{-0.5 z+ 4.5}-e^{-0.5 z+ 3.5} & \bigl| Potenzgesetz \\ \frac{5}{14} & = & \frac{e^{4.5}}{e^{0.5 z}}-\frac{e^{3.5}}{e^{0.5 z}} & \\ \frac{5}{14} & = & \frac{e^{4.5}-e^{3.5}}{e^{0.5 z}} & \bigl| \cdot e^{0.5 z}\\ \frac{5}{14} \cdot e^{0.5 z} & = & e^{4.5}- e^{3.5} & \bigl| \cdot \frac{14}{5}\\ e^{0.5z} & = & \frac{14}{5} \cdot \big(e^{4.5}- e^{3.5}\big) & \bigl| ln\\ 0.5z & = & ln \Big( \frac{14}{5} \cdot \big(e^{4.5}- e^{3.5}\big) \Big)& \bigl| \cdot 2\\ z & = & 2 \cdot ln \Big( \frac{14}{5} \cdot \big(e^{4.5}- e^{3.5}\big) \Big) & \\ z & = & 10.1419 & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.8} \end{equation*}

    \begin{equation*} z + 2 = 10.1419 + 2 = 12.1419 \end{equation*}

Das gesuchte Zeitintervall ist ca. [10.1419;12.1419].

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Lösung : Fläche F

Aufgabe 1 – Flächeninhalt

Die Fläche wird mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung berechnet:

    \begin{equation*} A = \mathlarger{\int}_a^b f(x) dx =\Big[ F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a) \end{equation*}

Wir benötigen also die Stammfunktionen.

    \begin{equation*} \begin{array}{ c c c } F(t) & = & -\frac{1}{5}t^5 + \frac{14}{3}t^4 - \frac{112}{3}t^3 + 128 t^2 + 8t \end{array} \end{equation*}

Für die Stammfunktion von g formen wir g zunächst um.

    \begin{equation*} \begin{array}{ c c c c c } g(t) & = & 280 \cdot e^{-0.5 \cdot (t - 9)} & = & 280 \cdot e^{-0.5t + 4.5} \end{array} \end{equation*}

Wir leiten eine e-Funktion auf, indem wir durch die Ableitung des Exponenten teilen.

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{array}{ c c c } G(t) & = & \frac{280}{-0.5} \cdot e^{-0.5 \cdot (t - 9)} \\ G(t) & = & -560 \cdot e^{-0.5 \cdot (t - 9)} \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Für die gesamte Fläche gilt

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{2.8} \begin{array}{ r c l } A & = & \mathlarger{\int}_0^9 f(t) dt + \mathlarger{\int}_9^{20} g(t) dt \\ A & = & \mathlarger{\int}_0^9 \big(-t^4 + \frac{56}{3} t^3 - 112 t^2 +256t + 8 \big) dx + \mathlarger{\int}_9^{20} \big(280 \cdot e^{-0.5 \cdot (t - 9)}+7 \big) dx \\ A & = & \Big[-\frac{1}{5}t^5 + \frac{14}{3}t^4 - \frac{112}{3}t^3 + 128 t^2 + 8t \Big]_0^9 + \Big[ -560 \cdot e^{-0.5 \cdot (t - 9)}+7x\Big]_9^{20} \\ A & = & -\frac{1}{5}\cdot 9^5 + \frac{14}{3}\cdot 9^4 - \frac{112}{3}\cdot 9^3 + 128 \cdot 9^2 + 8\cdot 9 \\ & & - \Big(-\frac{1}{5}\cdot 0^5 + \frac{14}{3}\cdot 0^4 - \frac{112}{3}\cdot 0^3 + 128 \cdot 0^2 + 8\cdot 0 \Big) \\ & & +\bigg( \Big( -560 \cdot e^{-0.5 \cdot (20 - 9)}+ 7 \cdot 20 \Big) - \Big(-560 \cdot e^{-0.5 \cdot (9-9)} + 7 \cdot 9 \Big) \bigg) \\ A & = & 2666.91 \text{ FE} \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

 

 

Aufgabe 1 – Flächen zerlegen

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In der Integralfläche von wahrscheinlich f vom Intervall [0;m] liegt die Hälfte der Gesamtfläche von F. Es gilt

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{2.2} \begin{array}{ r c l l } \mathlarger{\int}_0^m f(t) dt & = & 0.5 \cdot 2666.91 &\\ \mathlarger{\int}_0^m \big( -t^4 + \frac{56}{3} t^3 - 112 t^2 +256t + 8\big) dt & = & 1333.455 &\\ \Big[ -\frac{1}{5}t^5 + \frac{14}{3}t^4 - \frac{112}{3}t^3 + 128 t^2 + 8t \Big]_0^m & = & 1333.455 &\\ -\frac{1}{5}m^5 + \frac{14}{3}m^4 - \frac{112}{3}m^3 + 128m^2 + 8m & = & 1333.455 & \bigl| -1333.455\\ -\frac{1}{5}m^5 + \frac{14}{3}m^4 - \frac{112}{3}m^3 + 128m^2 + 8m -1333.455 & = & 0 & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Näherung mit dem Newton-Verfahren

Eine Funktion 5. Grades lässt sich mit dem normalen Schultaschenrechner nicht mehr lösen (mit dem CAS-Rechner allerdings schon). Wir berechnen m mit dem Newton-Verfahren:

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Prinzip des Newton-Verfahrens

  1. Startpunkt wählen, der möglichst nah an der gesuchten Nullstelle liegt. In der Abbildung der obere Punkt (a).
  2. Tangente (b) an den Graphen durch diesen Punkt anlegen.
  3. Nullstelle (c) der Tangente bestimmen.
  4. Von der Nullstelle auf den Graphen loten (d).
  5. Durch diesen Punkt eine Tangente an den Graphen anlegen und dessen Nullstelle (e) bestimmen.

Das wird nach diesem Muster weiter fortgeführt, so dass wir immer näher an die gesuchte Nullstelle gelangen. Sind wir nahe genug, so können wir das Verfahren nach einem meist vorher festgelegten Kriterium abbrechen.

Vorgehensweise

Zunächst bestimmen wir einen geeigneten Startpunkt. Dazu suchen wir mit der Tabellenfunktion (“table“ bei älteren Taschenrechnern) einen t-Wert, bei dem f(t) möglichst nah bei Null liegt.

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.2} \begin{array}{ | C{20mm} | C{20mm} |} \hline \cellcolor{lightgray}{t} & \cellcolor{lightgray}{f(t)} \\ \hline 0 & -1333.455 \\ 1 & -1230.322 \\ 2 & -1035.855 \\ 3 & -836.055 \\ 4 & -652.922 \\ 5 & -468.455 \\ 6 & \cellcolor{blue!25}{-248.655} \\ 7 & \cellcolor{blue!25}{32.478} \\ 8 & 368.945 \\ 9 & 698.745 \\ \hline \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

Wir sehen, dass die Funktionswerte das Vorzeichen wechseln bei t=6 bis t=7. Also liegt m dazwischen. Wir wählen als Startwert t=7.

Die Nullstellen der Tangenten berechnen wir mit

    \begin{equation*} \boxed{t_{neu} = t_n - \frac{f(t_{alt})}{f\/'(t_{alt})}} \end{equation*}

Die so berechneten Nullstellen stellen die verbesserten Näherungswerte dar. Wir benötigen also

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.0} \begin{array}{ r c l } f(t) & = & -\frac{1}{5}t^5 + \frac{14}{3}t^4 - \frac{112}{3}t^3 + 128t^2 + 8t -1333.455\\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

und

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.0} \begin{array}{ r c l } f\/'(t) & = & -t^4 + \frac{56}{3}t^3 - 112x^2 + 256x + 8\\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1.0} \end{equation*}

Wichtig:

Damit wir schnell zu einem Ergebnis kommen, müssen die Zwischenergebnisse sehr genau sein. Hier sind sie auf 6 Nachkommastellen gerundet.

Für t=7 erhalten wir

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.2} \begin{array}{ |C{2cm} | C{2cm} | C{2cm} | C{2cm} | C{2cm} | } \hline \cellcolor{lightgray}{$t_{alt}$} & \cellcolor{lightgray}{$f(t)$} & \cellcolor{lightgray}{$f\/'(t)$} & \cellcolor{lightgray}{$\frac{f(t)}{f\/'(t)}$} & \cellcolor{lightgray}{$t_{neu}$} \\ \hline $7$ & $32.478333$ & $313.666667$ & $0.103544$ & $6.896456$ \\ \hline \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

t_{neu}=6.896456 nehmen wir nun als den Wert t_{alt} und berechnen alles noch einmal.

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.2} \begin{array}{ |C{2cm} | C{2cm} | C{2cm} | C{2cm} | C{2cm} | } \hline \cellcolor{lightgray}{$t_{alt}$} & \cellcolor{lightgray}{$f(t)$} & \cellcolor{lightgray}{$f\/'(t)$} & \cellcolor{lightgray}{$\frac{f(t)}{f\/'(t)}$} & \cellcolor{lightgray}{$t_{neu}$} \\ \hline $6.896456$ & $0.326588$ & $307.314174$ & $0.001063$ & $6.895393$ \\ \hline \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

Dies wiederholen wir so lange, bis das Ergebnis nahe genug an der Nullstelle liegt.

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.2} \begin{array}{ |C{2cm} | C{2cm} | C{2cm} | C{2cm} | C{2cm} | } \hline \cellcolor{lightgray}{$t_{alt}$} & \cellcolor{lightgray}{$f(t)$} & \cellcolor{lightgray}{$f\/'(t)$} & \cellcolor{lightgray}{$\frac{f(t)}{f\/'(t)}$} & \cellcolor{lightgray}{$t_{neu}$} \\ \hline $6.895393$ & $-0.000052$ & & & \\ \hline \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

Mit f(t)=-0.000052 sind wir nahe genug an der x-Achse und können das Newton-Verfahren an dieser Stelle abbrechen.

Die Fläche F wird also bei m=6.895 in zwei gleich große Stücke zerlegt.

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