Analytische Geometrie

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben

Die Punkte \(A(4|0|0)\), \(B(4|4|0)\), \(C(0|4|0)\), \(F(4|4|3)\) und \(H(0|0|3)\) sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade \(h\) verläuft durch \(B\) und \(F\).

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Quader und Gerade h

  1. Begründen Sie, dass das Dreieck \(ABC\) rechtwinklig und gleichschenklig ist. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.

    (3 P)


  1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden \(g\) an, die durch \(A\) und \(C\) verläuft. Begründen Sie, dass diese Gerade windschief zur Geraden \(h\) ist.

    (3 P)


  1. Bestimmen Sie den Abstand von \(g\) zur Geraden durch \(B\) und \(H\).

    (5 P)


  1. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ACH\).

    (3 P)





Ebenenschar

Die Punkte der Geraden \(h\) lassen sich durch

\( P_t(4|4|t) \quad \textit{mit} \quad t \in \mathbb{R} \)

darstellen.

Für jeden Wert von \(t\) liegen \(A\), \(C\) und \(P_t\) in der Ebene

\( E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4 \cdot t = 0 \)

  1. Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(t\) , für die die zugehörige Ebene \(E_t\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene ein Winkel der Größe 60° einschließt.

    (4 P)


Der abgebildete Quader wird durch eine der Ebenen \(E_t\) in zwei Teilkörper zerlegt. Die Seiten der Schnittfigur dieser Ebene und des Quaders sind in der Abbildung gepunktet dargestellt.

  1. Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung den Wert von \(t\) ermitteln kann.

    (3 P)


  1. Es ist \(t=6\). Berechnen Sie das Volumen desjenigen der beiden Teilkörper, zu dem der Punkt \(B\) gehört, und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

    (5 P)

Es gibt Werte von \(t\) , für die die Schnittfigur des Quaders und der Ebene \(E_t\) die Form eines Dreiecks hat.


  1. Geben Sie alle diese Werte von \(t\) an und beschreiben Sie in Abhängigkeit von \(t\) die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.

    (4 P)





Schnittpunkte der Kanten des Quaders mit der Ebene

Es sei jetzt \(t>3\). \(Q_t\) sei der Schnittpunkt von \(E_t\) mit der Strecke \(\overline{EF}\) und \(R_t\) sei der Schnittpunkt von \(E_t\) mit der Strecke \(\overline{FG}\).


  1. Berechnen Sie die Koordinaten von \(Q_t\).

    \( \left[ \text{Kontrolle}: \quad Q_t \left( 4\bigl|\frac{12}{t}\bigl|3 \right) \right] \)

    (4 P)


  1. Geben Sie die Koordinaten von \(R_t\) an und berechnen Sie die Länge der Strecke \(\overline{Q_t R_t}\) in Abhängigkeit von \(t\).

    (3 P)





Aufgabenstellung formulieren

Die folgende Aussage stellt die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den bisher betrachteten geometrischen Objekten dar:

\( \Biggl|\dfrac{t \cdot 4 + t \cdot 4 - 4 \cdot 0 - 4 \cdot t} {\sqrt{t^2 + t^2 + 16}}\Biggl| =2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad t=-2\sqrt{2} \quad \vee \quad t=2\sqrt{2} \)

Formulieren Sie eine dazu passende Aufgabenstellung.

(3 P)




Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen

Lösung : Quader und Gerade h

Aufgabe 1 - Dreieck ABC

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\( \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

\( \vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

Ist das Skalarprodukt aus \(\vec{BA}\) und \(\vec{BC}\) gleich Null, so verlaufen die beiden Vektoren orthogonal zueinander.

\( \begin{align} \vec{BA} \circ \vec{BC} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] \vec{BA} \circ \vec{BC} & = 0 \cdot (-4 )+ (-4) \cdot 0 + 0 \cdot 0 \\[6pt] \vec{BA} \circ \vec{BC} & = 0 \end{align} \)

Das Dreieck hat einen rechten Winkel in der Ecke \(B\).

Sind 2 Vektoren gleich lang, so ist das Dreieck gleichschenklig. Da die die Strecke \(\overline{AC}\) die Hypothenuse bildet, muss diese die längste Seite sein. Wir nehmen also an, dass Vektor \(\vec{BA}\) die gleiche Länge hat wie der Vektor \(\vec{BC}\) und sagen

\( \begin{align} \bigl| \vec{BA} \bigl| & = \bigl| \vec{BC}\bigl| \\[8pt] \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 0^2} &= \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 0^2} \\[8pt] 4 & = 4 \end{align} \)

Das Ergebnis bestätigt unsere Annahme.

Die Fläche des Dreieck können wir hier berechnen mit

\( \displaystyle{\frac{g \cdot h}{2}} =\displaystyle{\frac{\bigl| \vec{BA} \bigl| \cdot \bigl| \vec{BC} \bigl|}{2} } =\displaystyle{\frac{4 \cdot 4}{2}} = 8 \text{ FE} \)








Aufgabe 2 - Lage Gerade g zur Geraden h

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\( \begin{align} g: \vec{x} & = \vec{a} + r \cdot \vec{AC} \\[8pt] \vec{x} & = \vec{a} + r \cdot (\vec{c} - \vec{a} ) \\[8pt] \vec{x} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \begin{bmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{bmatrix} \\[8pt] \vec{x} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) haben alle den Wert \(x_3=0\) und liegen damit in der \(x_1 x_2\)-Ebene. Die Gerade \(g\) verläuft in dieser Ebene, während die Gerade \(h\) in \(x_3\)-Richtung verläuft. Also können die beiden Geraden nicht parallel zueinander verlaufen, sondern müssen windschief zueinander liegen oder sich schneiden. Falls sie sich schneiden, müsste der Punkt \(B\) auf der Geraden \(g\) liegen.

Das überprüfen mit der Punktprobe mit dem Punkt \(B\):

\( \begin{align} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} &= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \Biggl| \; - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)

Kein Wert für \(r\) kann diese Gleichung erfüllen. Folglich liegt \(B\) nicht auf der Geraden \(g\) und damit liegen die beiden Geraden windschief zueinander.




Aufgabe 3 - Abstand zweier Geraden

Den Abstand windschiefer Geraden berechnen wir mit

\( d = \bigl| (\vec{q}-\vec{p}) \cdot n_0\bigl| \)

ausgehend von 2 Geraden

\( \begin{align} g: \vec{x} & = \vec{p} + r \cdot \vec{u} \\[6pt] k: \vec{x} &= \vec{q} + r \cdot \vec{v}. \end{align} \)

Dabei wählen wir

\( \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} \\[6pt] \vec{q} & = \vec{b} \\[6pt] \vec{u} & = \vec{AC} \\[6pt] \vec{v} & = \vec{BH} \end{align} \)

und berechnen

\( \begin{align} \vec{n} & = \vec{u} \times \vec{v} \\[8pt] \vec{n} & = \vec{AC} \times \vec{BH} \\[8pt] \vec{n} & = \vec{AC} \times (\vec{h}- \vec{b}) \\[8pt] \vec{n} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \times \begin{bmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{bmatrix} \\[8pt] \vec{n} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \times \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ -4 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)

wie folgt:

Die beiden Vektoren werden paarweise 2-mal untereinander geschrieben. Die erste und die letzte Zeile werden gestrichen. Dann wird über Kreuz multipliziert und jeweils die blaue Diagonale (Hauptdiagonale) minus die rote Diagonale (Nebendiagonale) gerechnet.

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Der Normalenvektor ist \( \vec{n}= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 12 \\ 12 \\ 32 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

Ein anderer Normalenvektor, um den Faktor 4 verkleinert, wäre

\( \vec{n}= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

Wir wählen diesen zur weiteren Berechnung.

Für die Abstandsberechnung benötigen wir den Einheitsvektor \(\vec{n_0}\) des Normalenvektor \(\vec{n}\). Das heißt, den Normalenvektor, der die Länge 1 hat und berechnen ihn mit

\( \begin{align} \vec{n_0} & = \frac{1}{\bigl| \vec{n}\bigl|} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{n_0} & = \frac{1}{\sqrt{3^2 + 3^2 + 8^2}} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{n_0} & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)

Nun berechnen wir den Abstand:

\( \begin{align} d & = \bigl| (\vec{q}-\vec{p}) \circ n_0\bigl| \\[8pt] d & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot \begin{vmatrix} \begin{bmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{bmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] d & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] d & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot \bigl| (0 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 8)\bigl| \\[8pt] d & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot \bigl| 12\bigl| \\[8pt] d & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot12 \\[8pt] d & = 1{,}325 \text{ LE} \end{align} \)




Aufgabe 4 -Fläche des Dreiecks

Die Fläche des Dreiecks berechnen wir mit der Formel

\( \begin{align} A &= \frac{1}{2} \cdot \bigl| (\vec{AC} \times \vec{AH}\bigl| \\[8pt] A & = \frac{1}{2} \cdot \bigl| (\vec{AC} \times (\vec{h}-\vec{a})\bigl| \\[8pt] A & = \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \times \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \end{align} \)

Das Kreuzprodukt berechnen wir wie oben dargestellt.

\( \begin{align} A & = \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{ r c l } 4 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-4) - (-4) \cdot 3 \\ -4 \cdot 0 - 4 \cdot (-4) \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] A &= \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 12 \\ 12 \\ 16 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] A & = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{12^2 + 12^2 + 16^2} \\[8pt] A & = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{544} \\[8pt] A & = 2\sqrt{34} \approx 11{,}66 \text{ FE} \end{align} \)









Lösung : Ebenenschar

Aufgabe 1 - Winkel "Ebene-Koordinatenebene"

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Für die Winkelberechnung zwischen 2 Ebenen gilt

\( cos(\alpha) = \dfrac{\bigl| \vec{n_1} \circ \vec{n_2} \bigl|} {\bigl| \vec{n_1} \bigl| \cdot \bigl| \vec{n_2} \bigl|} \)

Für den Normalenvektor \(\vec{n_1}\) nehmen wir den Normalenvektor der Ebene

\( E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4 \cdot t = 0 \)

mit

\( \vec{n_1} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} t \\ t \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

Als Vektor \(\vec{n_2}\) wählen wir einen Vektor, der orthogonal zu der \(x_1 x_2\)-Ebene verläuft, wie etwa

\( \vec{n_2} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

und bekommen die Gleichung

\( \begin{align} cos(60^\circ) & = \frac{ \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} t \\ t \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} t \\ t \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} } \\[12pt] \frac{1}{2} & = \frac{\bigl| t \cdot 0 + t \cdot 0 + (-4) \cdot 1 \bigl| }{ \sqrt{ t^2 + t^2 + (-4)^2 }} \cdot \sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2 } & \\[12pt] \frac{1}{2} & = \frac{\bigl| -4 \bigl| }{\sqrt{ 2t^2 + 16 }} && \bigl| \; \cdot \sqrt{2t^2 + 16} \\[12pt] \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2t^2 + 16} & = 4 && \bigl| \;\cdot 2 \\[12pt] \sqrt{2t^2 + 16} & =8 && \bigl| \; (\dotsb )^2 \\[12pt] 2t^2 + 16 &= 64 && \bigl| \;-16 \\[12pt] 2t^2 & = 48 && \bigl| \; :2 \\[12pt] t^2 & = 24 && \bigl| \; \sqrt{\ldots} \\[12pt] t_1 & = 2 \sqrt{6} \\[12pt] t_1 & \approx 4{,}899 \\[12pt] t_2 & = -2\sqrt{6} \\[12pt] t_2 & \approx -4{,}899 \\[12pt] \end{align} \)




Aufgabe 2 - Schnittfigur

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Auf der Ebene \(E_t\) befinden sich immer die Punkte \(A\), \(C\) und \(P_t\). Dabei befindet sich \(P_t\) immer auf der Geraden \(h\). Verlängern wir nun die Strecke \(\overline{AQ_t}\) bis sie auf die Gerade \(h\) trifft, so erhalten wir \(P_t\). Dabei entsteht ein Dreieck, dass parallel zur \(x_2 x_3\)-Ebene liegt. \(t\) ist die Höhe des Punktes \(P_t\). Das heißt, dass \(t\) die Entfernung von \(B\) nach \(P_t\) ist. Zwei Kästchen sind eine Einheit und wir bekommen \(t=6\). Analog dazu könnte man auch das Dreieck \(BCP_t\) nehmen.








Aufgabe 3 - Volumen des Teilkörpers

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Der Teilkörper, der \(B\) enthält, ist ein Pyramidenstumpf. Das Volumen kann berechnet werden, indem man von der großen Pyramide mit der Grundfläche \(ABC\) und der Spitze \(P_t\) die kleine Pyramide gepunktet dargestellt abzieht.

Das Volumen einer Pyramide hat die Formel

\( V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \)

Für die Höhe der großen Pyramide nehmen wir \(t=6\) und die Grundfläche \(G\) berechen wir mit

\( G_g = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{BC}}{2} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8 \text{ FE} \)

und erhalten

\( V_g = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 6 = 16 \text{ VE} \)

Die kleine Pyramide hat die Höhe \(h_k=3\) und jeweils die Seitenlänge der Grundfläche von 2 LE.

\( V_k = \frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2} \cdot 3 = 2 \text{ VE} \)

Der Pyramidenstumpf hat also das Volumen

\( V = V_g - V_k = 16 - 2 = 14 \text{ VE} \)







Aufgabe 4 - Schnittfigur als Dreieck

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Für alle Schnittfiguren sind die Punkte \(A\) und \(C\) in ihr enthalten. \(P_t\) liegt immer auf der Geraden \(h\). Oberhalb vom Punkt \(F\) würde ein Trapez entstehen. Liegt \(P_t$\) im Punkt \(B\), also mit \(t=0\), so entstehen keine zwei Teilkörper. Liegt \(P_t\) im Punkt \(F\), so gilt \(t=3\). Damit eine Dreiecksfläche, hier mit \(t=2{,}5\) verdeutlicht, entsteht, muss gelten, dass \(0 < t \leq 3\) ist.

Wie ist es nun, wenn \(t\) negative Werte annimmt? Auch dann sind entstehende Dreieckflächen möglich, nämlich als dritten Eckpunkt der Punkt \(H\) oder unterhalb davon auf der \(x_3\)-Achse. Es gilt, da die Strecke \(\overline{AC}\) die Bodenfläche des Quader in genau zwei gleiche Hälfte teilt, \(-3 < t \leq 0\).







 



Lösung : Schnittpunkte "Kanten-Ebene"

Aufgabe 1 - Koordinaten von Q

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In dem eingezeichneten Dreieck, dass parallel zur \(x_2 x_3\)-Ebene liegt, befindet sich sowohl das Viereck \(ABFE\) mit dem Punkt \(Q_t$\) sowie die Gerade \(h\). Die Koordinaten von \(Q_t\) sind \((4|a|3)\). Gesucht ist die \(x_2\)-Koordinate \(a\), die wir mit dem Strahlensatz im dargestellten Dreieck bestimmen können.

\( \begin{align} \frac{a}{3} & = \frac{\overline{AB}}{\overline{BP_t}} \\[8pt] \frac{a}{3} & = \frac{4}{t} && \bigl| \; \cdot 3 \\[8pt] a & = \frac{12}{t} \end{align} \)

Damit erhalten wir \(Q_t \left(4|\frac{12}{t}|3 \right)\).








Aufgabe 2 - Punkt R

Da das Viereck \(ABCO\) ein Quadrat ist und \(Q_t\) und \(R_t\) den gleichen Abstand vom Punkt \(F\) haben müssen, ergibt sich \(R_t(\frac{12}{t}|4|3)\).

Wir berechnen die Länge der Strecke \(\overline{Q_t R_t}\) mit

\( \begin{align} \overline{Q_t R_t} & = \bigl| \vec{r}-\vec{q} \bigl| \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| & = \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \frac{12}{t} \\ 4 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ \frac{12}{t} \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| & = \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \frac{12}{t}-4 \\ 4-\frac{12}{t} \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| &= \sqrt{\left( \frac{12}{t}-4 \right)^2 + \left( 4-\frac{12}{t}\right)^2} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| & = \sqrt{ \frac{144}{t^2}-2 \cdot 4 \cdot \frac{12}{t}+16 + 16-2 \cdot 4 \cdot \frac{12}{t}+\frac{144}{t^2}} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| &= \sqrt{\frac{288}{t^2}-\frac{192}{t}+32} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| & = \sqrt{\frac{288-192t+32t^2}{t^2}} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| & = \frac{1}{t} \cdot \sqrt{32t^2-192t+288} \end{align} \)







 



Lösung : Aufgabenstellung formulieren

Die Aussage

\( \Biggl| \dfrac{ t \cdot 4 + t \cdot 4 - 4 \cdot 0 - 4 \cdot t } { \sqrt{t^2 + t^2 + 16} } \Biggl| =2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad t=-2\sqrt{2} \quad \vee \quad t=2\sqrt{2} \)

enthält die Formel

\( d=\Biggl| \dfrac{ n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 - c } { \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} } \Biggl| \)

zur Abstandsberechnung eines Punktes von einer Ebene. Dabei wird hier die Ebene \(E_t\)

\( E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4 \cdot t = 0 \)

verwendet sowie der Punkt \(B(4|4|0)\).



Die Aufgabenstellung lautet also:

Ermittle die Werte von \(t\), so dass der Punkt \(B\) einen Abstand von 2 LE zur Ebene \(E_t\) hat.

Die Richtigkeit der Aussage sei hier vorausgesetzt.