CAS 1 (Lösung für Classpad)

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit

\( \displaystyle{f(x) = - \frac{1}{10^6}x^4 + \frac{4}{9375}x^3 - \frac{13}{250}x^2 + \frac{8}{5}x+140, \quad x \in \mathbb{R}} \)





Punktbestimmung

  1. Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen \(f\) und bestimmen Sie die Art der Extrempunkte.

    [Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind 20, 100 und 200]

    (5 P)


  1. Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen \(f\) mit der \(y\)-Achse an. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass \(f\) genau zwei Nullstellen hat.

    (4 P)


  1. Für \(50 < x < 130\) gibt es ein paar von \(x\)-Werten, die sich um 60 unterscheiden und für die die zugehörigen Funktionswerte übereinstimmen. Bestimmen Sie dieses Paar von \(x\)-Werten und geben Sie den zugehörigen Funktionswert an.

    (4 P)





Fläche

Der Graph von \(f\) schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung \(x = 240\) ein Flächenstück ein.

  1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die parallel zur \(y\)-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.

    (4 P)

Für jedes \(x\) mit \(0 < 240\) ist durch \(A(0|0)\), \(B_x(x|0)\) und \(C_x\left(x|f(x)\right)\) ein Dreieck \(AB_xC_x\) gegeben. Ferner ist die Funktion \(d\) mit

\( d(x) = \frac{1}{2}x \cdot f(x) \)

gegeben. Die Gleichung \(d'(x) = 0\) hat genau eine Lösung \(u\) mit \(0 < u < 240\).

 

  1. Berechnen Sie \(d(u)\).

    (2 P)

 

  1. Erläutern Sie die geometrische Bedeutung der Funktionswerte \(d(x)\). Untersuchen Sie die besondere Bedeutung des Wertes \(d(u)\) in diesem Zusammenhang.

    (4 P)





Glukosewerte

Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d. h. die Glukosekonzentration im Blut, ständig zu messen.

Die oben gegebene Funktion \(f\) beschreibt für \(0 \leq x \leq 240\) modellhaft die Entwicklung des Glukosewertes des Patienten. Dabei ist \(x\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Teit in Minuten und \(f(x)\) der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter \(\left( \frac{mg}{dl}\right)\). Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\).

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  1. Hohe Glukosewerte über längere Zeit gelten als Risikofaktor. Ermitteln Sie anhand der Grafik für den betrachteten Zeitraum, wie lange Glukose über \(170 \; \frac{mg}{dl}\) gemessen werden kann.

    (3 P)


  1. Berechnen Sie für \(0 \leq x \leq 240\) denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt.

    (4 P)


  1. Ermitteln Sie rechnerisch für \(0 \leq x \leq 240\), wie lange die momentane Änderungsrate des Glukosewerts insgesamt zwischen \(-0{,}3 \; \frac{mg}{dl}\) pro Minute und \(0{,}3 \; \frac{mg}{dl}\) pro Minute lag.

    (4 P)





Funktionenschar

Zum Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich. Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion \(g\) beschrieben werden, die folgende Bedingung erfüllt:

Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhängig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion \(f\) oder mithilfe der Funktion \(g\) ermittelt werden.

Zur Bestimmung eines Funktionsterms von \(g\) sollen zunächst die den Funktionen \(h_k\) mit

\( h_k(x) = 50 -50 \cdot (k \cdot x + 1)^2 \cdot e^{-k \cdot x} \quad \text{mit} \quad k>0 \quad , \quad x \in \mathbb{R} \)

betrachtet werden.


  1. Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass die momentane Änderungsrate, die sich unter Verwendung von \(h_k\) für den Zeitpunkt 0 ergibt, mit der momentanen Änderungsrate übereinstimmt, die für \(f\) für den Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn liefert.

    (2 P)


  1. Die für die Funktion \(g\) angegebene Bedingung lässt sich erfüllen, wenn der Graph von \(g\) durch eine geeignete Verschiebung aus dem Graphen von \(h_k\) für \(k= \frac{308}{3125}\) hervorgeht. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie einen Funktionsterm von \(g\) an.

    (4 P)



Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen

Lösung : Punktbestimmung

Aufgabe 1 - Extrempunkte

Wir definieren

\(f(x) = - \frac{1}{10^6}x^4 + \frac{4}{9375}x^3 - \frac{13}{250}x^2 + \frac{8}{5}x+140\)

mit

\( Aktion \; \rightarrow \; Befehle \; \rightarrow \quad define \)

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Damit ein Extrempunkt vorliegt, muss auf jeden Fall gelten

notwendige Bedingung

\( f'(x)=0 \)

Wir berechnen die Gleichung mit

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hinreichende Bedingung

Um zu überprüfen, welche Art von Extrempunkte wir an den Stellen \(x_1=20\), \(x_2=100\) und \(x_3=200\) haben, setzen wir die Werte in die 2. Ableitung ein.

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Wir schließen auf die Art der Extrempunkte.

\( \begin{align} f''(20) & = -\frac{36}{625} < 0 & \Rightarrow & \quad Hochpunkt \\[8pt] f''(100) & = \frac{4}{125} > 0 & \Rightarrow & \quad Tiefpunkt \\[8pt] f''(200) & = -\frac{9}{125} < 0 & \Rightarrow & \quad Hochpunkt \end{align} \)

 

Funktionswerte

Nun benötigen wir noch die \(y\)-Werte der Extremstellen und bestimmen sie mit

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Die Extrempunkte haben die Koordinaten

\( H_1(20|154{,}45) \; , \quad T(100|106{,}67) \; , \quad H_2(200| 193{,}33) \)




Aufgabe 2a - Schnittpunkt mit der y-Achse

Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt, dass \(x=0\) ist und wir ermitteln

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Wir erhalten somit \(S_y(0|140)\).




Aufgabe 2b - Nullstellen

Die Funktion \(f\) ist eine Funktion 4. Grades und kann damit nur folgende Verläufe haben:

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oder

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Wie wir an den Abbildungen sehen, sind nur

  • maximal 4 Nullstellen
  • maximal 3 Extrempunkte
  • maximal 2 Wendepunkte

möglich. Mit den 3 berechnete Extrempunkten können wir sagen, dass unser Funktionsverlauf der 2. Abbildung entspricht. Denn wir haben ebenfalls einen Tiefpunkt und 2 Hochpunkte, die alle oberhalb der \(x\)-Achse liegen. Da es keine weiteren Extrempunkte geben kann, verläuft die Funktion links vom 1. Hochpunkt sowie rechts vom 2. Hochpunkt immer weiter nach unten und schneidet dabei je einmal die \(x\)-Achse.




Aufgabe 3 - Punktepaar

Nach der Vorgabe soll der eine \(x\)-Wert um 60 größer sein als der andere bei gleichem \(y\)-Wert.

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Wir können also sagen, dass

\( f(x)=f(x+60) \)

ist.

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\(x=69{,}1528\) ist der einzige Wert, der im Intervall \(50<x<130\) liegt.

\( x = 69{,}1528+60 = 129{,}1528 \)

Auch der zweite Wert erfüllt die Bedingung.

Der \(y\)-Wert folgt mit

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Lösung : Fläche

Aufgabe 1 - Fläche halbieren

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Gesucht ist ein \(x\)-Wert mit \(x=z\), so dass die Fläche unter \(f\) von 0 bis \(z\) halb so groß ist wie die Fläche von 0 bis 240. Das wird folgendermaßen ausgedrückt:

\( \displaystyle{\int_0^z f(x)dx = \frac{1}{2} \cdot \int_0^{240} f(x)dx} \)

Häufig stößt man beim lösen von Gleichungen mit Integralen auf Schwierigkeiten.

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In diesem Fall definieren wir das Integral zunächst als Stammfunktion \(F(x)\) und lösen die Gleichung damit.

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Da \(0 \leq z \leq 240\) sein muss, lautet die gesuchte Gerade

\(x = 135{,}641\)








Aufgabe 2 - Funktionswert d(u)

Wir definieren \(d(x)\)

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und berechnen \(u\).

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Nach der Voraussetzung \(0 < u \leq 240\) ist

\(u = 210{,}6267593\)

Es folgt der Funktionswert mit

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Aufgabe 3 - Dreieck

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\( d(x)= \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) \)

beschreibt die Fläche eines Dreiecks nach der Flächenformel

\( A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \)

mit dem Punkt \(C_x\) auf dem Graphen von \(f\), mit dem Punkt \(B_x\) bei gleichem \(x\)-Wert auf der \(x\)-Achse gelegen und \(A\) im Koordinatenursprung. Dann ist \(x\) die Grundseite und \(f(x)\) die Höhe des Dreiecks.

Um jetzt weiter \(d(u)\) zu beschreiben, berechnen wir die 2. Ableitung von \(d(u)=d(210{,}6267593)\).

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\(d''(u)<0\) und damit ist \(d(x)\) maximal an der Stelle

\(x = u = 210{,}6267593\)

\(d(u)\) gibt also die größtmögliche Dreiecksfläche für eine Dreieck an, dass mit \(d(x)\) gebildet wird für \(0 < x \leq 240\).







 



Lösung : Glukosewerte

Aufgabe 1 - Glukosewerte über 170 mg/dl

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Der Glukosewert lag von \(170\) Minuten bis \(222\) Minuten nach Beobachtungsbeginn über \(170 \; \frac{mg}{dl}\). Das sind

\(222 - 170 = 52\) Minuten








Aufgabe 2 - größte Steigung

Der stärkste Anstieg liegt bei Funktionen generell im Wendepunkt, für den die notwendige Bedingung gilt, dass

\( f''(x) = 0 \)

ist.

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\( \begin{align} x_1 & = \frac{-20 \cdot \sqrt{61}}{3} + \frac{320}{3} \approx 54{,}5983 \\[8pt] x_2 & = \frac{20 \cdot \sqrt{61}}{3} + \frac{320}{3} \approx 158{,}735 \end{align} \)

Wir überprüfen die Werte mit der hinreichenden Bedingung

\( f'''(x) \not= 0 \)

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\( \begin{align} & f'''\left( \frac{-20 \cdot \sqrt{61}}{3} + \frac{320}{3} \right) \not= 0 & \Rightarrow \; \textit{Wendepunkt} \\[8pt] & f'''\left( \frac{20 \cdot \sqrt{61}}{3} + \frac{320}{3} \right) \not= 0 & \Rightarrow \; \textit{Wendepunkt} \end{align} \)

Die Steigung bestimmen wir mit der 1. Ableitung von \(f\), wobei wir bei einer Funktion, die in einem bestimmen Intervall betrachtet wird \((0 \leq x \leq 240)\), auch die Randpunkte überprüfen müssen. Denn es könnte sein, dass im Start- oder Endpunkt eine größere Steigung als im Wendepunkt vorliegt.

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\( \left. \begin{array}{ r c l } f'(0) & = & 1{,}6 \\[8pt] f'\left(\frac{-20 \cdot \sqrt{61}}{3} + \frac{320}{3}\right) & \approx & -0{,}9136 \\[8pt] f'\left(\frac{20 \cdot \sqrt{61}}{3} + \frac{320}{3}\right) & \approx & 1{,}345 \\[8pt] f'(240) & = & -4{,}928 \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad \text{maximale Steigung bei } \; x = 0 \)

Der Glukosewert steigt bei Beobachtungsbeginn am stärksten an.







Aufgabe 3 - momentane Änderungsrate

Die momentane Änderungsrate, also quasi die Tangentensteigung an dem Graphen der Funktion \(f\), wird mit der 1. Ableitung berechnet.

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Wir setzen also

\( f'(x) = -0{,}3 \quad und \quad f'(x) = 0{,}3 \)

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Der gesamte Zeitraum, indem die momentane Änderungsrate zwischen \(-0{,}3 \; \frac{mg}{dl}\) pro Minute und \(0{,}3 \; \frac{mg}{dl}\) pro Minute lag, berechnet sich wie folgt:

\( (25{,}8027-15{,}213) + (109{,}26-90{,}2735) + (203{,}924-195{,}527) = 37{,}9732 \)

Der Zeitraum betrug also ca. 38 Minuten.







 



Lösung : Funktionenschar

Aufgabe 1 - Parameter k

Wir definieren \(h_k\) und nennen \(k=z\) .

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Nach Aufgabenstellung soll

\( h'_k(0) = f'(240) \)

sein, also

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Aufgabe 2 - Verschiebung von h


\( \begin{array}{ r c l } h_{\scriptscriptstyle{\frac{308}{3125}}}(x) & = & 50-50 \cdot \left( \scriptstyle{\frac{308}{3125}} \cdot x +1\right)^2 \cdot e^{-\scriptscriptstyle{\frac{308}{3125}} \cdot x} \\[4pt] h_{0{,}09856}(x) & = & 50-50 \cdot \left( 0{,}09856 \cdot x +1 \right)^2 \cdot e^{0{,}09856 \cdot x} \end{array} \)

nennen wir im Weiteren

\( k(x) = 50-50 \cdot \left( 0{,}09856 \cdot x +1\right)^2 \cdot e^{0{,}09856 \cdot x} \)

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Wir sehen, dass \(k(x)\) durch den Koordinatenursprung verläuft und bestätigen diese Annahme mit

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Um \(g\) zu erhalten, verschieben wir \(k\) vom Koordinatenursprung zum Endpunkt von \(f\). Das heißt, wir verschieben die Funktion \(k\) 240 nach rechts und um \(f(240)\) nach oben.

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Damit \(g\) aus \(k\) entsteht, verändern wir \(k\) auf folgende Weise:

\( \begin{array}{ r c l } g(x) & = & k(x-240)+f(240) \\[6pt] g(x) & = & 50-50 \cdot \big( 0{,}09856 \cdot (x-240) +1 \big)^2 \cdot e^{-0{,}09856 \cdot (x-240)} + 109{,}28\\ \end{array} \)