Abituraufgaben 2018 – CAS 1 – ti-nspire

 

Inhaltsverzeichnis

 

Aufgaben

Gegeben ist die Funktion f mit

    \begin{equation*} f(x) = - \frac{1}{10^6}x^4 + \frac{4}{9375}x^3 - \frac{13}{250}x^2 + \frac{8}{5}x+140, \quad x \in \mathbbm{R} \end{equation*}

 

Punktbestimmung

  1. Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen f und bestimmen Sie die Art der Extrempunkte.[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind 20, 100 und 200.]

    (5 P)

  2.  

  3. Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen f mit der y-Achse an.
    Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass f genau zwei Nullstellen hat.

    (4 P)

  4.  

  5. Für 50 < x < 130 gibt es ein paar von x-Werten, die sich um 60 unterscheiden und für die die zugehörigen Funktionswerte übereinstimmen.
    Bestimmen Sie dieses Paar von x-Werten und geben Sie den zugehörigen Funktionswert an.

    (4 P)

LÖSUNG

 

Fläche

Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x = 240 ein Flächenstück ein.

  1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.

    (4 P)

Für jedes x mit 0 < 240 ist durch A(0|0), B_x(x|0) und C_x(x|f(x)) ein Dreieck AB_xC_x gegeben.
Ferner ist die Funktion d mit

    \begin{equation*} d(x) = \frac{1}{2}x \cdot f(x) \end{equation*}

gegeben. Die Gleichung d'(x) = 0 hat genau eine Lösung u mit 0 < u < 240.

  1. Berechnen Sie d(u).

    (2 P)

  2.  

  3. Erläutern Sie die geometrische Bedeutung der Funktionswerte d(x). Untersuchen Sie die besondere Bedeutung des Wertes d(u) in diesem Zusammenhang.

    (4 P)

 

LÖSUNG

 

Glukosewerte

Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d. h. die Glukosekonzentration im Blut, ständig zu messen.

Die oben gegebene Funktion f beschreibt für 0 \leq x \leq 240 modellhaft die Entwicklung des Glukosewertes des Patienten. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Teit in Minuten und f(x) der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter \left( \frac{mg}{dl}\right).
Die Abbildung zeigt den Graphen von f.

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  1. Hohe Glukosewerte über längere Zeit gelten als Risikofaktor. Ermitteln Sie anhand der Grafik für den betrachteten Zeitraum, wie lange Glukose über 170 \left( \frac{mg}{dl}\right) gemessen werden kann.

    (3 P)

  2.  

  3. Berechnen Sie für 0 \leq x \leq 240 denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt.

    (4 P)

  4.  

  5. Ermitteln Sie rechnerisch für 0 \leq x \leq 240, wie lange die momentane Änderungsrate des Glukosewerts insgesamt zwischen -0,3 \frac{mg}{dl} pro Minute und 0,3 \frac{mg}{dl} pro Minute lag.

    (4 P)

LÖSUNG

 

Funktionenschar

  • Zum Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich. Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion g beschrieben werden, die folgende Bedingung erfüllt:


    Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhängig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion f oder mithilfe der Funktion g ermittelt werden.

    Zur Bestimmung eines Funktionsterms von g sollen zunächst die den Funktionen h_k mit

        \begin{equation*} h_k(x) = 50 -50 \cdot (k \cdot x + 1)^2 \cdot e^{-k \cdot x} \quad \text{mit} \quad k>0 \quad , \quad x \in \mathbbm{R} \end{equation*}

    betrachtet werden.

     

    1. Bestimmen Sie den Wert von k so, dass die momentane Änderungsrate, die sich unter Verwendung von h_k für den Zeitpunkt 0 ergibt, mit der momentanen Änderungsrate übereinstimmt, die für f für den Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn liefert.

      (2 P)

    2.  

    3. Die für die Funktion g angegebene Bedingung lässt sich erfüllen, wenn der Graph von g durch eine geeignete Verschiebung aus dem Graphen von h_k für k= \frac{308}{3125} hervorgeht.
      Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie einen Funktionsterm von g an.

      (4 P)

     

    LÖSUNG

     
     
    Aufgaben zum Ausdrucken:

    Abitur 2018, CAS-Analysis, 1. Aufgabe, Schleswig-Holstein als PDF





     

    Lösungen

    Lösung : Punktbestimmung

    Aufgabe 1 – Extrempunkte

    Wir definieren

        \begin{equation*} f(x) = - \frac{1}{10^6}x^4 + \frac{4}{9375}x^3 - \frac{13}{250}x^2 + \frac{8}{5}x+140 \end{equation*}

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    Damit ein Extrempunkt vorliegt, muss auf jeden Fall gelten

        \begin{equation*} f\/'(x)=0 \end{equation*}

    Hier brauchen wir zunächst die Ableitung. Zu den Ableitungen kommen wir mit

    menu \rightarrow 4 \rightarrow 1

    und geben dann ein

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    Wir definieren die 1. Ableitung und lösen die Gleichung.

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    Statt erst abzuleiten und dann die Ableitung zu definieren kann man auch beides in einem Schritt machen.

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    hinreichende Bedingung

    Um zu überprüfen, welche Art von Extrempunkte wir an den Stellen x_1=20, x_2=100 und x_3=200 haben, brauchen wir die 2. Ableitung und definieren

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    Wir setzen die x-Werte in die 2. Ableitung ein.

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    Wir schließen auf die Art der Extrempunkte.

        \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{ c c r l } f\/''(20) & = &-\frac{36}{625} < 0 & \quad \Rightarrow \quad Hochpunkt \\ f\/''(100) & = &\frac{4}{625} > 0 & \quad \Rightarrow \quad Tiefpunkt \\ f\/''(200) & = &-\frac{9}{125} < 0 & \quad \Rightarrow \quad Hochpunkt \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \end{equation*}

    Funktionswerte

    Nun benötigen wir noch die y-Werte der Extremstellen und bestimmen sie mit

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    Die Extrempunkte haben die Koordinaten

        \begin{equation*} H_1(20|154.453), \quad T(100|106.667), \quad H_2(200| 193.333) \end{equation*}

     

    Aufgabe 2a – Schnittpunkt mit der y-Achse

    Für den Schnittpunkt mit der y-Achse gilt, dass x=0 ist und wir ermitteln

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    Wir erhalten somit S_y(0|140).

     

    Aufgabe 2b – Nullstellen

    Die Funktion f ist eine Funktion 4. Grades und kann damit nur folgende Verläufe haben:

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    oder

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    Wie wir am 1. Bild sehen, sind nur

    • maximal 4 Nullstellen
    • maximal 3 Extrempunkte
    • maximal 2 Wendepunkte

    möglich.
    Mit den 3 berechnete Extrempunkten können wir sagen, dass unser Funktionsverlauf dem 2. Bild entspricht. Denn wir haben ebenfalls einen Tiefpunkt und 2 Hochpunkte, die alle oberhalb der x-Achse liegen. Da es keine weiteren Extrempunkte geben kann, verläuft die Funktion links vom 1. Hochpunkt sowie rechts vom 2. Hochpunkt immer weiter nach unten und schneidet dabei je einmal die x-Achse.

     

    Aufgabe 3 – Punktepaar

    Nach der Vorgabe soll der eine x-Wert um 60 größer sein als der andere bei gleichem y-Wert.

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    Wir können also sagen, dass

        \begin{equation*} f(x)=f(x+60) \end{equation*}

    ist.

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    x=69.1528 ist der einzige Wert, der im Intervall 50<x<130 liegt.

        \begin{equation*} x & = & 69.1528+60 & = & 129.1528 \end{equation*}

    Auch der zweite Wert erfüllt die Bedingung.

    Der y-Wert folgt mit

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    Lösung : Fläche

    Aufgabe 1 – Fläche halbieren

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    Gesucht ist ein x-Wert mit x=z, so dass die Fläche unter f von 0 bis z halb so groß ist wie die Fläche von 0 bis 240. Das wird folgendermaßen ausgedrückt:

        \begin{equation*} \mathlarger{\int_0^z f(x)dx = \frac{1}{2} \cdot \int_0^{240} f(x)dx} \end{equation*}

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    Da 0 \leq z \leq 240 sein muss, lautet die gesuchte Gerade

    x = 135.641

     

    Aufgabe 2 – Funktionswert d(u)

    Wir definieren d(x)

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    sowie die 1. Ableitung mit

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    und berechnen u.

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    Nach der Voraussetzung 0 < u \leq 240 ist

    u = 210.627

    Es folgt der Funktionswert mit

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    Aufgabe 3 – Dreieck

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        \begin{equation*} d(x)= \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) \end{equation*}

    beschreibt die Fläche eines Dreiecks nach der Flächenformel

        \begin{equation*} A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \end{equation*}

    mit dem Punkt C_x auf dem Graphen von f, mit dem Punkt B_x bei gleichem x-Wert auf der x-Achse gelegen und A im Koordinatenursprung. Dann ist x die Grundseite und f(x) die Höhe des Dreiecks.

    Um jetzt weiter d(u) zu beschreiben, bestimmen wir noch die 2. Ableitung von d(u).

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    und wir erhalten die 2. Ableitung von u = 210.627 mit

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    d“(u)<0 und damit ist d(x) maximal an der Stelle

    x = u = 210.627

    d(u) gibt also die größtmögliche Dreiecksfläche für eine Dreieck an, dass mit d(x) gebildet wird für 0 < x \leq 240.

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    Lösung : Glukosewerte

    Aufgabe 1 – Glukosewerte über 170 \textcolor{gray}{\mathbf{\mathlarger{\frac{mg}{dl}}}}

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    Der Glukosewert lag von 170 Minuten bis 222 Minuten nach Beobachtungsbeginn über 170 \frac{mg}{dl}. Das sind

    222 – 170 = 52 Minuten

     

    Aufgabe 2 – größte Steigung

    Der stärkste Anstieg liegt bei Funktionen generell im Wendepunkt, für den die notwendige
    Bedingung gilt, dass

        \begin{equation*} f\/''(x) = 0 \end{equation*}

    ist.

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        \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{ l } x_1 = \frac{-20 \left( \sqrt{61}-16 \right)}{3} \approx 54.5983 \\ x_2 = \frac{20 \left( \sqrt{61}+16 \right)}{3} \approx 158.735 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \end{equation*}

    Wir überprüfen die Werte mit der hinreichenden Bedingungen

        \begin{equation*} f\/'''(x) \not= 0 , \end{equation*}

    definieren die 3. Ableitung

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    und berechnen weiter die 3. Ableitung der Werte.

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        \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{2.2} \left. \begin{array}{ l } \frac{-20 \left( \sqrt{61}-16 \right)}{3} = 0.034114 \not= 0 \\ \frac{20 \left( \sqrt{61}+16 \right)}{3} = -0.099181 \not= 0 \\ \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad \text{Es liegen Wendepunkte vor.} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \end{equation*}

    Die Steigung bestimmen wir mit der 1. Ableitung von f, wobei wir bei einer Funktion, die in einem bestimmen Intervall betrachtet wird (0 \leq x \leq 240), auch die Randpunkte überprüfen müssen.
    Denn es könnte sein, dass im Start- oder Endpunkt eine größere Steigung als im Wendepunkt vorliegt.

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        \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \left. \begin{array}{ r c l } %geschweifte Klammer über mehrere Zeilen \frac{8}{5} & = & 1.6\\ \frac{728}{3375}-\frac{488 \cdot \sqrt{61}}{3375} & \approx & -0.913601\\ \frac{488 \cdot \sqrt{61}}{3375}+\frac{728}{3375} & \approx & 1.34501\\ \frac{-616}{125} & = & -4.928 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \right\} \quad \Rightarrow \quad \text{maximale Steigung bei } x = 0 %158.735 \end{equation*}

    Der Glukosewert steigt bei Beobachtungsbeginn am stärksten an.

     

    Aufgabe 3 – momentane Änderungsrate

    Die momentane Änderungsrate, also quasi die Tangentensteigung an dem Graphen der Funktion f, wird mit der 1. Ableitung berechnet.

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    Wir setzen also

        \begin{equation*} f\/'(x) = -0.3 \quad und \quad f\/'(x) = 0.3 \end{equation*}

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    Der gesamte Zeitraum, indem die momentane Änderungsrate zwischen -0,3 \frac{mg}{dl} pro Minute und 0,3 \frac{mg}{dl} pro Minute lag, berechnet sich wie folgt:

        \begin{equation*} (25.8027-15.213) + (109.26-90.2735) + (203.924-195.527) = 37.9732 \end{equation*}

    Der Zeitraum betrug also ca. 38 Minuten.

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    Lösung : Funktionenschar

    Aufgabe 1 – Parameter k

    Wir definieren h_k.

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    Nach Aufgabenstellung soll

        \begin{equation*} h'_k(0) = f\/'(240) \end{equation*}

    sein, also

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    Aufgabe 2 – Verschiebung von h

        \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{ r c l } h_{\scriptscriptstyle{\frac{308}{3125}}}(x) & = & 50-50 \cdot \left( \scriptstyle{\frac{308}{3125}} \cdot x +1 \right)^2 \cdot e^ {-\scriptscriptstyle{\frac{308}{3125}} \cdot x}\\ h_{0.09856}(x) & = & 50-50 \cdot \left( 0.09856 \cdot x +1 \right)^2 \cdot e^{0.09856 \cdot x} \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \end{equation*}

    nennen wir im Weiteren

        \begin{equation*} \begin{array}{ r c l } k(x) & = & 50-50 \cdot \left( 0.09856 \cdot x +1 \right)^2 \cdot e^{0.09856 \cdot x} \end{array} \end{equation*}

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    Wir sehen, dass k(x) durch den Koordinatenursprung verläuft und bestätigen diese Annahme mit

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    Um g zu erhalten, verschieben wir k vom Koordinatenursprung zum Endpunkt von f. Das heißt, wir verschieben die Funktion k 240 nach rechts und um f(240) nach oben.

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    Damit g aus k entsteht, verändern wir k auf folgende Weise:

        \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{l} g(x)= k(x-240)+f(240) \\ g(x)=50-50 \cdot \big( 0.09856 \cdot (x-240) +1 \big)^2 \cdot e^{-0.09856 \cdot (x-240)} + 109.28\\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \end{equation*}

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