CAS 2 (Lösung für Classpad)

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben

Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_r\) mit

\( f_r(x) = -\frac{1}{r} \cdot x^2 + \frac{4}{r} \cdot x + 2 \quad , \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad r \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \)



Kurvenuntersuchung

  1. Skizzieren Sie in einem Koordinatensystem den Graphen von \(f_6\) über dem Intervall [-3;7].

    (2 P)

  2. Betrachtet wird der folgende Term:

    \( \displaystyle{\int_{-2}^0 f_6(x)dx + 4 \cdot 2 + \int_{4}^6 f_6(x)dx} \)

    Markieren Sie in ihrer Skizze zur 1. Teilaufgabe ein Flächenstück, dessen Inhalt mit dem gegebenen Term berechnet werden kann, und ordnen Sie jedem Summanden des Terms einen passenden Teil des Flächenstücks zu. Geben Sie den Inhalt des Flächenstücks an.

    (4 P)

  3. Zeigen Sie, dass jede Funktion der Schar an der Stelle 2 ein Extremum hat.Geben Sie in Abhängigkeit von \(r\) an, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt, und nennen Sie den zugehörigen Funktionswert.

    (4 P)

  4. Ermitteln Sie die Anzahl der Nullstellen von \(f_r\) in Abhängigkeit von \(r\).

    (4 P)





Flächen

Für \(r>-2\) und \(r \not= 0\) sind

\( A_r(2 - \sqrt{4+2r}|0) , \quad B_r(2 + \sqrt{4+2r}|0) \hspace{3pt} \quad \text{und} \quad C(4|2) \)

Punkte des Graphen von \(f_r\).

  1. Es soll untersucht werden, für welche Werte von \(r\) das Dreieck \(A_rB_rC\) einen rechten Winkel bei \(C\) hat.
    Jeder der beiden folgenden Ansätze liefert die gesuchten Werte von \(r\) :

    \( \begin{align} (1) & \quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\sqrt{4+2r}-2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \sqrt{4+2r}-2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = 0 \end{align} \)

    \( \begin{align} (2) & \quad \frac{2}{2 + \sqrt{4+2r}} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{4+2r}} =-1 \end{align} \)

    Erläutern Sie die beiden Ansätze und geben Sie einen entsprechenden Wert für \(r\) an.

    (5 P)

  2. Der Graph der Funktion \(f_r\) schließt gemeinsam mit der \(x\)-Achse eine Fläche \(F_r\) ein.
    Ermitteln Sie einen Wert für \(r\), für den der Flächeninhalt der Fläche \(F_r\) viermal so groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks \(A_rB_rC\).

    (3 P)





Parabelflug

Im Folgenden sollen für den Flug von Papierfliegern drei mögliche Typen von Flugkurven betrachtet werden. Diese sind in der Abbildung schematisch dargestellt.

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Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen \(x\)-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen \(y\)-Achse durch den Abwurfpunkt \(A\) verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Der \(x\)-Wert soll im Folgenden der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt \(A\) entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).


Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ \(P\). Diese kann für \(x \geq 0\) mithilfe der Funktion \(f_4\) beschrieben werden.
Weisen Sie nach, dass die Flugweite etwa 5,46 m beträgt.

(2 P)






Sturzflug

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich entlang einer Flugkurve des Typs \(S\) bewegt. Diese kann im ersten Teil mit Hilfe der Funktion \(f_4\) beschrieben werden, im zweiten Teil ab einer horizontalen Entfernung von 0,5 m vom Abwurfpunkt mithilfe einer Funktion \(s\) mit

\( s(x) = \frac{a}{x-1.5} + b \quad \text{und} \quad a, b \in \mathbb{R}. \)

Dabei weist die Flugkurve bis zum höchsten Punkt keinen Knick auf. Der Papierflieger steigt, bis er einen Steigungswinkel mit einer Größe von 85°C erreicht und stürzt dann vertikal ab.

  1. Bestimmen Sie die Werte a und b.

    (3 P)

Im Folgenden ist \(a=-0{,}75\) und \(b=1{,}6875\).

  1. Berechnen Sie die horizontale Entfernung \(e\) vom Abwurfpunkt, in der der Papierflieger den Steigungswinkel mit einer Größe 85°C erreicht.

    [zur Kontrolle: \(e \approx 1,24\) ]

    (3 P)

  2. Ist ein Kurvenstück Graph einer in \([x_0;x_1]\) mit \(x_0 \; {,} \; x_1 \in \mathbb{R}\) definierten Funktion \(h\) mit erster Ableitungsfunktion \(h'\), so gilt für die Länge \(L\) des Kurvenstücks:

    \( L = \displaystyle{\int_{x_0}^{x_1} =\sqrt{1+\big( h'(x) \big)^2 dx}} \)

    Ermitteln Sie die Länge der beschriebenen Flugkurve vom Typ \(S\).

    (5 P)





Flugkurve G

Die größten Flugweiten erzielen Papierflieger mit der Flugkurve des Typs \(G\). Eine solche Flugkurve lässt sich im ersten Teil mithilfe der Funktion \(f_4\) beschreiben. Ab einem bestimmten Punkt kann der weitere Verlauf der Flugkurve bis zum Boden durch eine Gerade dargestellt werden. Der Übergang vom ersten zum zweiten Teil der Flugkurve erfolgt ohne Knick. Die Flugweite beträgt 17,6 m.

Ermitteln Sie, in welcher Höhe der gekrümmte Teil der Flugkurve in den geradlinigen übergeht.

(5 P)



Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen

Lösung : Kurvenuntersuchung

Aufgabe 1 - Skizze

Wir definieren

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und gehen in den Graphikbereich und geben dort \(f(x)\) ein. Wir erhalten folgendes Bild (ohne Flächen).

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Aufgabe 2 - Summanden des Terms

Dabei ist

\( \left. \begin{align} & A_1 \text{ ist der 1.Summand} \\[6pt] & A_2 \text{ ist der 2.Summand} \\[6pt] & A_3 \text{ ist der 3.Summand} \end{align} \right\} \text{ des Terms } \displaystyle{\int_{-2}^0 f_6(x)dx + 4 \cdot 2 + \int_{4}^6 f_6(x)dx} \)

Wir berechnen die gesamte Fläche mit

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Aufgabe 3 - Extrempunkte

Notwendige Bedingung

Wir definieren die Funktion

\( f_r(x) = -\frac{1}{r} \cdot x^2 + \frac{4}{r} \cdot x + 2 \quad \text{und} \quad r \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}. \)

als \(g(x)\) mit

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Für Extrempunkte gilt, dass \(g'(x)=0\) ist und wir lösen die Gleichung.

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Hinreichende Bedingung

Es gilt \(g''(x) \not= 0\) und wir überprüfen das für \(x=2\).

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Wir erhalten \(g''(2)=-\frac{2}{r}\) und müssen unterscheiden, ob in den Funktionen für die Scharenvariable \(r\) die 2. Ableitung mit \(x=2\) positiv oder negativ ist.

Für \(r>0\) ist \(g''(2)<0\) und es liegt an der Stelle \(x=2\) ein Maximum vor.

Für \(r<0\) ist \(g''(2)>0\) und es liegt an der Stelle \(x=2\) ein Minimum vor.


Funktionswert

Mit

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erhalten wir den Punkt \(\left( 2 \big| \frac{4}{r}+2 \right)\).




Aufgabe 4 - Nullstellen

Nullstellen werden berechnet mit der Bedingung \(g(x)=0\).

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Der Wurzelinhalt kann nicht negativ sein, also

\( \begin{align} 2 \cdot (r + 2) & \geq 0 && | \; : 2 \\[6pt] r + 2 & \geq 0 && | \; - 2 \\[6pt] r & \geq -2 \end{align} \)

Ist \(r > -2\) , so gibt es 2 Nullstellen, also zum Beispiel bei \(r=0\) gilt

\( \begin{align} x & = \pm \sqrt{ 2 \cdot(0+2)} + 2 \\[6pt] x & = \pm \sqrt{ 2 \cdot 2} + 2 \\[6pt] x & = \pm \sqrt{4} + 2 \\[6pt] x & = \pm 2 + 2 \\[6pt] x_1 & = 4 \\[6pt] x_2 & = 0 \end{align} \)


Bei \(r=-2\) gilt

\( \begin{align} x & = \pm \sqrt{ 2 \cdot( -2 + 2)} + 2 \\[6pt] x & = \sqrt{0} + 2 \\[6pt] x & = 2 \end{align} \)

Für den den Fall gibt es also genau eine Nullstelle.


Ist \(r < -2\) , gibt es keine Nullstellen.









Lösung : Flächen

Aufgabe 1 - rechtwinkliges Dreieck

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Wir betrachten zunächst

\( \begin{align} (1) \quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\sqrt{4+2r}-2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \sqrt{4+2r}-2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = 0 \end{align} \)

Wir sehen, dass beide Vektoren \(2\) nach unten verlaufen; also so, wie oben eingezeichnet. Für die Orthogonalität gilt, dass das Skalarprodukt Null ergibt. Wir prüfen, ob das angegebene Skalarprodukt aus den beiden Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) gilt.

\( \begin{align} \vec{CA} & = \vec{a} - \vec{c} \\[6pt] \vec{CA} & = \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{c} 2-\sqrt{4+2r} \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{CA} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2-\sqrt{4+2r}-4 \\ 0-2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{CA} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\sqrt{4+2r} -2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \qquad \Rightarrow \quad 1. \text{ Vektor} \end{align} \)


\( \begin{align} \vec{CB} & = \vec{b} - \vec{c} \\[6pt] \vec{CB} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2+\sqrt{4+2r} \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{CA} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2+\sqrt{4+2r}-4 \\ 0-2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{CA} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \sqrt{4+2r} -2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \qquad \Rightarrow \quad 2. \text{ Vektor} \end{align} \)

Die 1. Gleichung berechnet damit für die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) eine rechten Winkel im Punkt \(C\). Wir ermitteln nun \(r\):

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Nach Gleichung (1) ist das Dreieck mit \(r=2\) rechtwinklig.


In der Gleichung (2) wird der gleiche Sachverhalt mithilfe von Steigungen zweier Geraden behandelt:
2 Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn für ihre Steigungen gilt

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

wobei die Steigungen, hier als Steigungsdreiecke dargestellt,

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der Bruch im linken Dreieck in der Form

\( \begin{align} m & = \displaystyle{\frac{\scriptstyle{\Delta} y}{\scriptstyle{\Delta} x}} \\[8pt] m & = \displaystyle{\frac{y_c - y_{A_r}}{x_c - x_{A_r}}} \\[8pt] m & = \frac{2 - 0}{4- (2-\sqrt{4+2r})} \\[8pt] m & = \frac{2}{2+\sqrt{4+2r}} \end{align} \)

ist. Entsprechend gilt für das rechte Dreieck

\( \begin{align} m & = \displaystyle{\frac{\scriptstyle{\Delta}y}{\scriptstyle{\Delta}x}} \\[8pt] m & = \displaystyle{\frac{y_c - y_{B_r}}{x_c - x_{B_r}}} \\[8pt] m & = \displaystyle{\frac{2 - 0}{4- (2+\sqrt{4+2r})}} \\[8pt] m & = \displaystyle{\frac{2}{2-\sqrt{4+2r}}} \end{align} \)

Wir berechnen auch mit der 2. Gleichung Variable \(r\) :

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Ebenfalls ist für \(r=2\) das Dreieck rechtwinklig.








Aufgabe 2 - Fläche des Dreiecks

Die Fläche des Dreiecks bekommen wir mit

\( \begin{align} A & = \frac{g \cdot h}{2} \\[8pt] A & = \frac{(x_{B_r} - x_{A_r}) \cdot y_C}{2} \\[8pt] A & =\frac{\left( (2 + \sqrt{4+2r}) - (2 - \sqrt{4+2r}) \right) \cdot 2}{2} \\[8pt] A & = \frac{(2 + \sqrt{4+2r}) - 2 + \sqrt{4+2r}) \cdot 2}{2} \\[8pt] A & = \frac{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{4+2r}}{2} \\[8pt] A & = 2 \cdot \sqrt{4+2r} \end{align} \)


Wir definieren die Fläche als \(a(r)\) mit

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Es soll nun gelten

\( \displaystyle{\int}_{2 - \sqrt{4+2r} }^{2 + \sqrt{4+2r} } f_r(x)=4 \cdot a(r) \)

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mit den Nullstellen \(x_{A_r}\) und \(x_{B_r}\)

\(x_{A_r}=2 - \sqrt{4+2r} \quad \textit{und} \quad x_{B_r}=2 + \sqrt{4+2r}\)

Das heißt, dass die Integralfläche, die bis zu dem Punkten\(A_r\) und \(B_r\) reicht, 4-mal so groß ist wie die Dreiecksfläche.

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Da nach den Vorgaben \(r>-2\) sein soll, ist die Lösung \(r=1\) .










Lösung : Parabelflug

Aufgabe - Flugweite

Wir definieren die Funktion \(f_4(x)\)

\( \begin{align} f_4(x) & = -\frac{1}{4} \cdot x^2+ \frac{4}{4} \cdot x + 2 \\[8pt] f_4(x) & = -\frac{1}{4} \cdot x^2+ x + 2 \end{align} \)

als \(k(x)\) :

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und berechnen die Nullstellen.

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\( \begin{align} x & = -2 \cdot \sqrt{3} + 2 \approx -1,46 < 0 \\[6pt] x & = 2 \cdot \sqrt{3} + 2 \approx 5,46 > 0 \end{align} \)

Mit der Bedingung \(x\geq 0\) muss die Flugweite 5,46 m betragen.










Lösung : Sturzflug

Aufgabe 1 - Parameter a und b

Wir definieren \(s\) . Dabei ist zu beachten, dass sie die Variable \(a\) enthält, die wir ja schon als die Funktion \(a(r)\) verwendet haben. Diese Definition muss zunächst gelöscht werden. Alternativ kann man natürlich auch eine Variable wählen, die noch nicht verwendet wurde.

Dazu gehen oben links in den Variablenmanager:

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Wir wählen main aus und öffnen dies mit einem Doppelklick.

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Bis auf \(a\) nehmen wir alle Haken weg undmarkieren die Zeile mit \(a\) .

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Wir wählen Edit und Delete.

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und bestätigen mit OK.

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\(a\) ist nun entfernt. Wir können den Variablenmanager schließen.

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Jetzt definieren wir \(s\) .

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Die Funktion \(s\) hat bei \(x=0,5\) den gleichen Funktionswert wie die Funktion \(k\), denn dort geht die eine Funktion in die andere über. Außerdem ist die Flugkurve in jedem Punkt knickfrei, also auch dort. Das heisst

\( \begin{align} \text{I} && s(0.5) & = k(0.5) \\[6pt] \text{II} && s'(0.5) & = k'(0.5) \end{align} \)

Wir lösen das lineare Gleichungssystem indem wir dieses Werkzeug benutzen:

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Aufgabe 2 - Steigungswinkel

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Wie hier im Steigungsdreieck zu sehen ist gelten die Verhältnisse

\( m=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = tan(\alpha) \)

Daraus ergibt sich

\( m=tan(85^\circ) \)

Weiter gilt

\( m=s'_{-0.75,1.6875}(x) \)

Folglich berechnen wir die horizontale Entfernung \(x=e\) mit dem Ansatz

\( s'_{-0.75,1.6875}(x)=tan(85^\circ) \)

Wir definieren \(r\) mit den Werten von \(a\) und \(b\) eingesetzt in die Funktion \(s\)

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und berechnen die Gleichung.

Achtung: Die Winkeleinstellung muss auf 360° eingestellt sein.

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Wenn wir uns den Graphen von \(r\) betrachten, sehen wir, dass \(r\) einen typischen Verlauf einer gebrochen-rationalen Funktion und bei \(x=1{,}5\) eine Definitionslücke hat.

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Wir überprüfen die beiden Ergebnissen.

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Der 2. \(y\)-Wert ist negativ, was nicht sein kann. Also ist der richtige Wert \(x=1{,}2438\) .







Aufgabe 3 - Länge der Flugkurve S

Die Funktion \(h\) kann für die Flugkurve \(S\) beschrieben werden mit

\( h(x)=\left\{ \begin{array}{ c l } k(x) & \textit{mit} \quad 0 \leq x \leq 0{,}5 \\[6pt] r(x) & \textit{mit} \quad 0{,}5 < x \leq 1{,}2438 \\ \end{array} \right. \)

Wir erhalten die Länge von \(S\) mit

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Die Länge \(L\) der Kurve \(S\) beträgt 3,033 m.









Lösung : Flugkurve G

Wenn die Flugkurve \(G\) vom parabelförmigen Teil knickfrei in den geradlinigen Teil übergeht, dann muss der geradlinige Teil eine Tangente an der Parabel in der Form

\( t(x) = m \cdot x + b \)


sein. Dann gilt, dass \(m=k'(x)\) ist. Mit dem Punkt \((17{,}6|0)\) eingesetzt erhalten wir

\( \begin{array}{ r c l l } 0 & = & k'(x) \cdot 17{,}6 + b & | -b \\[6pt] -b & = & k'(x) \cdot 17{,}6 & | \cdot (-1) \\[6pt] b & = & -17{,}6 \cdot k'(x) & | \cdot (-1) \\ \end{array} \)


und es folgt für die Tangente

\( \begin{array}{ l } t(x) = k'(x) \cdot x - 17{,}6 \cdot k'(x) \\[6pt] t(x) = (x - 17{,}6) \cdot k'(x) \\ \end{array} \)


an der Stelle \(x\) des Übergangs. Wir berechnen diesen \(x\)-Wert, indem wir \(k(x)\) und \(t(x)\) gleichsetzen. Dazu definieren wir zunächst \(t(x)\)

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und setzen dann die Gleichungen gleich.

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Für den gesuchten \(x\)-Wert gilt

\( 0 < x < 17{,}6 \)


Es kommt also nur \(x=2{,}3895\) infrage. Die Höhe ermitteln wir mit

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Die gesuchte Höhe beträgt 2,96 m