Analysis 1

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Hängebrücke

Zwischen zwei Orten \(A\) und \(B\) befindet sich ein Tal mit einem tiefsten Punkt \(T\). Der Querschnitt des Tals kann durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades beschrieben werden, wobei \(f(x)\) die Höhe über dem Meeresspiegel in Kilometern angibt. Im dargestellten Koordinatensystem entspricht eine Einheit einem Kilometer in der Wirklichkeit. Die Orte \(A\) und \(B\) sowie der Tiefpunkt \(T\) haben die Koordinaten \(A(0|0{,}2)\), \(B(1|0{,}3)\) und \(T(0{,}5|0{,}13)\).

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Der Graph der Funktion \(f\) ist zusätzlich auf dem Arbeitsblatt

vergrößert dargestellt.





Funktion f

  1. Leiten Sie eine Gleichung der Funktion \(f\) her.

    (5 P)

Verwenden Sie im Folgenden \( f(x) = 0{,}4x^3 - 0{,}12x^2 - 0{,}18x + 0{,}2 \)


  1. Bestimmen Sie die Stelle, an der der Querschnitt des Tals eine Höhe von \(240\) m über dem Meeresspiegel aufweist, und bestimmen Sie die Steigung an dieser Stelle.

    (2 P)


  1. Eine Person wandert von \(A\) nach \(T\) . Bestimmen Sie das durchschnittliche und das maximale Gefälle auf diesem Weg.

    (7 P)





Funktion g

Als Touristenattraktion soll zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) eine Hängebrücke errichtet werden. Der Verlauf der Hängebrücke kann durch den Graphen einer Funktion \(g\) mit

\( g(x) = 0{,}2x^2 - 0{,}1x + 0{,}2 \)

beschrieben werden.


  1. Ergänzen Sie die auf dem Arbeitsblatt abgedruckte Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen ein.

    (4 P)


  1. Berechnen Sie den Winkel \(\alpha\) zwischen dem Verlauf der Hängebrücke und dem Querschnitt des Tals im Punkt \(B\) .

    (3 P)





Hängebrücke

  1. Es gibt Punkte auf der Hängebrücke, deren Höhe über dem Boden \(50\) m beträgt. Zeichnen Sie diese Punkte auf dem Arbeitsblatt

    ein.

    (2 P)


  1. Ermitteln Sie rechnerisch die größte Höhe der Hängebrücke über dem Boden.

    (5 P)

Die Länge \(L\) des Graphen der Funktion \(g\) über dem Intervall [a;b] kann durch

\( L = \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(g'(x)\big)^2}dx \)

berechnet werden.


  1. Berechnen Sie die Länge der Hängebrücke.

    (2 P)


  1. Begründen Sie, dass

    \( \displaystyle{\int}_0^b \sqrt{1+ \big(g'(x)\big)^2}dx > \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2} \quad \textit{f } \ddot{u}\textit{r alle} \quad 0 < b \leq 1 \)

    gilt.

    (3 P)





Funktion h

Auch die Funktion \(h\) mit

\( h(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(e^x + e^{-x}\right) \quad , \quad x \in \mathbb{R} \)

kann zur Beschreibung von Hängebrücken verwendet werden.

Es gilt

\(h''(x) = h(x)\).


  1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass

    \( \big(h(x)\big)^2 - \big(h'(x)\big)^2 = 1 \)

    gilt.

    (4 P)


  1. Leiten Sie her, dass

    \( \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}dx = h'(b) - h'(a) \)

    ist.

    (3 P)



Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen: Hängebrücke

Lösung : Funktion f

Aufgabe 1 - Herleitung der Gleichung

Wir erstellen ein Gleichungssystem und brauchen dazu die allgemeine Gleichung dritten Grades und ihre Ableitung:

\( \begin{array}{ r c l } f(x) & = & ax^3 + bx^2 + cx + d \\[6pt] f'(x) & = & 3ax^2 + 2bx + c \\[6pt] \end{array} \)


Wir nehmen die angegebenen Punkte und setzen sie in die entsprechende allgemeine Gleichung ein:

\( \begin{array}{ l c r c l } A(0|0{,}2) & \quad \Longrightarrow & f(0) & = & 0{,}2 \\[6pt] B(1|0{,}3) & \quad \Longrightarrow & f(1) & = & 0{,}3 \\[6pt] T(0{,}5|0{,}13) & \quad \Longrightarrow & f(0{,}5) & = & 0{,}13 \\[6pt] & \quad \Longrightarrow & f'(0{,}5)& = & 0 \\ \end{array} \)


Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

\( \begin{array}{ c*{10}{c} } \textrm{I} & 0{,}2 & = & & & & & & & d \\[6pt] \textrm{II} & 0{,}3 & = & a &+ & b & + & c & + & d \\[6pt] \textrm{III} & 0{,}13 & = & {0{,}5}^3 a & + & {0{,}5}^2 b & + & 0{,}5 c & + & d \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & 3 \cdot {0{,}5}^2 a & + & 2 \cdot 0{,}5 b & + & c & & \\[25pt] \textrm{I} & 0{,}2 & = & & & & & & & d \\[6pt] \textrm{II} & 0{,}3 & = & a & + & b & + & c & + & d \\[6pt] \textrm{III} & 0{,}13 & = & 0{,}125 a & + & 0{,}25 b & + & 0{,}5 c & + & d \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & 0{,}75 a & + & b & + & c & & \\ \end{array} \)


Wir lösen das Gleichungssystem mit dem Taschenrechner und erhalten die Lösungen

\( \begin{align} a & = 0{,}4 \\[6pt] b & = -0{,}12 \\[6pt] c & = -0{,}18 \\[6pt] d & = 0{,}2 \end{align} \)


Daraus folgt die Funktion \(f\) mit

\( f(x) = 0{,}4x^3 - 0{,}12x^2 - 0{,}18x + 0{,}2 \)








Aufgabe 2 - 240 m über dem Meeresspiegel

Anhand des Querschnitts des Tals (Arbeitsblatt) können wir erkennen, dass es nur eine Stelle rechts vom Tiefpunkt gibt, für die diese Höhe \((f(x)=0{,}24)\)zutrifft. Wir berechnen diese Stelle mit

\( \begin{array}{ r c l l } f(x) & = & 0{,}24 & \\[6pt] 0{,}4x^3 - 0{,}12x^2 - 0{,}18x + 0{,}2 & = & 0{,}24 &| \; - 0{,}24 \\[6pt] 0{,}4x^3 - 0{,}12x^2 - 0{,}18x - 0{,}04 & = & 0{,}24 & \\ \end{array} \)


Mit der Taschenrechnerfunktion "Lösen einer Polynomfunktion" oder der SOLVE-Funktion erhalten wir den Wert

\( x = 0{,}9129 \; {,} \)


also nach 912,9 m rechts vom Punkt \(A\) aus gesehen.

Die Steigung an dieser Stelle, also die Steigung in einem Punkt, ist laut Tabelle

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Die Tangentensteigung und wird berechnet mit \(f'(0{,}9129)\):

\( \begin{array}{ r c l } f'(x) & = & 1{,}2x^2 - 0{,}24x - 0{,}18 \\[6pt] f'(0{,}9129) & = & 1{,}2 \cdot 0{,}9129^2 - 0{,}24 \cdot 0{,}9129 - 0{,}18 \\[6pt] f'(0{,}9129) & = & 0{,}6 \\ \end{array} \)




Aufgabe 3 - Gefälle

Das durchschnittliche Gefälle wird nach der Tabelle aus der vorherigen Aufgabe berechnet mit

\( m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \)


Mit Punkt \(A\) und Punkt \(T\) erhalten wir

\( \begin{array}{ r c l } m & = & \frac{f(x_T)-f(x_A)}{x_T-x_A} \\[6pt] m & = & \frac{0{,}13-0{,}2}{0{,}5-0} \\[6pt] m & = & \frac{-0{,}07}{0{,}5} \\[6pt] m & = & -\frac{7}{50} \\[6pt] m & = & -0{,}14 \\ \end{array} \)


Auf \(100 \; m\) in waagerechter Richtung geht es von Punkt \(A\) nach Punkt \(T\) durchschnittlich \(14 \; m\) abwärts.

Das maximale Gefälle haben wir in der Regel im Wendepunkt. Wir überprüfen, ob es für \(0 \leq x < 0{,}5\) einen Wendepunkt gibt.

Der Tiefpunkt kann natürlich kein Wendepunkt sein. Deshalb ist \(x=0{,}5\) aus der Überprüfung ausgenommen.


notwendige Bedingung: \(f''(x) = 0\)

\( \begin{array}{ r c l l } f''(x) & = & 2{,}4x - 0{,}24 & \\[6pt] 2{,}4x - 0{,}24 & = & 0 & | \; +0{,}24 \\[6pt] 2{,}4x & = & 0{,}24 & | \; : 2{,}4 \\[6pt] x & = & 0{,}1 & \\ \end{array} \)


hinreichende Bedingung: \(f'''(x)\not= 0\)

\( \begin{array}{ r c l l } f'''(x) & = & 2{,}4 & \\[6pt] f'''(0{,}1) & = & 2{,}4 \not= 0 & \quad \Rightarrow Wendepunkt \\ \end{array} \)


Die Steigung im Wendepunkt ist

\( \begin{array}{ r c l } f'(0{,}1) & = & 1{,}2 \cdot 0{,}1^2 - 0{,}24 \cdot 0{,}1- 0{,}18 \\[6pt] f'(0{,}1 & = & -0{,}192 \\ \end{array} \)


Wir haben also ein maximales Gefälle von \(0{,}192\) . Das heißt, dass es auf \(100 \; m\) in horizontaler Richtung \(19{,}2 \; m\) abwärts geht.







 



Lösung : Funktion g

Aufgabe 1 - Graph von g


\( \begin{array}{ c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c } x & 0 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}5 & 0{,}6 & 0{,}7 & 0{,}8 & 0{,}9 & 1 \\[6pt] \hline g(x) & 0{,}2 & 0{,}192 & 0{,}188 & 0{,}188 & 0{,}192 & 0{,}2 & 0{,}212 & 0{,}228 & 0{,}248 & 0{,}272 & 0{,}3 \\ \end{array} \)

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Aufgabe 2 - Winkel zwischen f und g

Der Winkel zwischen den Funktionen \(f\) und \(g\) im Punkt \(B\) entspricht dem Winkel ihrer Tangenten im Punkt \(B\) .

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Der Winkel zwischen 2 Geraden wird berechnet, indem man von dem größeren Steigungswinkel (Winkel: Gerade - Horizontale) den kleineren Steigungswinkel abzieht.

Weiter ist

\( m=tan(\alpha) \qquad \Longleftrightarrow \qquad \alpha = tan^{-1}(m) \)


Wir verwenden folgende Steigungen:

\( \begin{array}{ r c l } m_f & = & f'(1) \\[6pt] & = & 1{,}2 \cdot 1^2 - 0{,}24 \cdot 1 - 0{,}18 \\[6pt] & = & 0{,}78 \\ \end{array} \)


und

\( \begin{array}{ r c l } m_g & = & g'(x) \\[6pt] & = & 0{,}4x -0{,}1 \\[6pt] & = & 0{,}4 \cdot 1 -0{,}1 \\[6pt] & = & 0{,}3 \\ \end{array} \)


Der gesuchte Winkel \(\alpha\) beträgt somit

\( \begin{array}{ r c l } \alpha & = & tan^{-1}(m_f) - tan^{-1}(m_g) \\[6pt] & = & tan^{-1}(0{,}78) - tan^{-1}(0{,}3) \\[6pt] & = & 21{,}25^\circ \\ \end{array} \)







 



Lösung : Hängebrücke

Aufgabe 1 - Höhe der Hängebrücke

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Aufgabe 2 - größte Höhe der Hängebrücke

Die Höhe der Hängebrücke wird ermittelt durch die Differenz der Funktionen \(g\) und \(f\) mit der Differenzfunktion \(d\) mit

\( \begin{array}{ r c l } d(x) & = & g(x) - f(x) \\[6pt] d(x) & = & 0{,}2x^2 - 0{,}1x + 0{,}2 - \left(0{,}4x^3 - 0{,}12x^2 - 0{,}18x + 0{,}2\right) \\[6pt] d(x) & = & 0{,}2x^2 - 0{,}1x + 0{,}2 - 0{,}4x^3 + 0{,}12x^2 + 0{,}18x - 0{,}2 \\[6pt] d(x) & = & - 0{,}4x^3 + 0{,}32x^2 + 0{,}08x \\ \end{array} \)

Für die maximale Höhe berechnen wir den Hochpunkt.


notwendige Bedingung: \(d'(x)=0\)

\( \begin{array}{ r c l } d'(x) & = & -1{,}2x^2 + 0{,}64x + 0{,}08 \\[6pt] 0 & = & -1{,}2x^2 + 0{,}64x + 0{,}08 \\ \end{array} \)


Mit dem Taschenrechner erhalten wir

\( \begin{array}{ c c c c } x_1 & = & \frac{4 + \sqrt{31}}{15} & \approx 0{,}63785 \\[6pt] x_2 & = & \frac{4 - \sqrt{31}}{15} & \approx -0{,}10452 \\ \end{array} \)


\(-0{,}10452\) liegt außerhalb des Tals. Also kommt nur \(0{,}63785\) infrage. Wir überprüfen die 2. Ableitung mit der


hinreichenden Bedingung: \(d''(x)=0\)

\( \begin{array}{ c*{3}{c} } d''(x) & = & -2{,}4x + 0{,}64 \\[6pt] d''(0{,}63785) & = & -0{,}89084 &lt; 0 \\ \end{array} \)


Es liegt bei \(x=0{,}63785\) ein Hochpunkt vor. Wir berechnen die Höhe mit

\( d(0{,}63785) = - 0{,}4 \cdot 0{,}63785^3 + 0{,}32\cdot 0{,}63785^2 + 0{,}08\cdot 0{,}63785 = 0{,}077 \)


Wir haben also ca. \(640 \;m\) vom Punkt \(A\) entfernt eine maximale Höhe der Hängebrücke über dem Boden von \(77 \; m\) .








Aufgabe 3 - Länge L

Für die Hängebrücke gilt

\( \begin{array}{ r c l } a & = & 0 \\[6pt] b & = & 1 \\[6pt] g'(x) & = & 0{,}4x -0{,}1 \\ \end{array} \)


Also ist

\(L = \displaystyle{\int}_0^1 \sqrt{1+ \big(0{,}4x -0{,}1\big)^2}dx = 1{,}0115 \)


Das heißt, dass die Hängebrücke \(1 \; km\) und \(11{,}5 \; m\) lang ist.








Aufgabe 4 - Ungleichung

An einer Stelle x=b ergibt sich folgende Darstellung:

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Wir erhalten dann ein rechtwinkliges Dreieck mit der Strecke \(\overline{AC}\) als Hypothenuse. Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

\( \begin{array}{ c c l l } (\overline{AC})^2 & = & b^2 + \big(g(b) - g(0)\big)^2 & \bigl| \sqrt{\dots} \\[6pt] \overline{AC} & = & \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2} & \\ \end{array} \)


Das heißt, das

\( \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2} \)


eine geradlinige Verbindung von \(A\) nach \(C\) für alle \(0 < b\leq 1\) ist.

Da \(g\) eine quadratische Funktion ist und sein Graph einen parabelförmigen Verlauf aufweist, ist die Länge seines Verlaufs ausgedrückt mit

\( \displaystyle{\int}_0^b \sqrt{1+ \big(0{,}4x -0{,}1\big)^2}dx \)


stets größer als

\( \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2} \)

für alle \(0 < b\leq 1\) .







 



Lösung : Funktion h

Aufgabe 1 - Ableiten von h

Zunächst bestimmen wir die Ableitung von \(h\) :

\( \begin{array}{ r c l l } h(x) & = & \frac{1}{2} \cdot \left(e^x + e^{-x}\right) & \\[8pt] h(x) & = & \frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2} \cdot e^{-x} & \qquad \bigl{|} \; \textit{Ableiten mit der Kettenregel} \\[8pt] h'(x) & = & \frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2} \cdot e^{-x}& \qquad \bigl{|} \; \textit{Potenzumformung} \\[8pt] h'(x) & = & \frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2 \cdot e^x} & \\ \end{array} \)


Quadrieren von \(h(x)\):

\( \begin{array}{ r c l l } \big( h(x) \big)^2 & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2} \cdot e^{-x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{Potenzumformung} \\[8pt] & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2 \cdot e^x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{Binomische Formel} \\[8pt] & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x \right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^x \cdot \frac{1}{2 \cdot e^x} + \left(\frac{1}{2 \cdot e^x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{1. Potenzgesetz} \\[8pt] & = & \frac{1^2}{2^2} \cdot \left(e^x\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{e^x}{ e^x} + \frac{1^2}{2^2 \cdot \left(e^x \right)^2} & \qquad \bigl{|} \; \textit{3. Potenzgesetz} \\[8pt] & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4 \cdot e^{2x}}& \\ \end{array} \)


Quadrieren von \(h'(x)\):

\( \begin{array}{ r c l l } \big( h'(x) \big)^2 & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2 \cdot e^x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{Binomische Formel} \\[8pt] & = & \left( \frac{1}{2} \cdot e^x \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^x \cdot \frac{1}{2 \cdot e^x} + \left(\frac{1}{2 \cdot e^x}\right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{1. Potenzgesetz} \\[8pt] & = & \frac{1^2}{2^2} \cdot \left(e^x\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{e^x}{ e^x} + \frac{1^2}{2^2 \cdot \left(e^x \right)^2} & \qquad \bigl{|} \; \textit{3. Potenzgesetz} \\[8pt] & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 \cdot e^{2x}} & \\ \end{array} \)


Zusammensetzen:

\( \begin{array}{ r c l } \big(h(x)\big)^2 - \big(h'(x)\big)^2 & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4 \cdot e^{2x}}- \left(\frac{1}{4} \cdot e^{2x} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 \cdot e^{2x}}\right) \\[8pt] & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x} + \frac{1}{2}+\frac{1}{4 \cdot e^{2x}}-\frac{1}{4} \cdot e^{2x} + \frac{1}{2}-\frac{1}{4 \cdot e^{2x}} \\[8pt] & = & \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \\ & = & 1 \\ \end{array} \)








Aufgabe 2 - Herleitung

Mit

\( \begin{array}{ r c l l } \big(h(x)\big)^2 - \big(h'(x)\big)^2 & = & 1 & | \; + \big(h'(x)\big)^2 \\[8pt] \big(h(x)\big)^2 & = & 1 + \big(h'(x)\big)^2 & \\ \end{array} \)


gilt

\( \begin{array}{ r c l c l } \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}\, dx & = & \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{\big(h(x)\big)^2} dx \\[8pt] \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}\, dx & = & \displaystyle{\int}_a^b \bigl|h(x)\bigl| dx \\ \end{array} \)


Da

\( h(x) \; = \; \frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2} \cdot e^{-x} \)


stets größer als Null ist gilt auch

\( \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}\, dx \; = \; \displaystyle{\int}_a^b h(x) dx \)


Mit der Voraussetzung \(h''(x) = h(x)\) gilt weiter

\( \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1 + \big(h'(x)\big)^2}\, dx \; = \; \displaystyle{\int}_a^b h''(x) dx \)


Es folgt die Aufleitung

\( \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2} dx \; = \; \Big[ h'(x) \Big]_a^b \; = \; h'(b) - h'(a) \)