Abituraufgaben 2019 – Analysis 1

 

Inhaltsverzeichnis





 

Aufgaben: Hängebrücke

Zwischen zwei Orten A und B befindet sich ein Tal mit einem tiefsten Punkt T. Der Querschnitt des Tals kann durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades beschrieben werden, wobei f(x) die Höhe über dem Meeresspiegel in Kilometern angibt. Im dargestellten Koordinatensystem entspricht eine Einheit einem Kilometer in der Wirklichkeit. Die Orte A und B sowie der Tiefpunkt T haben die Koordinaten A(0|0.2), B(1|0.3) und T(0.5|0.13).

Rendered by QuickLaTeX.com

Der Graph der Funktion f ist zusätzlich auf dem Arbeitsblatt vergrößert dargestellt.

 

Funktion f

  1. Leiten Sie eine Gleichung der Funktion f her.

    (5 P)

Verwenden Sie im Folgenden

    \[ f(x) = 0.4x^3 - 0.12x^2 - 0.18x + 0.2 \]

 

  1. Bestimmen Sie die Stelle, an der der Querschnitt des Tals eine Höhe von 240 m über dem Meeresspiegel aufweist, und bestimmen Sie die Steigung an dieser Stelle.

    (2 P)

  2.  

  3. Eine Person wandert von A nach T. Bestimmen Sie das durchschnittliche und das maximale Gefälle auf diesem Weg.

    (7 P)

 

LÖSUNG


 

 

Funktion g

Als Touristenattraktion soll zwischen den Punkten A und B eine Hängebrücke errichtet werden. Der Verlauf der Hängebrücke kann durch den Graphen einer Funktion g mit

    \[ g(x) = 0.2x^2 - 0.1x + 0.2 \]

beschrieben werden.

  1. Ergänzen Sie die auf dem Beiblatt abgedruckte Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen auf das Arbeitsblatt .

    (4 P)

  2.  

  3. Berechnen Sie den Winkel α zwischen dem Verlauf der Hängebrücke und dem Querschnitt des Tals im Punkt B.

    (3 P)

 

LÖSUNG


 

 

Hängebrücke

  1. Es gibt Punkte auf der Hängebrücke, deren Höhe über dem Boden 50 m beträgt. Zeichnen Sie diese Punkte auf dem Arbeitsblatt ein.

    (2 P)

  2.  

  3. Ermitteln Sie rechnerisch die größte Höhe der Hängebrücke über dem Boden.

    (5 P)

Die Länge L des Graphen der Funktion g über dem Intervall [a;b] kann durch

    \[ \mathlarger{L = \mathlarger{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(g'(x)\big)^2}dx} \]

berechnet werden.

  1. Berechnen Sie die Länge der Hängebrücke.

    (2 P)

  2.  

  3. Begründen Sie, dass

        \[ \mathlarger{ \mathlarger{ \int}_0^b \sqrt{1+ \big(g'(x)\big)^2}dx > \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2 } }\quad \textit{f}\, \ddot{u}\textit{r alle} \quad 0 < b \leq 1 \]

    gilt.

    (3 P)

 

LÖSUNG


 

 

Funktion h

Auch die Funktion h mit

    \[ h(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(e^x + e^{-x}\right) \quad , \quad x \in \mathbbm{R} \]

kann zur Beschreibung von Hängebrücken verwendet werden.

Es gilt h''(x) = h(x).

 

  1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass

        \[ \big(h(x)\big)^2 - \big(h'(x)\big)^2 = 1 \]

    gilt.

    (4 P)

  2. Leiten Sie her, dass

        \[ \mathlarger{\mathlarger{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}dx = h'(b) - h'(a)} \]

    ist.

    (3 P)

 

LÖSUNG

 
Aufgaben zum Ausdrucken: Abitur 2019, Analysis, 1. Aufgabe, Schleswig-Holstein als PDF







 

Lösungen: Hängebrücke

Lösung : Funktion f

Aufgabe 1 – Herleitung der Gleichung

Wir erstellen ein Gleichungssystem und brauchen dazu die allgemeine Gleichung dritten Grades und ihre Ableitung:

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } f(x) & = & ax^3 + bx^2 + cx + d \\ f\/'(x) & = & 3ax^2 + 2bx + c \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Wir nehmen die angegebenen Punkte und setzen sie in die entsprechende allgemeine Gleichung ein:

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ l c l c l } A(0|0.2) & \quad \Longrightarrow & f(0) & = & 0.2 \\ B(1|0.3) & \quad \Longrightarrow & f(1) & = & 0.3 \\ T(0.5|0.13) & \quad \Longrightarrow & f(0.5) & = & 0.13 \\ & \quad \Longrightarrow & f\/'(0.5)& = & 0 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ c*{10}{c} } \textrm{I} & 0.2 & = & & & & & & & d\\ \textrm{II} & 0.3 & = & a & + & b & + & c & + & d\\ \textrm{III} & 0.13 & = & {0,5}^3 a & + & {0,5}^2 b & + & 0.5 c & + & d\\ \textrm{IV} & 0 & = & 3 \cdot {0,5}^2 a & + & 2 \cdot 0.5 b & + & c & & \\ \\ \\ \textrm{I} & 0.2 & = & & & & & & & d\\ \textrm{II} & 0.3 & = & a & + & b & + & c & + & d\\ \textrm{III} & 0.13 & = & 0.125 a & + & 0.25 b & + & 0.5 c & + & d\\ \textrm{IV} & 0 & = & 0.75 a & + & b & + & c & & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Wir lösen das Gleichungssystem mit dem Taschenrechner und erhalten die Lösungen

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } a & = 0.4 \\ b & = -0.12 \\ c & = -0.18 \\ d & = 0.2 \\ \]

Daraus folgt die Funktion f mit

    \[ f(x) = 0.4x^3 - 0.12x^2 - 0.18x + 0.2 \]


 

Aufgabe 2 – 240 m über dem Meeresspiegel

Anhand des Querschnitts des Tals (Arbeitsblatt) können wir erkennen, dass es nur eine Stelle rechts vom Tiefpunkt gibt, für die diese Höhe (f(x)=0.24)zutrifft. Wir berechnen diese Stelle mit

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l l } f(x) & = & 0.24 & \\ 0.4x^3 - 0.12x^2 - 0.18x + 0.2 & = & 0.24 & | - 0.24 \\ 0.4x^3 - 0.12x^2 - 0.18x - 0.04 & = & 0.24 & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Mit dem Taschenrechner erhalten wir den Wert

    \[ x = 0.9129 \, , \]

also nach 912.9 m rechts vom Punkt A aus gesehen.

Die Steigung an dieser Stelle, also die Steigung in einem Punkt, ist laut Tabelle

 

    \[ \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.2} \begin{array}{ C{50mm} C{48mm} l } & \textbf{TABELLE} & \\ \hline \textbf{Sekantensteigung} & \textbf{Tangentensteigung} & \\ \hline \( m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \) & \( m=f\/'(x_0) \) & \quad \text{Formeln} \\ \hline \end{array} \]

    \[ \begin{rcases} \text{durchschnittliche Steigung} & \text{Steigung im Punkt P} \\ \\ \text{durchschnittliche }\(\ddot{A}\)\text{nderungsrate} & \text{momentane }\(\ddot{A}\)\text{nderungsrate} \\ \\ \text{mittlere }\(\ddot{A}\)\text{nderungsrate} & \text{Momentangeschwindigkeit} \\ \\ \text{Durchschnittsgeschwindigkeit} & \\ \end{rcases} \text{Beschreibungen} \hline \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

die Tangentensteigung und wird berechnet mit f\/'(0.9129):

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } f\/'(x) & = & 1.2x^2 - 0.24x - 0.18 \\ f\/'(0.9129) & = & 1.2 \cdot 0.9129^2 - 0.24 \cdot 0.9129 - 0.18 \\ f\/'(0.9129) & = & 0.6 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]


 

Aufgabe 3 – Gefälle

Das durchschnittliche Gefälle wird nach der Tabelle aus der vorherigen Aufgabe berechnet mit

    \[ m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \]

Mit Punkt A und Punkt T erhalten wir

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{array}{ r c l } \mathlarger{m} & \mathlarger{=} & \mathlarger{\frac{f(x_T)-f(x_A)}{x_T-x_A}} \\ \mathlarger{m} & \mathlarger{=} & \mathlarger{\frac{0.13-0.2}{0.5-0}} \\ \mathlarger{m} & \mathlarger{=} & \mathlarger{\frac{-0.07}{0.5}} \\ \mathlarger{m} & \mathlarger{=} & \mathlarger{-\frac{7}{50}} \\ \mathlarger{m} & \mathlarger{=} & \mathlarger{-0.14} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Auf 100 m in waagerechter Richtung geht es von Punkt A nach Punkt T durchschnittlich 14 m abwärts.

Das maximale Gefälle haben wir in der Regel im Wendepunkt. Wir überprüfen, ob es für 0\leq x<0.5 einen Wendepunkt gibt.

Der Tiefpunkt kann natürlich kein Wendepunkt sein. Deshalb ist x=0.5 aus der Überprüfung ausgenommen.

notwendige Bedingung: f\/''(x) = 0

    \[ \renewcommand\arraystretch{1.4} \begin{array}{ r c l l } f\/''(x) & = & 2.4x - 0.24 & \\ 2.4x - 0.24 & = & 0 & | +0.24 \\ 2.4x & = & 0.24 & | : 2.4 \\ x & = & 0.1 & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \]

hinreichende Bedingung: f\/'''(x)\not= 0

    \[ \renewcommand\arraystretch{1.4} \begin{array}{ r c l l } f\/'''(x) & = & 2.4 & \\ f\/'''(0.1) & = & 2.4 \not= 0 & \quad \Rightarrow Wendepunkt \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \]

Die Steigung im Wendepunkt ist

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } f\/'(0.1) & = & 1.2 \cdot 0.1^2 - 0.24 \cdot 0.1- 0.18 \\ f\/'(0.1 & = & -0.192 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Wir haben also ein maximales Gefälle von 0.192. Das heißt, dass es auf 100 m in horizontaler Richtung 19.2 m abwärts geht.

 

zurück zum Inhaltsverzeichnis



 

Lösung : Funktion g

Aufgabe 1 – Graph von g

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.2} \begin{array}{ | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | } \hline x & 0 & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & \0.7 & 0.8 & 0.9 & 1 \\ \hline g(x) & 0.2 & 0.192 & 0.188 & 0.188 & 0.192 & 0.2 & 0.212 & 0.228 & 0.248 & 0.272 & 0.3 \\ \hline \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

Rendered by QuickLaTeX.com


 

Aufgabe 2 – Winkel zwischen f und g

Der Winkel zwischen den Funktionen f und g im Punkt B entspricht dem Winkel ihrer Tangenten im Punkt B.

Rendered by QuickLaTeX.com

Der Winkel zwischen 2 Geraden wird berechnet, indem man von dem größeren Steigungswinkel (Winkel: Gerade – Horizontale) den kleineren Steigungswinkel abzieht.

Dabei gilt die Gradeinteilung des Einheitskreises:

Rendered by QuickLaTeX.com

Weiter ist

    \[ m=tan(\alpha) \qquad \Longleftrightarrow \qquad \alpha = tan^{-1}(m) \]

Wir verwenden folgende Steigungen:

    \[ m_f = f\/'(1) = 1.2 \cdot 1^2 - 0.24 \cdot 1 - 0.18 = 0.78 \]

und

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } g'(x) & = & 0.4x -0.1 \\ g'(1) & = & 0.4 \cdot 1 -0.1 \\ g'(1) & = & 0.3 \\ m_g & = & 0.3 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Der gesuchte Winkel α beträgt somit

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } \alpha & = & tan^{-1}(m_f) - tan^{-1}(m_g) \\ & = & tan^{-1}(0.78) - tan^{-1}(0.3) \\ & = & 21.25^\circ \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

 

zurück zum Inhaltsverzeichnis



 

Lösung : Hängebrücke

Aufgabe 1 – Höhe der Hängebrücke

Rendered by QuickLaTeX.com


 

Aufgabe 2 – größte Höhe der Hängebrücke

Die Höhe der Hängebrücke wird ermittelt durch die Differenz der Funktionen g und f mit der Differenzfunktion d mit

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } d(x) & = & g(x) - f(x)\\ d(x) & = & 0.2x^2 - 0.1x + 0.2 - \left(0.4x^3 - 0.12x^2 - 0.18x + 0.2\right) \\ d(x) & = & 0.2x^2 - 0.1x + 0.2 - 0.4x^3 + 0.12x^2 + 0.18x - 0.2 \\ d(x) & = & - 0.4x^3 + 0.32x^2 + 0.08x \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Für die maximale Höhe berechnen wir den Hochpunkt.

notwendige Bedingung: d'(x)=0

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } d'(x) & = & -1.2x^2 + 0.64x + 0.08 \\ 0 & = & -1.2x^2 + 0.64x + 0.08 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Mit dem Taschenrechner erhalten wir

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{ c*{5}{c} } x_1 & = & \frac{4 + \sqrt{31}}{15} & \approx 0.63785\\ x_2 & = & \frac{4 - \sqrt{31}}{15} & \approx -0.10452\\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

-0.10452 liegt außerhalb des Tals. Also kommt nur 0.63785 infrage. Wir überprüfen die 2. Ableitung mit der

hinreichenden Bedingung: d''(x)=0

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ c*{3}{c} } d''(x) & = & -2.4x + 0.64 \\ d''(0.63785) & = & -0.89084 < 0 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Es liegt bei x=0.63785 ein Hochpunkt vor. Wir berechnen die Höhe mit

    \[ %\begin{array}{ c*{5}{c} } d(0.63785) \; = \; - 0.4 \cdot 0.63785^3 + 0.32\cdot 0.63785^2 + 0.08\cdot 0.63785 \; = \; 0.077 %\end{array} \]

Wir haben also ca. 640 m vom Punkt A entfernt eine maximale Höhe der Hängebrücke über dem Boden von 77 m.


 

Aufgabe 3 – Länge L

Für die Hängebrücke gilt

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } a & = & 0 \\ b & = & 1 \\ g'(x) & = & 0.4x -0.1 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Also ist

    \[ \mathlarger{L = \mathlarger{\int}_0^1 \sqrt{1+ \big(0.4x -0.1\big)^2}dx = 1.0115 } \]

Das heißt, dass die Hängebrücke 1 km und 11.5 m lang ist.

 

Aufgabe 4 – Ungleichung

An einer Stelle x=b ergibt sich folgende Darstellung:

Rendered by QuickLaTeX.com

Wir erhalten dann ein rechtwinkliges Dreieck mit der Strecke \overline{AC} als Hypothenuse. Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{array}{ c c l l } (\overline{AC})^2 & = & \mathlarger{b^2 + \big(g(b) - g(0)\big)^2}& \mathlarger{\bigl| \sqrt{\dots}}\\ \overline{AC}& = & \mathlarger{ \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2}} & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Das heißt, das

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{array}{ l } \mathlarger{ \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2}} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

eine geradlinige Verbindung von A nach C für alle 0<b\leq 1 ist.

Da g eine quadratische Funktion ist und sein Graph einen parabelförmigen Verlauf aufweist, ist die Länge seines Verlaufs ausgedrückt mit

    \[ \mathlarger{\mathlarger{\int}_0^b \sqrt{1+ \big(0.4x -0.1\big)^2}dx} \]

stets größer als

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{array}{ l } \mathlarger{ \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2}} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

für alle 0<b\leq 1.

 

zurück zum Inhaltsverzeichnis


 

Lösung : Funktion h

Aufgabe 1 – Ableiten von h

Zunächst bestimmen wir die Ableitung von h:

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{ r c l l } h(x)& = & \frac{1}{2} \cdot \left(e^x + e^{-x}\right) & \\ h(x)& = & \frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2} \cdot e^{-x} & \qquad \bigl{|} \; \textit{Ableiten mit der Kettenregel}\\ h'(x) & = & \frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2} \cdot e^{-x}& \qquad \bigl{|} \; \textit{Potenzumformung} \\ h'(x) & = & \frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2 \cdot e^x} & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Quadrieren von h(x):

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{array}{ r c l l } \big( h(x) \big)^2 & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2} \cdot e^{-x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{Potenzumformung} \\ & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2 \cdot e^x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{Binomische Formel} \\ & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x \right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^x \cdot \frac{1}{2 \cdot e^x} + \left(\frac{1}{2 \cdot e^x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{1. Potenzgesetz} \\ & = & \frac{1^2}{2^2} \cdot \left(e^x\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{e^x}{ e^x} + \frac{1^2}{2^2 \cdot \left(e^x \right)^2} & \qquad \bigl{|} \; \textit{3. Potenzgesetz} \\ & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4 \cdot e^{2x}}& \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Quadrieren von h'(x):

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{array}{ r c l l } \big( h'(x) \big)^2 & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2 \cdot e^x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{Binomische Formel} \\ & = & \left( \frac{1}{2} \cdot e^x \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^x \cdot \frac{1}{2 \cdot e^x} + \left(\frac{1}{2 \cdot e^x}\right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{1. Potenzgesetz} \\ & = & \frac{1^2}{2^2} \cdot \left(e^x\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{e^x}{ e^x} + \frac{1^2}{2^2 \cdot \left(e^x \right)^2} & \qquad \bigl{|} \; \textit{3. Potenzgesetz} \\ & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 \cdot e^{2x}}& \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Zusammensetzen:

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{array}{ r c l } \big(h(x)\big)^2 - \big(h'(x)\big)^2 & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4 \cdot e^{2x}}- \left(\frac{1}{4} \cdot e^{2x} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 \cdot e^{2x}}\right)\\ & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x} + \frac{1}{2}+\frac{1}{4 \cdot e^{2x}}-\frac{1}{4} \cdot e^{2x} + \frac{1}{2}-\frac{1}{4 \cdot e^{2x}}\\ & = & \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\\ & = & 1 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]


 

Aufgabe 2 – Herleitung

Mit

\renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{ r c l l } \big(h(x)\big)^2 - \big(h'(x)\big)^2 & = & 1 & | + \big(h'(x)\big)^2 \\ \big(h(x)\big)^2 & = & 1 + \big(h'(x)\big)^2 & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0}

gilt

 \renewcommand{\arraystretch}{3.4} \begin{array}{ r c l c l } \mathlarger{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}\, dx & = & \mathlarger{\int}_a^b \sqrt{\big(h(x)\big)^2} \, dx \\ \mathlarger{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}\, dx & = & \mathlarger{\int}_a^b \bigl|h(x)\bigl| \, dx \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0}

Da

\renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{ r c l }h(x) & = & \frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2} \cdot e^{-x} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0}

stets größer als Null ist gilt auch

 \renewcommand{\arraystretch}{3.4} \begin{array}{ r c l c l } \mathlarger{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}\, dx & = & \mathlarger{\int}_a^b h(x) \,dx \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0}

Mit der Voraussetzung h''(x) = h(x) gilt weiter

 \renewcommand{\arraystretch}{3.4} \begin{array}{ r c l c l } \mathlarger{\int}_a^b \sqrt{1 + \big(h'(x)\big)^2}\, dx & = & \mathlarger{\int}_a^b h''(x) \, dx \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0}

Es folgt die Aufleitung

 \renewcommand{\arraystretch}{3.4} \begin{array}{ c*{5}{c} } \mathlarger{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}\, dx & = & \Big[ h'(x) \Big]_a^b & = & h'(b) - h'(a) \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0}

 

zurück zum Inhaltsverzeichnis

Menü