CAS 1 (Lösung für TI-Nspire)

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Koffein

Trinkt man ein koffeinhaltiges Getränk ( z. B. Kaffee, Cola, Energiedrink), so wird darin enthaltenes Koffein vom Körper ins Blut aufgenommen und dort kontinuierlich wieder abgebaut.



Funktion h

Eine Person, in deren Körper kein Koffein enthalten ist, trinkt ein koffeinhaltiges Getränk. Berücksichtigt man sowohl den Aufnahme- als auch den Abbauvorgang, so wird die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration im Blut mithilfe der Funktion \(h\) mit

\( h(t) = 0{,}01 \cdot e^{-0{,}003 \cdot t} \cdot \left( 1 - e^{-0{,}07 \cdot t}\right) \quad f\ddot{u}r \quad t \geq 0 \quad und \quad t \in \mathbb{R} \)


beschrieben. Dabei ist \(h(t)\) die Koffeinkonzentration in \(\frac{mg}{ml}\) und \(t\) die Zeit in Minuten, die seit dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs vergangen ist.

  1. Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die höchste Koffeinkonzentration erreicht wird, und geben Sie dieses Konzentration an.

    (4 P)


  1. Zeichnen Sie den Graphen von \(h\) über dem Intervall [0;400] in ein Koordinatensystem und wählen Sie hierfür folgenden Maßstab: \(5 \; cm\) auf der \(t\)-Achse entsprechen \(100 \; min\) und \(1 \; cm\) auf der \(y\)-Achse entspricht \(0{,}001 \; \frac{mg}{ml}\) .

    (3 P)


  1. Bestimmen Sie mithilfe Ihrer Zeichnung die größte momentane Abnahmerate der Koffeinkonzentration.

    (3 P)


  1. Untersuchen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate der Koffeinkonzentration maximal ist, und geben Sie das Maximum an.

    (4 P)


  1. Bestimmen Sie mithilfe einer Rechnung die Zeiträume ab dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs, in denen die Koffeinkonzentration höchstens \(0{,}007 \; \frac{mg}{ml}\) beträgt.

    (3 P)


  1. Berechnen Sie denjenigen Wert von \(a \in \mathbb{R}^{+}\) , für den der Inhalt der Fläche, die der Graph von \(h\) mit der \(t\)-Achse und der Geraden mit der Gleichung \(t=a\) einschließt, \(0{,}7\) beträgt.

    Beurteilen Sie die folgende Aussage:

    "Der Inhalt der betrachteten Fläche entspricht der Koffeinmenge, die im zugehörigen Zeitraum insgesamt ins Blut aufgenommen wird."

    (4 P)





Untersuchung des Abbauvorgangs

Zur gesonderten Untersuchung des Abbauvorgangs soll nun davon ausgegangen werden, dass die Aufnahme von Koffein ins Blut bereits abgeschlossen ist und die Konzentration des Koffeins im Blut innerhalb von jeweils \(240 \; Minuten\) um die Hälfte abnimmt.

  1. Geben Sie die Zeitdauer an, innerhalb derer die Koffeinkonzentration um \(75\%\) abnimmt.

    (2 P)


  1. Unter diesen Voraussetzungen lässt sich die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer Funktion \(f\) mit

    \( f(t) = c \cdot e^{a \cdot t} \quad \textit{mit} \quad a \in \mathbb{R} \; , \; c \in \mathbb{R}^+ \; \textit{und} \; t \in \mathbb{R} \)


    beschreiben. Dabei ist \(f(t)\) die Koffeinkonzentration in \(\frac{mg}{ml}\) und \(t\) die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.

    Begründen Sie, dass \(c\) die Koffeinkonzentration zu Beginn der Beobachtung angibt, und bestimmen Sie den passenden Wert von \(a\) .

    (3 P)





Untersuchung des Aufnahmevorgangs

Berücksichtigt man nun den Aufnahmevorgang, lässt also den gleichzeitig erfolgenden Abbau von Koffein außer Acht, so kann die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer Funktion \(g_{b;k}\) mit

\( g_{b;k}(t) = k \cdot \left(1-e^{b \cdot t}\right) \quad \textit{mit} \quad b \in \mathbb{R} \; , \; k \in \mathbb{R}^+ \; \textit{und} \; t \in \mathbb{R} \)


beschrieben werden. Dabei ist \(g_{b;k}\) die Koffeinkonzentration in \(\frac{mg}{ml}\) und t) die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.

Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Blutmenge konstant \(5\) Liter beträgt und insgesamt \(100 \; mg\) Koffein ins Blut aufgenommen werden.

  1. Begründen Sie unter Berücksichtigung des Sachzusammenhangs, dass \(b<0\) gilt.

    (2 P)


  1. Geben Sie die Bedeutung von \(k\) im Sachzusammenhang an und zeigen Sie, dass \(k=0{,}02\) gilt.


Der folgenden Tabelle können Koffeinkonzentrationen entnommen werden, die sich aus einer Messung ergeben, wenn man den Abbauvorgang außer Acht lässt:

seit Beginn der Beobachtung vergangene Zeit in Minuten Koffeinkonzentration in \( \frac{mg}{ml} \)
0 0,0000
15 0,0127
30 0,0173
60 0,0190




Sollen Messwerte mithilfe einer Funktion eines bestimmten Funktionstyps möglichst gut beschrieben werden, so wird diese Funktion so gewählt, dass die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte und der Messwerte möglichst klein ist. In der Abbildung sind Differenzen von Funktionswerten und Messwerten beispielhaft in Form von Strecken veranschaulicht.

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  1. Berechnen Sie die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte der Funktion \(g_{b;k}\) mit \(b=-0{,}07\) und \(k=0{,}02\) und der in der Tabelle gegebenen Messwerte.

    (4 P)


  1. Geben Sie einen Grund dafür an, dass es bei dieser Methode nicht sinnvoll ist, die Differenzen selbst anstelle ihrer Quadrate zu verwenden.

    (2 P)


  1. Bestimmen Sie \(b\) so, dass die angegebenen Messwerte mithilfe der Funktion \(g_{b;0.02}\) möglichst gut beschrieben werden.

    (4 P)



Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen: Koffein

Lösung : Funktion h

Aufgabe 1 - Maximum

Für die höchste Koffeinkonzentration berechnen wir den Hochpunkt von \(h\) .

notwendige Bedingung

Wir definieren

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Damit ein Extrempunkt vorliegt, muss gelten: \(h'(t)=0\)

Hier brauchen wir zunächst die Ableitung. Zu den Ableitungen kommen wir mit der Auswahl links neben dem Buchsymbol mit dem Werkzeug

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oder alternativ mit der Auswahl \(\textit{menu}\)

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oder kurz mit der Tastenkombination \(\textit{menu} \; \; 4 \; \; 1\)


Wir definieren nun die 1. Ableitung und berechnen die Gleichung.

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hinreichende Bedingung

Um zu überprüfen, welche Art von Extrempunkte wir an den Stelle \(t=45{,}5978\) haben, brauchen wir die 2. Ableitung und definieren

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Wir setzen \(t=45{,}5978\) in die 2. Ableitung ein.

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\(h2(45{,}5978)<0\) , also liegt bei \(t=45{,}5978\) ein Hochpunkt vor.


Funktionswerte

Nun benötigen wir noch den \(y\)-Wert des Hochpunktes und bestimmen ihn mit

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\(45{,}5978\) Minuten nach der Einnahme des koffeinhaltigen Getränks liegt eine maximale Koffeinkonzentration von \(0{,}008363\frac{mg}{ml}\) im Blut vor.




Aufgabe 2 - Graph zeichnen

Zum Zeichnen des Graphen kopieren wir den Funktionsterm

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und gehen in den Graphikbereich

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und fügen dort den Term ein. Dabei ändern wir die Variable \(t\) in \(x\) .

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Mit menu gehen wir in Fenster/Zoom und Fenstereinstellungen

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und passen den Zeichenbereich mit XMin, XMax, YMin und YMax folgendermaßen

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an.

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Mit menu und Tabelle mit geteiltem Bildschirm

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blenden wir die Wertetabelle ein.

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Mit menu, Wertetabelle und Funktionseinstellungen bearbeiten

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ändern wir die Schrittweite auf 20.

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und übertragen die Punkte im angegebenen Maßstab in unsere Zeichnung.

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Aufgabe 3 - Größte momentane Abnahmerate

Die größte momentane Abnahmerate liegt im Wendepunkt.

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Wir bestimmen diese, indem wir im Wendepunkt eine Tangente anlegen und über ein Steigungsdreieck, so gut es eben geht, das Gefälle ablesen. Auf der vorhergehenden Seiten bekommen wir

\( m = -\frac{0{,}002}{90} = -0{,}000022 \)


Das Gefälle beträgt \(0{,}000022 \; \frac{mg}{ml}\) pro Minute.




Aufgabe 4 - maximale momentane Änderungsrate

Die maximale momentane Änderungsrate befindet sich in der Regel zwischen einem Tiefpunkt und einem Hochpunkt. Da wir bereits wissen, dass wir nur einen Hochpunkt haben, muss die größte momentane Änderungsrate links davon liegen. Denn rechts vom Hochpunkt ist der Graph der Funktion stets fallend. Wir überprüfen nun, ob wir dort noch einen Wendepunkt haben.


Wendepunkt

Für den Wendepunkt gilt die

notwendige Bedingung:

\(h''(t) = 0\)


Wir berechnen \(t\) :

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Ein Wendepunkt ist nur rechts vom Hochpunkt möglich. Einen Wendepunkt links vom Hochpunkt können wir also ausschließen.


Momentane Änderungsrate

Die maximale momentane Änderungsrate muss also am Rand vorliegen. Infrage kommt nur der linke Rand der Funktion bei \(t=0\) . Wir berechnen die momentane Änderungsrate mit der ersten Ableitung:

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Die maximale momentane Änderungsrate haben wir also direkt bei der Aufnahme des koffeinhaltigen Getränks mit \(0{,}0007 \; \frac{mg}{ml}\) pro Minute.




Aufgabe 5 - Zeiträume

Wir bestimmen zunächst die Zeitpunkt, an denen eine Konzentration von \(0{,}007 \, \frac{mg}{ml}\) vorliegt.

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Aufgabe 6 - Fläche

Wir berechnen folgende Fläche

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mit

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Da \(a > 0\) sein muss, ist \(a = 96{,}3653\) .


Aussage


Die Werte für \(t\) sind in Minuten und für \(t\) in \(\frac{mg}{ml}\) angegeben. Daraus folgt, dass die Fläche in \(\frac{mg}{ml} \cdot min\) angegeben wird. Das ist aber nicht die Einheit für die Kaffeemenge. Diese würde in \(mg\) angegeben werden.

Also ist die Aussage falsch.







 



Lösung : Untersuchung des Abbauvorgangs

Aufgabe 1 - Zeitdauer

Nach \(240\) Minuten hat sich die Koffeinkonzentration auf \(50\%\) reduziert. Nach weiteren \(240\) Minuten sind nur noch \(25\%\) vorhanden. Das heißt, dass nach \(480\) Minuten, also \(8\) Stunden, die Koffeinkonzentration um \(75\%\) abgenommen hat.








Aufgabe 2 - Funktion f

Zu Beginn der Beobachtung gilt \(t=0\) :

\( \begin{array}{ r c l } f(0) & = & c \cdot e^{a \cdot 0} \\[6pt] & = & c \cdot e^{ 0} \\[6pt] & = & c \cdot 1 \\[6pt] & = & c \\ \end{array} \)


\(c\) gibt also die Koffeinkonzentration zu Beginn der Beobachtung an.

Alle \(240\) Minuten halbiert sich die Koffeinkonzentration. Es gilt also:

\( \begin{array}{ r c l l } f(240) & = & c \cdot e^{a \cdot 240} & \\[6pt] 0{,}5 \cdot c & = & c \cdot e^{240 \cdot a} & | : c \\[6pt] 0{,}5 & = & e^{240 a} & | \; ln \\[6pt] ln(0{,}5) & = & 240 a & | : 240 \\[6pt] -2{,}888 E-3 & = & a & \\[6pt] a & = & -0{,}002888 & \\ \end{array} \)







 



Lösung : Untersuchung des Aufnahmevorgang

Aufgabe 1 - Parameter b

Zu Beginn des Aufnahmevorgangs, also bei \(t=0\) , erhalten wir nach Voraussetzung bei einem positiven \(k\)

\( \begin{array}{ r c l } g_{b;k}(t) & = & k \cdot \left(1-e^{b \cdot 0}\right) \\[6pt] & = & k \cdot \left(1-e^{0}\right) \\[6pt] & = & k \cdot \left(1-1\right) \\[6pt] & = & 0 \\ \end{array} \)


Die Koffeinkonzentration wäre gleich Null, was ja auch der Tatsache entspricht, dass bei Beginn der Koffeinaufnahme im Blut noch kein Koffein vorhanden ist.

Betrachten wir nun den Fall \(t > 0\) . Es muss gelten

\( \begin{array}{ r c l l } 1-e^{b \cdot t} & > & 0 & | + e^{b \cdot t} \\[6pt] 1 & > & e^{b \cdot t} & \\ \end{array} \)


\(e^{b \cdot t}\) muss also stets kleiner als \(1\) sein. Weiter muss \(e^{b \cdot t}\) immer kleiner werden, damit \(g_{b;k}\) zunehmend größer wird und eine weitere Aufnahme stattfindet.

Dies ist der Fall, wenn \(e^{b \cdot t}\) einen negativen Exponenten hat:

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Da \(t > 0\) ist muss \(b < 0\) sein.








Aufgabe 2 - Parameter k

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Die Funktion

\( g_{b;k}(t) = k \cdot \left(1-e^{b \cdot t}\right) \)


beschreibt ein begrenztes Wachstum. Dabei stellt \(k\) die obere Grenze des Wachstums dar. Das heißt, dass die Koffeinkonzentration von \(k=0{,}02 \, \frac{mg}{ml}\) das Maximum ist, dass vom Blut aufgenommen wird.

Der Koffeinkonzentration errechnet sich wie folgt:

\( \frac{100 \, mg}{5 \, l} \, = \, \frac{100 \, mg}{5000 \, ml} \, = \, \frac{1 \, mg}{50 \, ml} \, = \, 0{,}02 \, \frac{mg}{ml} \)







Aufgabe 3 - Summe der quadrierten Differenzen

Wir definieren die Funktion \(g\) mit \(b=-0{,}07\) und \(k=0{,}02\)

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und berechnen die Summe der Differenzenquadrate, wobei wir von der Differenz

\( \textit{Messwert - Funktionswert} \)

ausgehen.

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Die Summe der quadrierten Differenzen ist also \(0{,}000000174122 \; \frac{mg}{ml}\).







Aufgabe 4 - Grund angeben

Damit Messdaten durch eine Funktion möglichst gut beschrieben werden, möchte man eine möglichst geringe Abweichung zwischen den Messwerten und den Funktionswerten erreichen. Ein Maß für die Streuung der Messwerte um die Funktion ist die Standardabweichung. Die Standardabweichung drückt die durchschnittliche Abweichung der Messwerte von den Funktionswerten aus.

Man könnte nun einfach die Differenzen der Messwerte und der Funktionswerte mitteln. Allerdings liegen die Messwerte zum Teil über und zum Teil unter der Funktion. Wir hätten also sowohl positive als auch negative Differenzen, so dass die Differenzen sich teilweise gegenseitig aufheben würden. Damit erhalten wir bei der Berechnung der durchschnittlichen Differenz einen falschen Mittelwert.

Statt dessen quadriert man die gewonnenen Differenzen. Diese Werte sind stets positiv. Den Mittelwert dieser quadratischen Abweichungen nennt man die Varianz. Wir erhalten nun die richtige Standardabweichung, indem wir die Quadratwurzel aus der Varianz ziehen.







Aufgabe 5 - Parameter b bestimmen

Eine möglichst gut Beschreibung der angegebenen Messwerte mithilfe der Funktion \(g_{b ; 0{,}02}\) bedeutet, dass die Standardabweichung und die Varianz, das heißt die Summe der quadrierten Differenzen, möglichst gering ist.

Wir ermitteln also das \(b\) , so dass diese Summe minimal wird. Dazu definieren wir \(g_{b ; 0{,}02}\) mit

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und weiter die Summe der quadrierten Differenzen mit

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Für das Minimum der Summe der quadrierten Differenzen muss \(s'(b)=0\) sein. Wir definieren die erste Ableitung und berechnen \(b\) .

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Damit bei \(b=-0{,}066991\) auch wirklich ein Minimum vorliegt, muss die 2. Ableitung von \(s\) größer als Null sein. Wir überprüfen dies nun.

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Dass nun genau Null heraus kommt, kann ich mir nicht vorstellen. Ich überprüfe dies, indem ich mir die 2. Ableitung anzeigen lasse.

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Die 2. Ableitung besteht aus eine Summe bzw. Differenz von fünf einzelnen Exponentialausdrücken, die jede für sich nicht Null sein können. Dass diese sich nun genau aufheben, scheint sehr unwahrscheinlich, wenn nicht gar ausgeschlossen zu sein. Ich lasse mir den genauen \(b\)-Wert anzeigen, indem ich ihn herunterkopiere

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und setze ihn per Hand in die 2. Ableitung ein.

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Die 2. Ableitung für den Wert von \(b=-0{,}066991\) ist größer als Null. Folglich ist \(g_{b;0.02}\) mit dem Wert \(b \approx -0{,}07\) eine gute Beschreibung der Messwerte.