CAS 2 (Lösung für TI-Nspire)

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Regentonne

Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_k\) mit

\( f_k(x) = (x - 3) \cdot \left( x^2 - k \cdot x - \tfrac{k}{2} \right)\quad \text{und} \quad x \in \mathbb{R} \; , \; k \in \mathbb{R} \)


Der Graph von \(f_k\) wird mit \(G_k\) bezeichnet. Die Abbildung zeigt \(G_1\).

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Funktionschar

  1. Bestimmen Sie für \(G_6\) die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten der Extrempunkte.
    Skizzieren Sie \(G_6\) auf dem Arbeitsblatt.
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      (8 P)


  1. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen.

    (4 P)


  1. Zeigen Sie, dass \(G_k\) für jeden Wert von \(k\) genau zwei Extrempunkte hat.

    (5 P)


  1. Jeder Graph \(G_k\) hat einen Wendepunkt. Ermitteln Sie alle Werte von \(k\) , für die der Wendepunkt von \(G_k\) auf einer Koordinatenachse liegt.

    (4 P)


  1. Für alle Graphen der Schar wird jeweils die Tangente im Wendepunkt betrachtet. Jede dieser Tangenten schließt mit der \(x\)-Achse einen Winkel ein. Bestimmen Sie die Größe des kleinsten dieser Winkel.

    (5 P)


  1. \(G_6\) schließt für \(0 \leq x \leq 3\) ein Flächenstück mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x=0\) ein. Für \(3 \leq x \leq 6\) schließt \(G_6\) ein zweites Flächenstück mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x=6\) ein. Rotieren dieses beiden Flächenstücke um die \(x\)-Achse, so entstehen zwei Körper. Bestimmen Sie die Volumina der beiden Körper.

    (2 P)


  1. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

    "Rotieren zwei Flächenstücke gleichen Inhalts um die x-Achse, so stimmen die Volumina der beiden entstehenden Körper überein."

    (3 P)





Wassermenge einer Regentonne

Die Funktion \(f_1\) beschreibt nun für \(0 \leq x \leq 3\) die momentane Änderungsrate der Wassermenge in einer großen Regentonne. Dabei steht \(x\) für die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn um 12:00 Uhr und \(f_1(x)\) für die momentane Änderungsrate in \(\frac{\, m^3}{h}\).

  1. Berechnen Sie das Integral \( \displaystyle{\int}_0^3 f_1(x)dx \)

    und interpretieren Sie den Integralwert im Sachzusammenhang.

    (2 P)


  1. Um 12:15 Uhr enthält die Regentonne \(0{,}8 \; m^3\) Wasser. Bestimmen Sie die maximale Wassermenge, die sich in der Zeit zwischen 12:00 Uhr und 15:00 Uhr in der Regentonne befindet.

    (4 P)





Zwei Regentonnen

Betrachtet werden nun zwei zu Beginn der Beobachtung leere Regentonnen \(T_1\) und \(T_2\). Die Funktionen \(f_{k_1}\) und \(f_{k_2}\) mit \(k_1 < k_2\) beschreiben für \(0 \leq x \leq 3\) die momentanen Änderungsraten der Wassermenge der Tonne \(T_1\) bzw. \(T_2\).
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, für den der Füllmengenunterschied zwischen den beiden Tonnen maximal ist.

(3 P)




Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen: Regentonne

Lösung : Funktionenschar

Aufgabe 1 - Kurvenuntersuchung

a) Achsenschnittpunkte


Wir definieren

\( \begin{array}{ r c l } f_6(x) & = & (x -3) \cdot \left(x^2 - 6 \cdot x - \frac{6}{2}\right) \\[6pt] & = & (x -3) \cdot \left(x^2 - 6x - 3\right) \\ \end{array} \)


als \(f(x)\) mit

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Den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ermitteln wir mit

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Wir erhalten \(S_y(0|9)\).


Für die Nullstellen gilt die Bedingung \(f(x)=0\) :

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Wir erhalten mit \(-\left( 2 \cdot \sqrt{3}-3 \right) \approx -0{,}46\) und \(2 \cdot \sqrt{3}+3\approx 6{,}46\) die Nullstellen:

\( \begin{array}{ l } N_1(3|0) \\[6pt] N_2(-0{,}46|0) \\[6pt] N_3(6{,}46|0) \\ \end{array} \)




b) Extrempunkte
notwendige Bedingung:

Für Extrempunkte gilt, dass \(f'(x)=0\) ist.

Wir brauchen zunächst die Ableitung. Zu den Ableitungen kommen wir mit der Auswahl links neben dem Buchsymbol mit dem Werkzeug

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oder alternativ mit der Auswahl \(\textit{menu}\)

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oder kurz mit der Tastenkombination \(\textit{menu} \; \; 4 \; \; 1\)


Wir definieren nun die 1. Ableitung und berechnen die Gleichung.

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hinreichende Bedingung:

Es gilt \(f''(x) \not= 0\).

Wir verwenden als 2. Ableitung \(f2(x)\) und überprüfen \(f2(1)\) und \(f2(5)\) :

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Wir erhalten also

\( \begin{array}{ r c l l } f2(1)<0 & \Rightarrow & \textit{Hochpunkt bei} & x=1 \\[6pt] f2(5)>0 & \Rightarrow & \textit{Tiefpunkt bei} & x=5 \\ \end{array} \)


Funktionswert:

Die \(y\)-Werte ermitteln wir mit

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Die Extrempunkte liegen also bei \(H(1|16)\) und \(T(5|-16)\) .




c) Skizze


Die Koordinatenschnittpunkte und Extrempunkte genügend eigentlich, um die Skizze anzufertigen. Wer möchte, kann sich dennoch den Graphen im TI-Nspire anzeigen lassen und die Wertetabelle erstellen in folgender Art und Weise:

  1. Graph anzeigen
    Zum Zeichnen des Graphen kopieren wir den Funktionsterm mit kopieren

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    und gehen in den Graphikbereich

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    und fügen dort den Term mit einfügen ein.

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    Mit menu gehen wir in Fenster/Zoom und Fenstereinstellungen

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    und passen den Zeichenbereich mit XMin, XMax, YMin und YMax folgendermaßen

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    an.

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2 _Wertetabelle
Mit menu und Tabelle mit geteiltem Bildschirm blenden wir die Wertetabelle ein

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und übertragen die Punkte ins Arbeitsblatt.

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Aufgabe 2 - gemeinsame Punkte der Graphen

Wir wählen 2 Funktionen der Schar mit \(k=a\) und \(k=b\), mit \(a,b \in \mathbb{R}\) und \(a \not=b\). Die Schnittpunkte dieser Funktionen

\( f_a(x) = (x - 3) \cdot \Big( x^2 - a \cdot x - \frac{a}{2} \Big) \)

und

\( f_b(x) = (x - 3) \cdot \Big( x^2 - b \cdot x - \tfrac{b}{2} \Big) \)

sind die Schnittpunkte aller Graphen der Schar, da \(f_a\) und \(f_b\), die verschieden voneinander sind, stellvertretend für beliebige Funktionen der Schar stehen.

Wir definieren \(f_a(x)\) mit \(u(x)\)

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und \(f_b(x)\) mit \(v(x)\)

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Wir ermitteln die Schnittpunkte mit

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\( \begin{array}{ r c l l } a -b & = & 0 & | +b \\[6pt] a & = & b & \\ \end{array} \)

haben wir mit unserer Voraussetzung ausgeschlossen. Es verbleiben \(x=3\) und \(x=-\frac{1}{2}\), was wir in unserer Skizze bei den Graphen \(G_1\) und \(G_6\) bestätigt sehen.


Wir berechnen die \(y\)-Werte, indem wir die \(x\)-Werte in \(u(x)\) oder \(v(x)\) einsetzen:

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Wir erhalten den Punkt \(P_1(3|0)\), der ja auch schon als Nullstelle von \(f_k(x)\) berechnet wurde, und den Punkt \(P_2\left(-\frac{1}{2}|-\frac{7}{8}\right)\) .




Aufgabe 3 - Extrempunkte der Schar

Wir definieren \(f_k(x)\) als \(g(x)\):

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notwendige Bedingung:

Es gilt: \(g'(x)=0\)

Wir definieren die 1. Ableitung als \(g1(x)\)

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und lösen die Gleichung \(g1(x)=0\) .

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Damit die Extremstellen für alle \(k\) gelten, darf die Diskriminante, also der Ausdruck unter der Wurzel, nicht negativ sein. Wir überprüfen dies mit

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Die Extremstellen lassen sich für alle \(k \in \mathbb{R}\) berechnen.

Wir überprüfen weiter, ob die Diskriminante Null sein kann.

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hinreichende Bedingung:

Es gilt \(f''(x) \not= 0\). Wir verwenden als 2. Ableitung \(g2(x)\)

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und überprüfen die \(x\)-Werte mit der 2. Ableitung.

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Da

\( 2 \cdot\left(2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18 \right) \)

stets positiv ist, ist

\( \begin{array}{ c c c c c } g''\left(\frac{-\big( \sqrt{2 \cdot (2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18)} - 2 \cdot (k+3) \big)}{6} \right) & = & -\sqrt{2 \cdot (2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18)} & < & 0 \qquad \textit{ein Hochpunkt}\\[8pt] g''\left(\frac{ \sqrt{2 \cdot (2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18)} + 2 \cdot (k+3)}{6} \right) & = & \sqrt{2 \cdot (2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18)} & > & 0 \qquad \textit{ein Tiefpunkt} \\ \end{array} \)


Damit hat \(G_k\) also für jeden Wert von \(k \in \mathbb{R}\) genau zwei Extrempunkte.








Aufgabe 4 - Wendepunkt

notwendige Bedingung:

Für den Wendepunkt gilt, dass \(g''(x)=0\) ist.

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hinreichende Bedingung:

Es gilt \(g'''(x) \not= 0\). Wir verwenden als 3. Ableitung \(g3(x)\) und überprüfen die \(x\)-Werte mit der 3. Ableitung.

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Funktionswert:

Den \(y\)-Werte ermitteln wir mit

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Der Wendepunkt liegt also bei \( W\Big(\frac{k+3}{3} \biggl| \frac{-(k-6) \cdot \left(4 \cdot k^2 + 15 \cdot k - 18 \right)}{54} \Big) \) .



Wendepunkt auf der \(y\)-Achse:

Liegt der Wendepunkt \(W\left(x_w|y_w\right)\) auf der \(y\)-Achse, so gilt:

\( x_w = \frac{k+3}{3} = 0 \)

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Wendepunkt auf der \(x\)-Achse:

Liegt der Wendepunkt \(W\left( x_w|y_w \right)\) auf der \(x\) -Achse, so gilt:

\( y_w = \frac{-(k-6) \cdot \left(4 \cdot k^2 + 15 \cdot k - 18 \right)}{54} = 0 \)

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Für

\( \begin{array}{ r c l } k_1 & = & -3 \\[6pt] k_2 & = & 6 \\[6pt] k_3 & = & \frac{-3 \cdot \left( \sqrt{57}+5 \right)}{8} \approx -4{,}70619 \\[6pt] k_4 & = & \frac{3 \cdot \left( \sqrt{57}-5 \right)}{8} \approx 0{,}956188 \\ \end{array} \)


liegen die Wendepunkte auf den Koordinatenachsen.




Aufgabe 5 - kleinster Winkel

Alle Graphen von \(G_k\) verlaufen von links unten nach rechts oben, da \(f_k\) eine positive Funktionenschar dritten Grades ist. Das bedeutet, die Wendetangente stets fallend ist.

Damit der Winkel zwischen der Tangente und der \(x\)-Achse möglichst klein ist, muss der Betrag der Tangentensteigung möglichst klein sein.

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Minimum der Tangentensteigung:

Die Tangentensteigung \(m\) wird berechnet mit der 1. Ableitung von \(g\) . Im Wendepunkt gilt

\( m = m(k) = f_k'\left( \frac{k+3}{3} \right) \)


Wir berechnen den Ausdruck von \(m(k)\) mit

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und definieren \(m(k)\) mit dem Betrag dieses Ausdrucks. Dazu verwenden wir diese Funktion:

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notwendige Bedingung:

Für die betragsmäßig minimale Tangentensteigung muss gelten \(m'(k) = 0\) . Wir definieren die 1. Ableitung und lösen die Gleichung.

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hinreichende Bedingung:

Damit ein Minimum vorliegt muss gelten, dass \(m''(k) > 0\). Wir überprüfen dies für \(k=\frac{3}{4}\) .

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Winkelberechnung:

Es gilt

\( tan(\alpha) = m \)


Wir berechnen die Steigung für \(k=\frac{3}{4}\) :

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Wir erhalten damit

\( \begin{array}{ r c l } tan(\alpha) & = & m\left( \frac{3}{4}\right) \\[8pt] tan(\alpha) & = & \frac{45}{16} \\[8pt] \alpha & = & tan^{-1}\left(\frac{45}{16}\right) \\[6pt] \alpha & = & 70{,}4269 \\ \end{array} \)


Der kleinste Winkel zwischen der Wendetangente und der \(x\)-Achse beträgt \(70{,}4269^\circ\) .




Aufgabe 6 - Rotationskörper

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Die Flächen \(A_1\) und \(A_2\) rotieren um die \(x\)-Achse. Die Volumen der dabei entstehenden Rotationskörper berechnen wir mit der Formel

\( \displaystyle{V = \pi \cdot\int_a^b \big(f(x)\big)^2 dx} \)

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Beide Rotationskörper haben jeweils das Volumen von \(\frac{15471 \cdot \pi}{35} \approx 1388{,}67 \; VE\).




Aufgabe 7 - Aussage

Rotieren die beiden rechteckigen Flächen von gleicher Größe um die \(x\)-Achse,

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so entstehen dabei zwei Rotationskörper, mit verschieden großen Volumen.

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Wie man leicht erkennen kann, liegt der Grund für die verschiedene Größe im Abstand der Fläche zur Rotationsachse, also der \(x\)-Achse. Genauer gesagt ist es der Abstand zur \(x\)-Achse des Schwerpunktes \(S\) der Flächen, der den gemittelten Radius darstellt. Die Aussage gilt also nur, falls dieser Abstand bei beiden Flächen gleich ist. Damit ist die Aussage nicht allgemeingültig und folglich falsch.










Lösung : Wassermenge einer Regentonne

Aufgabe 1 - Integral

Wir definieren \(f_1(x)\) als \(h(x)\) und berechnen das Integral.

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Bei dem Graphen von \(G_1\) geben die Funktionswerte den Zufluss und den Abfluss des Wassers an und die eingeschlossenen Flächen von \(G_1\) und der \(x\)-Achse die Wassermenge in \(m^3\) an.

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Zunächst fließt Wasser zu. Der Zufluss des Wassers wird wird dann weniger bis er bei der Nullstelle zum Erliegen kommt. Danach fließt Wasser in unterschiedlicher Stärke wieder ab. Bei \(x=3\) kommt der Zufluss und Abfluss abermals zum Erliegen.

Haben wir nun als Integralwert genau Null heraus, so bedeutet das, dass genau soviel Wasser zugeflossen wie abgeflossen ist. Wir haben also um 15:00 Uhr den gleichen Wasserstand wie um 12:00 Uhr.




Aufgabe 2 - maximale Wassermenge

Funktion der Wassermenge

Die Wassermenge in der Regentonne wird mit Anfangsvolumen \(c\) beschrieben mit

\( w(x) = \displaystyle{\int} h(x) dx + c \)


Wir berechnen \(c\) mit

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Wir definieren Volumenfunktion \(w(x)\) des Wassers in der Regentonne.

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Maximum
notwendige Bedingung:

Für das Maximum gilt \(w'(x)=0\) .

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hinreichende Bedingung:

\(h(x)\) , und damit auch \(w(x)\) , ist nur beschrieben für \(0 \leq x \leq 3\). Es kommen als Maximum nur \(x=1{,}36603\) oder \(x=3\) in Frage. Wir überprüfen die Werte mit \(w''(x)\).

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Es ist nur \(w''(1{,}36603)<0\). Damit haben wir ein Maximum bei \(x=1{,}36603\). Die maximale Wassermenge berechnen wir mit

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In der Zeit von 12:00 Uhr bis 15:00 Uhr haben wir eine maximale Wassermenge von \(2{,}22 \; m^3\) in der Regentonne.









Lösung : Zwei Regentonnen

In der Aufgabe "gemeinsame Punkte der Graphen" haben wir die Funktionen

\( u(x) = (x -3) \cdot \left(x^2 - a \cdot x - \frac{a}{2}\right) \)

und

\( v(x) = (x -3) \cdot \left(x^2 - b \cdot x - \frac{b}{2}\right) \)

definiert, die wir für \(f_{k_1}\) und \(f_{k_2}\) verwenden können.

Wir wählen

\( \begin{array}{ r c l } f_{k_1} & = & u(x) \\[6pt] f_{k_2} & = & v(x) \\ \end{array} \)

mit

\( \begin{array}{ r c l } k_1 & = & a \\[6pt] k_2 & = & b \\ \end{array} \)


Wir definieren die Differenzfunktion \(d(x)\) :

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Füllmengenunterschied

Der Füllmengenunterschied wird durch die Stammfunktion von \(d(x)\) beschrieben. Da die beiden Regentonnen zu Beginn der Beobachtung leer sind, ist \(c=0\) .

\( D(x) = \displaystyle{\int} d(x) dx \)



notwendige Bedingung

Für den maximalen Füllmengenunterschied gilt \(D'(x)=0\) . Da \(D'(x)=d(x)\) ist, erhalten wir also \(d(x)=0\) .

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Mit \(a=k_1\) und \(b=k_2\) sowie der Voraussetzung \(k_1< k_2\) ist \(a-b=0\) ausgeschlossen. Ferner liegt \(x=-\frac{1}{2}\) vor dem Beobachtungsbeginn. Zu überprüfen bleibt also nur \(x=3\).



hinreichende Bedingung

Neben der notwendigen Bedingung muss für den maximalen Füllmengenunterschied gelten, dass \(D''(x)=d'(x)<0\) ist.

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Es gilt

\( a - b < 0 \)


Demzufolge ist auch der Bruch

\( \frac{ 7 \cdot (a - b)}{2}< 0 \)


und damit dann

\( d'(3) = D''(3) < 0 \)


Nach 3 Stunden, also um 15:00 Uhr, ist der Füllmengenunterschied der beiden Tonnen maximal.