Abituraufgaben 2019 – CAS-ti-nspire – 2

 

Inhaltsverzeichnis





 

Aufgaben: Regentonne

Gegeben ist die Schar der Funktionen f_k mit

    \begin{equation*} f_k(x) = (x - 3) \cdot \left( x^2 - k \cdot x - \tfrac{k}{2} \right)\quad \text{und} \quad x \in \mathbbm{R} \; , \; k \in \mathbbm{R} \end{equation*}

 
Der Graph von f_k wird mit G_k bezeichnet. Die Abbildung zeigt G_1.

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Funktionschar

  1. Bestimmen Sie für G_6 die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten der Extrempunkte.

    Skizzieren Sie G_6 auf dem Arbeitsblatt.

    (8 P)

  2.  

  3. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen.

    (4 P)

  4.  

  5. Zeigen Sie, dass G_k für jeden Wert von k  genau zwei Extrempunkte hat.

    (5 P)

  6.  

  7. Jeder Graph G_k hat einen Wendepunkt.
    Ermitteln Sie alle Werte von k , für die der Wendepunkt von G_k auf einer Koordinatenachse liegt.

    (4 P)

  8.  

  9. Für alle Graphen der Schar wird jeweils die Tangente im Wendepunkt betrachtet. Jede dieser Tangenten schließt mit der x -Achse einen Winkel ein.
    Bestimmen Sie die Größe des kleinsten dieser Winkel.

    (5 P)

  10.  

  11. G_6 schließt für 0 \leq x \leq 3 ein Flächenstück mit der x -Achse und der Geraden x=0  ein. Für 3 \leq x \leq 6 schließt G_6 ein zweites Flächenstück mit der x -Achse und der Geraden x=6  ein. Rotieren dieses beiden Flächenstücke um die x -Achse, so entstehen zwei Körper.
    Bestimmen Sie die Volumina der beiden Körper.

    (2 P)

  12.  

  13. Beurteilen Sie die folgende Aussage:
     

    „Rotieren zwei Flächenstücke gleichen Inhalts um die x-Achse, so stimmen die Volumina der beiden entstehenden Körper überein.“

    (3 P)

 

LÖSUNG


 

Wassermenge einer Regentonne

Die Funktion f_1 beschreibt nun für 0 \leq x \leq 3 die momentane Änderungsrate der Wassermenge in einer großen Regentonne. Dabei steht x für die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn um 12\textrm{:}00 Uhr und f_1(x) für die momentane Änderungsrate in \frac{\, m^3}{h}.

  1. Berechnen Sie das Integral

        \begin{equation*} \int_0^3 f_1(x)dx \end{equation*}

    und interpretieren Sie den Integralwert im Sachzusammenhang.

    (2 P)

  2.  

  3. Um 12:15 Uhr enthält die Regentonne 0.8 \; m^3 Wasser.
    Bestimmen Sie die maximale Wassermenge, die sich in der Zeit zwischen 12:00 Uhr und 15:00 Uhr in der Regentonne befindet.
  4. (4 P)

 

LÖSUNG


 

 

Zwei Regentonnen

Betrachtet werden nun zwei zu Beginn der Beobachtung leere Regentonnen T_1 und T_2. Die Funktionen f_{k_1} und f_{k_2} mit k_1 < k_2 beschreiben für 0 \leq x \leq 3 die momentanen Änderungsraten der Wassermenge der Tonne T_1 bzw. T_2.
 
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, für den der Füllmengenunterschied zwischen den beiden Tonnen maximal ist.

(3 P)

 

LÖSUNG

 
Aufgaben zum Ausdrucken: Abitur 2019, CAS-Analysis, 2. Aufgabe, Schleswig-Holstein als PDF







 

Lösungen: Regentonne

Lösung : Funktionenschar

 

Aufgabe 1 – Kurvenuntersuchung

Achsenschnittpunkte

Wir definieren

    \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{  r  c  l  } f_6(x) & = & (x -3) \cdot \left(x^2 - 6 \cdot x - \frac{6}{2}\right) \\ & = & (x -3) \cdot \left(x^2 - 6x - 3\right) \\ \end{array} \end{equation*}

 
als f(x) mit

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Den Schnittpunkt mit der y -Achse ermitteln wir mit

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Wir erhalten S_y(0|9).

 
Für die Nullstellen gilt die Bedingung f(x)=0 :

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Wir erhalten mit -\left( 2 \cdot \sqrt{3}-3 \right) \approx -0.46 und 2 \cdot \sqrt{3}+3\approx 6.46 die Nullstellen:

 

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{  l  } N_1(-0.46|0) \\ N_2(3|0) \\ N_3(6.46|0) \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \]

 


 

Extrempunkte

notwendige Bedingung:

Für Extrempunkte gilt, dass f\/'(x)=0 ist.

Wir definieren die 1. Ableitung als f1(x) und lösen die Gleichung f1(x)=0.

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hinreichende Bedingung:

Es gilt f\/''(x) \not= 0.

Wir verwenden als 2. Ableitung f2(x) und wir überprüfen f2(1) und f2(5).

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Wir erhalten also

    \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{  r  c  l  l  } f2(1)<0 & \Rightarrow & \textit{Hochpunkt bei} & x=1 \\ f2(5)>0 & \Rightarrow & \textit{Tiefpunkt bei} & x=5 \\ \end{array} \end{equation*}

 
Funktionswert:

Die y -Werte ermitteln wir mit

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Die Extrempunkte liegen also bei H(1|16) und T(5|-16).
 


 

Skizze

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Aufgabe 2 – gemeinsame Punkte der Graphen

Wir wählen 2 Funktionen der Schar mit k=a und k=b, mit \mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{a,b \in \mathbbm{R}}}}} und a \not=b. Die Schnittpunkte dieser Funktionen

    \begin{equation*} f_a(x) = (x - 3) \cdot \Big( x^2 + a \cdot x - \tfrac{a}{2} \Big) \end{equation*}

 
und

    \begin{equation*} f_b(x) = (x - 3) \cdot \Big( x^2 + b \cdot x - \tfrac{b}{2} \Big) \end{equation*}

 
sind die Schnittpunkte aller Graphen der Schar, da f_a und f_b, die verschieden voneinander sind, stellvertretend für beliebige Funktionen der Schar stehen.

Wir definieren f_a(x) mit u(x)

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und f_b(x) mit v(x)

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Wir ermitteln die Schnittpunkte mit

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    \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{  r  c  l  l  } a -b & = & 0  &  | +b \\ a & = & b  &   \\ \end{array} \end{equation*}

 
haben wir mit unserer Voraussetzung ausgeschlossen. Es verbleiben x=3 und x=-\frac{1}{2}, was wir in unserer Skizze bei den Graphen G_1 und G_6 bestätigt sehen.

Wir berechnen die y -Werte, indem wir die x -Werte in u(x) oder v(x) einsetzen:

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Wir erhalten den Punkt P_1(3|0), der ja auch schon als Nullstelle von f_k(x) berechnet wurde, und den Punkt P_2(-0.5|0.875).

 


 

Aufgabe 3 – Extrempunkte der Schar

Wir definieren f_k(x) als g(x):

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notwendige Bedingung:

Es gilt: g'(x)=0

Wir definieren die 1. Ableitung als g1(x) und lösen die Gleichung g1(x)=0.

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Damit die Extremstellen für alle k gelten, darf die Diskriminante, also der Ausdruck unter der Wurzel, nicht negativ sein. Wir überprüfen dies mit

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Die Extremstellen lassen sich also für alle k berechnen.

 
hinreichende Bedingung:

Es gilt f\/''(x) \not= 0. Wir verwenden als 2. Ableitung g2(x) und überprüfen die x -Werte mit der 2. Ableitung.

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Damit Extrempunkte an den berechneten Stellen vorliegen, darf

    \begin{equation*} 2 \cdot\left(2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18 \right) \end{equation*}

 
nicht Null sein. Wir überprüfen dies:

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G_k hat also für jeden Wert von k genau zwei Extrempunkte.

 


 

Aufgabe 4 – Wendepunkt

notwendige Bedingung:

Für den Wendepunkt gilt, dass g''(x)=0 ist.

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hinreichende Bedingung:

Es gilt g'''(x) \not= 0. Wir verwenden als 3. Ableitung g3(x) und überprüfen die x -Werte mit der 3. Ableitung.

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Funktionswert:

Den y -Werte ermitteln wir mit

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Der Wendepunkt liegt also bei W\left(\frac{k + 3}{3}\Bigl|\frac{-(k-6) \cdot \left(4 \cdot k^2 + 15 \cdot k - 18 \right)}{54}\right).

 
Wendepunkt auf der y-Achse:

Liegt der Wendepunkt W\left(x_w|y_w\right) auf der y -Achse, so gilt:

    \begin{equation*} x_w = \frac{k + 3}{3}  =   0   \end{equation*}

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Wendepunkt auf der x-Achse:

Liegt der Wendepunkt W\left( x_w|y_w \right) auf der x-Achse, so gilt:

    \begin{equation*} y_w = \frac{-(k-6) \cdot \left( 4 \cdot k^2 + 15 \cdot k - 18 \right)}{54} =  0   \end{equation*}

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Für

    \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{2.2} \begin{array}{  r  c  l  } k_1 & = & -3   \\ k_2 & = & \frac{-3 \cdot \left( \sqrt{57}+5\right)}{8}  \approx -4.70619   \\ k_3 & = & \frac{3 \cdot \left( \sqrt{57}-5\right)}{8}  \approx 0.956188   \\ k_4 & = & 6   \\ \end{array} \end{equation*}

 
liegen die Wendepunkte auf den Koordinatenachsen.


 

Aufgabe 5 – Kleinster Winkel

Alle Graphen von G_k verlaufen von links unten nach rechts oben, da f_k eine positive Funktionenschar dritten Grades ist. Das bedeutet, die Wendetangente stets fallend ist.

Damit der Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse möglichst klein ist, muss die Tangentensteigung möglichst groß sein.

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Maximum der Tangentensteigung:

Wir bestimmen die maximale Tangentensteigung. Die Tangentensteigung m wird berechnet mit der 1. Ableitung von g . Im Wendepunkt gilt

    \begin{equation*} m = m(k) = g1\left( \tfrac{k + 3}{3} \right) \end{equation*}

 
Wir definieren m(k):

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notwendige Bedingung:

Für die maximale Tangentensteigung muss gelten m'(k) = 0 . Wir definieren m'(k) als m1(k) und lösen die Gleichung m1(k)=0 .

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hinreichende Bedingung:

Damit ein Maximum vorliegt muss gelten, dass m''(k) < 0. Wir überprüfen dies mit m2(k).

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Neigungswinkel:

Für den Steigungswinkel oder Neigungswinkel gilt

    \begin{equation*}  tan(\alpha) = m  \end{equation*}

 
Wir berechnen die Neigung für k=\frac{3}{4}:

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Wir erhalten damit

    \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{  r  c  l  } tan(\alpha) & = & m\left( \frac{3}{4}\right)   \\ tan(\alpha) & = & -\frac{45}{16}   \\ \alpha & = & tan^{-1}\left(-\frac{45}{16}\right)   \\ \alpha & = & -70.4269  \\ \end{array} \end{equation*}

 
Der kleinste Winkel zwischen der Wendetangente und der x -Achse beträgt 70.43°.


 

Aufgabe 6 – Rotationskörper

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Die Flächen A_1 und A_2 rotieren um die x -Achse. Die Volumen der dabei entstehenden Rotationskörper berechnen wir mit der Formel

    \begin{equation*} \mathlarger{V = \pi \cdot\int_a^b \big(f(x)\big)^2 dx}  \end{equation*}

 

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Beide Rotationskörper haben jeweils das Volumen von \frac{15471 \cdot \pi}{35} \approx 1388.67 VE.

 
Volumina zweier Rotationskörper

Rotieren die beiden rechteckigen Flächen von gleicher Größe um die x -Achse,

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so entstehen dabei zwei Rotationskörper, mit verschieden großen Volumen.

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Wie man leicht erkennen kann, liegt der Grund für die verschiedene Größe im Abstand der Fläche zur Rotationsachse, also der x -Achse. Genauer gesagt ist es der Abstand des Schwerpunktes S der Flächen zur x -Achse, der den gemittelten Radius darstellt. Die Aussage gilt also nur, falls dieser Abstand bei beiden Flächen gleich ist. Damit ist die Aussage nicht allgemeingültig und folglich falsch.

 

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Lösung : Wassermenge einer Regentonne

Aufgabe 1 – Integral

Wir definieren f_1(x) als h(x) und berechnen das Integral.

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Bei dem Graphen von G_1 geben die Funktionswerte den Zufluss und den Abfluss des Wassers an und die eingeschlossenen Flächen von G_1 und der x -Achse die Wassermenge in m^3 an.

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Zunächst fließt Wasser zu. Der Zufluss des Wassers wird wird dann weniger bis er bei der Nullstelle zum Erliegen kommt. Danach fließt Wasser in unterschiedlicher Stärke wieder ab. Bei x=3 kommt der Zufluss und Abfluss abermals zum Erliegen.

Haben wir nun als Integralwert genau Null heraus, so bedeutet das, dass genau soviel Wasser zugeflossen wie abgeflossen ist. Wir haben also um 15:00 Uhr den gleichen Wasserstand wie um 12:00 Uhr.

 


 

Aufgabe 2 – maximale Wassermenge

Funktion der Wassermenge:

Die Wassermenge in der Regentonne wird mit Anfangsvolumen c beschrieben mit

    \begin{equation*} w(x) = \int h(x) dx + c \end{equation*}

 
Wir berechnen c mit

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Wir definieren Volumenfunktion w(x) des Wassers in der Regentonne.

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Maximum
notwendige Bedingung:

Für das Maximum gilt w'(x)=0 . Wir definieren die 1. Ableitung als w1(x) und lösen die Gleichung w1(x)=0 .

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hinreichende Bedingung:

h(x) , und damit auch w(x) , ist nur beschrieben für 0 \leq x \leq 3. Es kommen als Maximum nur x=1.36603 oder x=3 in Frage. Wir überprüfen die Werte mit der 2. Ableitung, die wir als w2(x) definieren.

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Nur w2(1.36603)<0. Damit haben wir ein Maximum bei x=1.36603. Die maximale Wassermenge berechnen wir mit

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In der Zeit von 12:00 Uhr bis 15:00 Uhr haben wir eine maximale Wassermenge von 2.2201 \, m^3 in der Regentonne.

 

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Lösung : Zwei Regentonnen

Wir wählen folgende Variablen

    \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{  r  c  l  } r(x) & = & f_{k_1}   \\ s(x) & = & f_{k_2}   \\ a & = & k_1   \\ b & = & k_2   \\ \end{array} \end{equation*}

 
und definieren

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Weiter definieren wir noch die Differenzfunktion d(x) :

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Füllmengenunterschied

Der Füllmengenunterschied wird durch die Stammfunktion von d(x) beschrieben. Da die beiden Regentonnen zu Beginn der Beobachtung leer sind, ist c=0 .

    \begin{equation*} D(x) = \int d(x) dx \end{equation*}

 
notwendige Bedingung:

Für den maximalen Füllmengenunterschied gilt D'(x)=0 . Da D'(x)=d(x) ist, erhalten wir also d(x)=0 .

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Mit a=k_1 und b=k_2 sowie der Voraussetzung k_1<k_2 ist a-b=0 ausgeschlossen. Ferner liegt x=-\frac{1}{2} vor dem Beobachtungsbeginn. Zu überprüfen bleibt also nur x=3.

 
hinreichende Bedingung:

Neben der notwendigen Bedingung muss für den maximalen Füllmengenunterschied gelten, dass D''(x)=d'(x)<0 ist.

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Es gilt

    \begin{equation*} a - b < 0 \end{equation*}

Demzufolge ist auch der Bruch

    \begin{equation*} \frac{7 \cdot (a-b)}{2} < 0 \end{equation*}

 
und damit dann

    \begin{equation*} d1(3) < 0 \end{equation*}

 
Nach 3 Stunden, also um 15:00 Uhr, ist der Füllmengenunterschied der beiden Tonnen maximal.

 

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