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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben

 

HMF 1 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben sind die Punkte \(A(0|0|4)\) , \(B(2|2|2)\) und \(C(0|3|1)\).

  1. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes \(D\), so dass das Viereck \(ABCD\) ein Parallelogramm mit einer Beschriftung der Eckpunkte im üblichen Umlaufsinn ist.

    (2 P)


  1. Zeigen Sie, dass der Innenwinkel des Vierecks \(ABCD\) bei dem Punkt \(B\) ein rechter Winkel ist.

    (2 P)


  1. Überprüfen Sie, ob es sich bei dem Viereck \(ABCD\) um ein Quadrat handelt.

    (1 P)





HMF 2 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Die Gerade

\( g: \vec{x} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \quad mit \hspace{2pt} r \in \mathbb{R} \)

und die Ebene

\( E: x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 2 \)

schneiden sich im Punkt \(S\) .


  1. Berechnen Sie die Koordinaten von S.

    (3 P)


  1. Der Punkt \(P_1\) liegt auf \(g\) , aber nicht auf \(E\) . Die Abbildung zeigt die Ebene \(E\) , die Gerade \(g\) sowie einen Repräsentanten des Vektors \(\vec{SP_1}\). Für den Punkt \(P_2\) gilt

    \( \vec{OP_2} = \vec{OP_1} - 4 \cdot \vec{SP_1} , \)

    wobei \(O\) den Koordinatenursprung bezeichnet. Zeichnen Sie die Punkte \(S\), \(P_1\) und \(P_2\) auf dem Arbeitsblatt

    ein.

    (2 P)



HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool 2)

  1. Die Ebene

    \( E: 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6 \)

    enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.

    (2 P)


  1. Begründen Sie, dass folgende Aussage richtig ist:

    "Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen."

    (3 P)



HMF 4 - Stochastik (Pool 1)

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit \(0\) beschriftet, einer mit \(1\) und einer mit \(2\) , die anderen beiden Sektoren sind mit \(9\) beschriftet.


  1. Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen \(2\) , \(0\) , \(1\) und \(9\) in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.

    (2 P)


  1. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens \(11\) ist.

    (3 P)





HMF 5 - Stochastik (Pool 1)

In einem Fitness-Studio wurde eine Umfrage unter den weiblichen und männlichen Kunden durchgeführt, ob sie mit der Sauberkeit der Umkleideräume zufrieden sind. Unter allen abgegebenen Fragebögen wird ein Bogen zufällig ausgewählt. In der folgenden Vierfeldertafel sind einige Wahrscheinlichkeiten bereits eingetragen.

Dabei sind die Ereignisse

M: ''Die Person ist männlich.''
Z: ''Die Person ist mit der Sauberkeit zufrieden.''


\( \begin{array}{ c | c | c | c } & \; \displaystyle{M} \; & \; \displaystyle{\overline{M}} \; & \;\sum \; \\[6pt] \hline \displaystyle{Z} & & & \frac{9}{16} \\[6pt] \hline \displaystyle{\overline{Z}} & & \color{purple}{\frac{1}{4}} & \\[6pt] \hline \sum & & \frac{3}{8} & \displaystyle{1} \\ \end{array} \)


  1. Ergänzen Sie die übrigen Einträge der Vierfeldertafel.

    (2 P)


  1. Beschreiben Sie die Bedeutung des farbigen Eintrags im Sachzusammenhang.

    (1 P)


  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Frau mit der Sauberkeit der Umkleideräume nicht zufrieden ist.

    (2 P)





HMF 6 - Analysis (Pool 1)

Der abgebildete Graph stellt eine Funktion \(f\) dar.

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  1. Einer der folgenden Graphen I, II oder III gehört zu der Ableitungsfunktion \(f\) . Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

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    (3 P)


  1. Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe.

    (2 P)





HMF 7 - Analysis (Pool 1)

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) definierte Funktion \(f\) mit

\( f(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \; , \)

die die Nullstellen \(-1\) und \(1\) hat.

Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\) , der symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist.

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Weiterhin ist die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y = -3\) gegeben.


  1. Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen \(g\) den Graphen von \(f\) schneidet, die \(x\)-Koordinate \(\frac{1}{2}\) hat.

    (1 P)


  1. Bestimmen Sie rechnerisch die Fläche, die der Graph von \(f\) , die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.

    (4 P)





HMF 8 - Analysis (Pool 2)

Für jede reelle Zahl \(a\) ist die Funktion \(f_a\) durch

\( f_a(x) = x^2 + a \cdot (3 - 4x) + a^2 \)

gegeben.


  1. Sei zunächst \(a=1\) . Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion \(f_1\).

    (2 P)


  1. Untersuchen Sie, ob der Punkt \(P\left(1|\frac{3}{4}\right)\) Tiefpunkt des Graphen einer der Funktionen \(f_a\) ist.

    (3 P)




Aufgaben zum Ausdrucken


 



Lösungen

Lösung : HMF 1 - Analytische Geometrie

Aufgabe 1 - Punkt D

In einem Parallelogramm sind jeweils 2 Seiten parallel zueinander.

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Das heißt, dass Vektor

\( \vec{AD} = \vec{BC} \)

ist. Wir erhalten für den Ortsvektor von \(D\) also

\( \begin{array}{ r c l } \vec{OD} & = & \vec{OA} + \vec{AD} \\[6pt] \vec{OD} & = & \vec{OA} + \vec{BC} \\[6pt] \vec{OD} & = & \vec{OA} + \vec{OC} - \vec{OB} \\[10pt] \vec{OD} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{OD} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] & \Rightarrow & \displaystyle{D(-2|1|3)} \\ \end{array} \)







Aufgabe 2 - rechter Winkel

Damit ein rechter Winkel in Punkt \(B\) vorliegt, müssen die Vektoren \(\vec{BA}\) und \(\vec{BC}\) orthogonal zueinander sein. Wir überprüfen das mit dem Skalarprodukt:

\( \begin{array}{ r c l } \vec{BA} \circ \vec{BC} & = & \left(\vec{a} - \vec{b} \right) \circ \left(\vec{c} - \vec{b} \right) \\[6pt] & = & \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \\[6pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] & = & -2 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 0 \Rightarrow orthogonal \\ \end{array} \)

Es liegt also ein rechter Winkel im Punkt \(B\) vor.




Aufgabe 3 - Quadrat

Wir überprüfen die Längen der Vektoren \(\vec{BA}\) und \(\vec{BC}\) .

\( \left. \begin{array}{ r*{7}{c}} \bigl| \vec{BA}\bigl| & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ -2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} & = & \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} & = & \sqrt{12} \\[6pt] \bigl| \vec{BC} \bigl| & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} & = & \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2} & = & \sqrt{6} \\ \end{array} \; \right\} \; \textit{ungleich} \)


Das Viereck \(ABCD\) hat 2 verschieden lange Seiten und kann damit kein Quadrat sein.







 



Lösung : HMF 2 - Analytische Geometrie

Aufgabe 1 - Schnittpunkt S

Um den Schnittpunkt \(S\) zu berechnen, setzen wir die Gerade \(g\)

\( \begin{array}{ c l l } \vec{x} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2r\\ 2 + 4r \\ r \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[10pt] \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} & \begin{array}{r} = \\ = \\ = \\ \end{array} & \begin{array}{r} 2r \\ 2 + 4r \\ r \\ \end{array} \\[6pt] \end{array} \)


in die Ebene

\( E: x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 2 \)


ein:

\( \begin{array}{ r c r l } 2r + 2 \cdot (2 + 4r) - 2r & = & 2 & \\[6pt] 2r + 4 + 8r - 2r & = & 2 & |-4 \\[6pt] 8r & = & -2 & | : 8 \\[6pt] r & = & -\frac{1}{4} & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \)


Um Punkt \(S\) zu erhalten, setzen wir \(r\) in \(g\) ein:

\( \begin{array}{ r c l } \vec{x} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \frac{1}{4} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} \frac{2}{4} \\ \frac{4}{4} \\ \frac{1}{4} \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{4} \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)

\(\Rightarrow \quad \displaystyle{S} \; \left(-\frac{1}{2} \, \Bigl| 1 \,\Bigl| -\frac{1}{4} \right)\)








Aufgabe 2 - Punkte einzeichnen

Den Punkt \(P_1\) erhalten wir, indem wir uns vom Schnittpunkt \(S\) aus mit dem Vektor \(\vec{SP_1}\) weiter bewegen, wie auf der Abbildung zu sehen ist.

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Um den Punkt \(P_2\) zu erhalten, formen wir die Gleichung

\( \vec{p_2} = \vec{p_1} - 4 \cdot {SP_1} \)

etwas um.

\( \begin{array}{ r c l } \vec{p_2} & = & \vec{p_1} - 4 \cdot \vec{SP_1} \\[6pt] \vec{p_2} & = & \vec{p_1} - (\vec{SP_1}+\vec{SP_1}+\vec{SP_1}+\vec{SP_1}) \\[6pt] \vec{p_2} & = & \vec{p_1} - \vec{SP_1}- \vec{SP_1}- \vec{SP_1}- \vec{SP_1} \\ \end{array} \)


Mit dem Gegenvektor

\( \vec{P_1S} = -\vec{SP_1} \)


erhalten wir den Ausdruck

\( \begin{array}{ r c l } \vec{p_2} & = & \vec{p_1} + \vec{P_1S}+ \vec{P_1S}+ \vec{P_1S}+ \vec{P_1S} \\[6pt] \vec{p_2} & = & \vec{p_1} + 4 \cdot \vec{P_1S} \\ \end{array} \)


wie in dieser Abbildung zu sehen ist.

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Lösung : HMF 3 - Analytische Geometrie

Aufgabe 1 - Koordinaten bestimmen

Die Menge der Punkte, in der alle Koordinaten gleich sind, ist folgende Menge:

\( \bigl\{ \dots , (-1|-1|-1),(0|0|0), (1|1|1), (2|2|2), (3|3|3), \dots \bigl\} \)


Es ist zu erkennen, dass diese Punktmenge auf einer Geraden \(g\) liegt mit dem Richtungsvektor \( \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)


Eine mögliche Geradengleichung wäre:

\( g: \vec{x} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} t \\ t \\ t \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)


Wir bestimmen den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene

\( E: 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6 , \)


indem wir die Gerade \(g\) in \(E\) einsetzen:

\( \begin{array}{ l c c c } 3t + 2t + 2t & = & 6 & \\[6pt] 7t & = & 6 & | :7 \\[6pt] t & = & \frac{6}{7} & \\ \end{array} \)


Der gesuchte Punkt enthält die Koordinaten \(\left(\frac{6}{7} \, \Bigl| \frac{6}{7} \,\Bigl| \frac{6}{7} \right)\) .








Aufgabe 2 - Aussage begründen

Bildlich veranschaulicht kann man sehen,

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dass alle parallelen Ebenen zu der Geraden \(g\) , sofern sie \(g\) nicht enthalten, diese auch nicht schneiden.

Folglich gibt es unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.







 



Lösung : HMF 4 - Stochastik

Aufgabe 1 - angegebene Reihenfolge

Hier handelt es sich um einen durchgehenden Pfad eines Wahrscheinlichkeitsbaumes mit Zurücklegen.

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Mit der Multiplikationsregel gilt

\( P(x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1 \; \cdot \; 1 \cdot \; 1 \; \cdot \; 2}{5 \; \cdot \; 5 \; \cdot \; 5 \; \cdot \; 5} = \frac{2}{625} \)








Aufgabe 2 - Summe mindestens 11

Als Ereignis muss gelten:

\( \begin{array}{ r c l } \textrm{E} = \bigl\{ (9;9) , \, (9;2), \, (2;9) \bigl\} \end{array} \)

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Bei mehren Pfaden brauchen wir zusätzlich die Additionsregel:

\( \begin{array}{ c*{7}{c} } P(x) & = & \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} & + & \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5} & + & \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \\[8pt] & = & \frac{2}{25} & + & \frac{2}{25} & + & \frac{4}{25} \\[8pt] & = & \frac{8}{25} & & & & \\ \end{array} \)









Lösung : HMF 5 - Stochastik

Aufgabe 1 - Vierfeldertafel


\( \begin{array}{ c | c | c | c } & \; \displaystyle{M} \; & \; \displaystyle{\overline{M}} \; & \;\sum \; \\[6pt] \hline \displaystyle{Z} & \color{green}{\frac{7}{16}} & \color{green}{\frac{1}{8}} & \frac{9}{16} \\[6pt] \hline \displaystyle{\overline{Z}} & \color{green}{\frac{3}{16}} & \frac{1}{4} & \color{green}{\frac{7}{16}} \\[6pt] \hline \sum & \color{green}{\frac{5}{8}} & \frac{3}{8} & \displaystyle{1} \\ \end{array} \)








Aufgabe 2 - Sachzusammenhang



\(\frac{1}{4}\) der Personen, die den Fragebogen abgegeben haben, ist sowohl weiblich als auch mit der Sauberkeit der Umkleideräume nicht zufrieden.






 



Aufgabe 3 - bedingte Wahrscheinlichkeit

Wir haben es hier mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit mit der Vorbedingung ''weiblich'' zu tun:

\( P_{\overline{M}}(\overline{Z}) = \frac{P(\overline{M} \cap \overline{Z})}{P(\overline{M})} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{8}} = \frac{1}{4} \, : \, \frac{3}{8} = \frac{1}{4} \, \cdot \, \frac{8}{3} = \frac{2}{3} \)









Lösung : HMF 6 - Analysis

Aufgabe 1 - Graph

Der Graph der Ableitungsfunktion von \(f\) muss bei den \(x\)-Werten der Extrempunkte von \(f\) eine Nullstelle haben, also bei \(x=-2\) und \(x=2\). Das ist bei Graph II nicht der Fall.

Die \(y\)-Werte der Ableitungsfunktion sind die Tangentensteigung an den Graphen von \(f\). Betrachten wir die Steigung bei \(x=0\):

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Wir können erkennen, dass wir eine negative Tangentensteigung mit

\( m = - \frac{\Delta y}{\Delta x} \)

haben. Dabei ist \(m\) ein Wert zwischen \(-0{,}5\) und \(-1\) . Das ist passend für den Graphen I, aber nicht für den Graphen III, der eine Steigung von \(-2\) hat. Folglich ist der Graph der Ableitungsfunktion Graph I.








Aufgabe 2 - Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten gibt an, ob ein Funktionsgraph steigend oder fallend ist. Für die Stammfunktion \(F\) stellt der Funktionsgraph von \(f\) die Ableitungsfunktion dar.

Da wir beim Graphen von \(f\) im Intervall \([1; \, 3]\) nur negative \(y\)-Werte haben, ist \(F\) über dem ganzen Intervall streng monoton fallend.







 



Lösung : HMF 7 - Analysis

Aufgabe 1 - Gerade g

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Wir berechnen die Schnittpunkte der Funktion \(f\) und der Funktion \(g\) mit

\( \begin{array}{ r c c l } -3 & = & 1 -\frac{1}{x^2} & | \; -1 \\[8pt] -4 & = & -\frac{1}{x^2} &| \cdot \left(-x^2 \right) \\[8pt] 4x^2 & = & 1 & | \; : 4 \\[8pt] x^2 & = & \frac{1}{4} & | \; \sqrt{\dots} \\[8pt] x_1 & = & -\frac{1}{2} & \\[8pt] x_2 & = & \frac{1}{2} & \\ \end{array} \)









Aufgabe 2 - Fläche

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Wir unterteilen die Fläche in 3 Teilflächen, wobei die mittlere Fläche ein einfaches Rechteck ist und die beiden äußeren Flächen gleich groß sind, denn \(f\) ist eine gebrochen-rationale Funktion, die achsensymmetrisch ist.

\( \begin{array}{ r c l } \textrm{A} & = & 3 \cdot 1 + 2 \cdot \Biggl| \displaystyle{\int}_{0{,}5}^1\left( 1- \tfrac{1}{x^2} \right)dx \Biggl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Biggl| \displaystyle{\int}_{0{,}5}^1\left(1- x^{-2}\right)dx \Biggl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Biggl|\bigg[ x + x^{-1} \bigg]_{0{,}5}^1 \Biggl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Biggl|\bigg[x + \frac{1}{x} \bigg]_{0{,}5}^1 \Biggl| \\[8pt] &= & 3 + 2 \cdot \Biggl|\left(1 + \frac{1}{1}\right)-\left(0{,}5 + \frac{1}{0{,}5}\right)\Biggl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Biggl|(1 + 1)-\left(0{,}5 + \frac{2}{1}\right)\Biggl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Bigl| 2 - 2{,}5\Bigl| \\[8pt] & = & 3 + 2 \cdot \Bigl| -0{,}5 \Bigl| \\[8pt] & = & 3 + 1 \\[8pt] & = & 4 \\ \end{array} \)









Lösung : HMF 8 - Analysis

Aufgabe 1 - Nullstellen

\( \begin{array}{ r c l } f_1(x) & = & x^2 + 1 \cdot (3 - 4x) + 1^2 \\[6pt] & = & x^2 + 3 - 4x + 1 \\[6pt] &= & x^2 - 4x + 4 \\ \end{array} \)


Bei den Nullstellen gilt \( f_1(x) = 0 \)


Für

\( 0 = x^2 - 4x + 4 \)


wenden wir die PQ-Formel an:

\( \begin{array}{ r c l } x_{1,2} & = & - \frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[8pt] & = & - \frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-4} \\[8pt] & = & 2\pm \sqrt{4-4} \\[8pt] x & = & 2 \\ \end{array} \)

Die einzige Nullstelle von \(f_1\) liegt bei \((2|0)\) .








Aufgabe 2 - Tiefpunkt


\( \begin{array}{ r c l } f_a(x) & = & x^2 + a \cdot (3 - 4x) + a^2 \\[6pt] f_a(x) & = & x^2 + 3a - 4ax + a^2 \\ \end{array} \)


Für Extrempunkte gilt die notwendige Bedingung

\( f_a'(x) = 0 \)


Die 1. Ableitung ist

\( f_a'(x) = 2x - 4a \)


Wir setzen \(f_a'(x)\) in die notwendige Bedingung ein:

\( \begin{array}{ r c l l } 2x - 4a &= & 0 & | \; +4a \\[6pt] 2x & = & 4a & | \; :2 \\[6pt] x & = & 2a & \\ \end{array} \)


Weiter gilt die hinreichende Bedingung

\( f_a''(x) \not= 0 \)


mit

\( f_a''(x) = 2 \)


Wir überprüfen unseren \(x\)-Wert mit der 2. Ableitung:

\( f_a''(2a) = 2 > 0 \)


Bei \(x=2a\) haben wir in der Funktionenschar einen Tiefpunkt.

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Um zu prüfen, ob der Punkt \(P\left(1|\frac{3}{4}\right)\) auf der Ortskurve der Tiefpunkte liegt, ermitteln wir für \(P\) den \(a\)-Wert und setzen \(x=2a\) und \(x=1\) gleich.

\( \begin{array}{ r c l l } 2a & = & 1 & | \; :2 \\[6pt] a & = & \frac{1}{2} & \\ \end{array} \)


Nun noch in \(f_a(x)\) eingesetzt:

\( \begin{array}{ r c l } f_{\frac{1}{2}}(1) & = & 1^2 + \frac{1}{2} \cdot (3 - 4 \cdot 1) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\[6pt] f_{\frac{1}{2}}(1) & = & 1+ \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\[6pt] f_{\frac{1}{2}}(1) & = & 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \\[6pt] f_{\frac{1}{2}}(1) & = & \frac{4}{4} - \frac{2}{4}+ \frac{1}{4} \\[6pt] f_{\frac{1}{2}}(1) & = & \frac{3}{4}\\ \end{array} \)


Der Punkt \(P\left(1|\frac{3}{4}\right)\) ist also der Tiefpunkt des Graphen von \(f_{\frac{1}{2}}(x)\).