Abituraufgaben 2019 – HMF

 

Inhaltsverzeichnis





 

Aufgaben

 

HMF 1 – Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben sind die Punkte A(0|0|4) , B(2|2|2) und C(0|3|1).

 

  1. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D, so dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm mit einer Beschriftung der Eckpunkte im üblichen Umlaufsinn ist.

    (2 P)

  2. Zeigen Sie, dass der Innenwinkel des Vierecks ABCD bei dem Punkt B ein rechter Winkel ist.

    (2 P)

  3. Überprüfen Sie, ob es sich bei dem Viereck ABCD um ein Quadrat handelt.

    (1 P)

LÖSUNG


 

 

HMF 2 – Analytische Geometrie (Pool 1)

Die Gerade

    \[ g: \vv{x}= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \quad mit \hspace{2pt} r \in \mathbbm{R} \]

und die Ebene

    \[ E: x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 2 \]

schneiden sich im Punkt S.

  1. Berechnen Sie die Koordinaten von S.

    (3 P)

  2. Der Punkt P_1 liegt auf g, aber nicht auf E.
    Die Abbildung zeigt die Ebene E, die Gerade g sowie einen Repräsentanten des Vektors \vv{SP_1}.
    Für den Punkt P_2 gilt

        \[ \vv{OP_2} = \vv{OP_1} - 4 \cdot \vv{SP_1} , \]

    wobei O den Koordinatenursprung bezeichnet.
    Zeichnen Sie die Punkte S, P_1 und P_2 in die Abbildung (Arbeitsblatt) ein.

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    (2 P)

LÖSUNG


 

 

HMF 3 – Analytische Geometrie (Pool 2)

    1. Die Ebene

          \[ E: 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6 \]

      enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
      Bestimmen Sie diese Koordinaten.

      (2 P)

    2. Begründen Sie, dass folgende Aussage richtig ist:

      Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

      (3 P)

    LÖSUNG


     

     

    HMF 4 – Stochastik (Pool 1)

    Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit “0“ beschriftet, einer mit “1“ und einer mit “2“, die anderen beiden Sektoren sind mit “9“ beschriftet.

     

    1. Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2, 0, 1 und 9 in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.

      (2 P)

       

    2. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 ist.

      (3 P)

    LÖSUNG


     

     

    HMF 5 – Stochastik (Pool 1)

    In einem Fitness-Studio wurde eine Umfrage unter den weiblichen und männlichen Kunden durchgeführt, ob sie mit der Sauberkeit der Umkleideräume zufrieden sind.
    Unter allen abgegebenen Fragebögen wird ein Bogen zufällig ausgewählt.
    In der folgenden Vierfeldertafel sind einige Wahrscheinlichkeiten bereits eingetragen.

    Dabei sind die Ereignisse


    M: “Die Person ist männlich.“
    Z: “Die Person ist mit der Sauberkeit zufrieden.“

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.4} \begin{array}{ C{0.5cm} | C{1.2cm} | C{1.2cm} | C{1.0cm}} \cellcolor{lightgray}{}& \cellcolor{lightgray}{\large{M}} & \cellcolor{lightgray}{$\mathlarger{\overline{M}}}$ & \cellcolor{lightgray}{$\mathlarger{\sum}$} \\ \hline \cellcolor{lightgray}{\large{Z}} & & & \cellcolor{lightgray!25}{$\mathlarger{\frac{9}{16}}$} \\ \hline \cellcolor{lightgray}{$\mathlarger{\overline{Z}}}$ & & \cellcolor{cyan!35!white}{$\mathlarger{\frac{1}{4}}$} &\cellcolor{lightgray!25}{} \\ \hline \cellcolor{lightgray}{$\mathlarger{\sum}$} & \cellcolor{lightgray!25}{} & \cellcolor{lightgray!25}{$\mathlarger{\frac{3}{8}}$} & \cellcolor{lightgray!25}$\mathlarger{1}$} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

     

    1. Ergänzen Sie die übrigen Einträge der Vierfeldertafel.

      (2 P)

    2. Beschreiben Sie die Bedeutung des farbig hinterlegten Feldes im Sachzusammenhang.

      (1 P)

    3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Frau mit der Sauberkeit der Umkleideräume nicht zufrieden ist.

      (2 P)

    LÖSUNG


     

     

    HMF 6 – Analysis (Pool 2)

    Der abgebildete Graph stellt eine Funktion f dar.

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    1. Einer der folgenden Graphen I, II oder III gehört zu der Ableitungsfunktion f.
      Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

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      (3 P)

    2. Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f. Geben Sie das Monotonieverhalten von F im Intervall [1;3] an. Begründen Sie Ihre Angabe.

      (2 P)

    LÖSUNG


     

     

    HMF 7 – Analysis (Pool 1)

    Gegeben ist die in \mathbb{R}\setminus\{0\} definierte Funktion f mit

        \[ f(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \; , \]

    die die Nullstellen -1 und 1 hat.

    Die Abbildung zeigt den Graphen von f, der symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

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    Weiterhin ist die Gerade g mit der Gleichung

        \[ y = -3 \]

    gegeben.

     

    1. Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen g den Graphen von f schneidet, die x-Koordinate \frac{1}{2} hat.

      (1 P)

    2. Bestimmen Sie rechnerisch die Fläche, die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade g einschließen

      (4 P)

    LÖSUNG


     

     

    HMF 8 – Analysis (Pool 2)

    Für jede reelle Zahl a ist die Funktion f_a durch

        \[ f_a(x) = x^2 + a \cdot (3 - 4x) + a^2 \]

    gegeben.

    1. Sei zunächst a=1. Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion f_1.

      (2 P)

    2. Untersuchen Sie, ob der Punkt P\left(1|\frac{3}{4}\right) Tiefpunkt des Graphen einer der Funktionen f_a ist.

      (3 P)

    LÖSUNG

     
     
    Aufgaben zum Ausdrucken:

    Abitur 2019, hilfsmittelfreie Aufgaben, Schleswig-Holstein als PDF






    Lösungen

    Lösung : HMF 1 – Analytische Geometrie

    Aufgabe 1 – Punkt D

    In einem Parallelogramm sind jeweils 2 Seiten parallel zueinander.

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    Das heißt, dass Vektor

        \[ \vv{AD} = \vv{BC} \]

    ist. Wir erhalten für den Ortsvektor von D also

        \[ \begin{array}{ r c l } \vv{d} & = & \vv{a} + \vv{BC} \\ \\ \vv{d} & = & \vv{a} + \vv{c} - \vv{b} \\ \\ \vv{d} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \\ \vv{d} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \\ \\ & \Rightarrow & \mathlarger{\mathlarger{D(-2|1|3)}} \\ \end{array} \]


     

     

    Aufgabe 2 – rechter Winkel

    Damit ein rechter Winkel in Punkt B vorliegt, müssen die Vektoren \vv{BA} und \vv{BC} orthogonal zueinander sein. Wir überprüfen das mit dem Skalarprodukt:

        \[ \begin{array}{ r c l } \vv{BA} \cdot \vv{BC} & = & \left(\vv{a} - \vv{b} \right) \circ \left(\vv{c} - \vv{b} \right) \\ \\ & = & \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \\ \\ & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \\ & = & -2 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 0 \Rightarrow orthogonal \\ \end{array} \]

    Es liegt also ein rechter Winkel im Punkt B vor.


     

     

    Aufgabe 3 – Quadrat

    Wir überprüfen die Längen der Vektoren \vv{BA} und \vv{BC}.

        \[ \begin{array}{ r*{7}{c}} \mathlarger{\mathlarger{\bigl|\mvcenter{\vv{BA}}\bigl| }} & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ -2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} & = & \mathlarger{\mathlarger{\sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2}}} & = & \mathlarger{\mathlarger{\sqrt{12}}} \\ \\ \mathlarger{\mathlarger{\bigl|\mvcenter{\vv{BC}}\bigl| }} & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} & = & \mathlarger{\mathlarger{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2}}} & = & \mathlarger{\mathlarger{\sqrt{6}}} \\ \end{array} \]

    Damit ist

     \bigl|\mvcenter{\vv{BA}}\bigl| \not= \bigl|\mvcenter{\vv{BC}}\bigl|

    Das Viereck ABCD hat 2 verschieden lange Seiten und kann damit kein Quadrat sein.

     

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    Lösung : HMF 2 – Analytische Geometrie

    Aufgabe 1 – Schnittpunkt S

    Um den Schnittpunkt S zu berechnen, setzen wir die Gerade g

        \[ \begin{array}{ c l l } \vv{x} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \\ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \\ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2r\\ 2 + 4r \\ r \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \\ \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} & \begin{array}{r} = \\ = \\ = \\ \end{array} & \begin{array}{r} 2r \\ 2 + 4r \\ r \\ \end{array} \\ \end{array} \]

    in die Ebene

        \[ E: x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 2 \]

    ein:

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{ r c r l } 2r + 2 \cdot (2 + 4r) - 2r & = & 2 & \\ 2r + 4 + 8r - 2r & = & 2 & |-4 \\ 8r & = & -2 & | : 8 \\ r & = & -\frac{1}{4} & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

    Um Punkt S zu erhalten, setzen wir r in g ein:

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } \vv{x} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \mathlarger{\frac{1}{4}} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \\ & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} \frac{2}{4} \\ \frac{4}{4} \\ \frac{1}{4} \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{4} \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

    \Rightarrow \quad \mathlarger{\mathlarger{S}} \; \left(-\frac{1}{2} \, \Bigl| 1 \,\Bigl| -\frac{1}{4} \right)


     

     

    Aufgabe 2 – Punkte einzeichnen

    Den Punkt P_1 erhalten wir, indem wir uns vom Schnittpunkt S aus mit dem Vektor \vv{SP_1} weiter bewegen, wie auf der Abbildung zu sehen ist.

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    Um den Punkt P_2 zu erhalten, formen wir die Gleichung

        \[ \vv{p_2} = \vv{p_1} - 4 \cdot {SP_1} \]

    etwas um.

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{ r c l } \vv{p_2} & = & \vv{p_1} - 4 \cdot \vv{SP_1} \\ \vv{p_2} & = & \vv{p_1} - (\vv{SP_1}+\vv{SP_1}+\vv{SP_1}+\vv{SP_1}) \\ \vv{p_2} & = & \vv{p_1} - \vv{SP_1}- \vv{SP_1}- \vv{SP_1}- \vv{SP_1} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

    Mit dem Gegenvektor

        \[ \vv{P_1S} = -\vv{SP_1} \]

    erhalten wir den Ausdruck

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{ r c l } \vv{p_2} & = & \vv{p_1} + \vv{P_1S}+ \vv{P_1S}+ \vv{P_1S}+ \vv{P_1S} \\ \vv{p_2} & = & \vv{p_1} + 4 \cdot \vv{P_1S} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

    wie in dieser Abbildung zu sehen ist.

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    Lösung : HMF 3 – Analytische Geometrie

    Aufgabe 1 – Koordinaten bestimmen

    Die Menge der Punkte, in der alle Koordinaten gleich sind, ist folgende Menge:

        \[ \bigl\{ \dots , (-1|-1|-1),(0|0|0), (1|1|1), (2|2|2), (3|3|3), \dots \bigl\} \]

    Es ist zu erkennen, dass diese Punktmenge auf einer Geraden g liegt mit dem Richtungsvektor

        \[ \begin{array}{ c } \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \]

    Eine mögliche Geradengleichung wäre:

        \[ \begin{array}{ c*{9}{c} } g: \vv{x} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} t \\ t \\ t \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \]

    Wir bestimmen den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene

        \[ E: 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6 , \]

    indem wir die Gerade g in E einsetzen:

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{ l c c c } 3t + 2t + 2t & = & 6 &\\ 7t & = & 6 & | :7\\ t & = & \frac{6}{7} &\\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

    Der gesuchte Punkt enthält die Koordinaten \left(\frac{6}{7} \, \Bigl| \frac{6}{7} \,\Bigl| \frac{6}{7} \right).


     

     

    Aufgabe 2 – Aussage begründen

    Bildlich veranschaulicht kann man sehen,

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    dass alle parallelen Ebenen zu der Geraden g, sofern sie g nicht enthalten, diese auch nicht schneiden.

    Folglich gibt es unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

     

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    Lösung : HMF 1 – Stochastik

    Aufgabe 1 – angegebene Reihenfolge

    Hier handelt es sich um einen durchgehenden Pfad eines Wahrscheinlichkeitsbaumes mit Zurücklegen.

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    Mit der Multiplikationsregel gilt

        \[ %\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{ c*{13}{c} } \mathlarger{P(x)} & = & \mathlarger{\frac{1}{5} }& \cdot & \mathlarger{\frac{1}{5}} & \cdot & \mathlarger{\frac{1}{5}} & \cdot & \mathlarger{\frac{2}{5}} & = & \mathlarger{\frac{1 \; \cdot \; 1 \cdot \; 1 \; \cdot \; 2}{5 \; \cdot \; 5 \; \cdot \; 5 \; \cdot \; 5} } & = & \mathlarger{\frac{2}{625} } \end{array} %\renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]


     

     

    Aufgabe 2 – Summe mindestens 11

    Als Ereignis muss gelten:

        \[ \begin{array}{ r c l } \textrm{E} & = & \bigl\{ (9;9) , \, (9;2), \, (2;9) \bigl\} \end{array} \]

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    Bei mehren Pfaden brauchen wir auch die Additionsregel:

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{array}{ c*{7}{c} } \mathlarger{P(x)} & = & \mathlarger{\frac{1}{5} } \, \cdot \, \mathlarger{\frac{2}{5}} & + & \mathlarger{\frac{2}{5}} \, \cdot \, \mathlarger{\frac{1}{5}} & + & \mathlarger{\frac{2}{5}} \, \cdot \, \mathlarger{\frac{2}{5}} \\ & = & \mathlarger{\frac{2}{25}} & + & \mathlarger{\frac{2}{25}} & + & \mathlarger{\frac{4}{25}} \\ &= & \mathlarger{\frac{8}{25} } & & & & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

     

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    Lösung : HMF 5 – Stochastik

    Aufgabe 1 – Vierfeldertafel

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.4} \begin{array}{ C{0.5cm} | C{1.2cm} | C{1.2cm} | C{1.0cm}} \cellcolor{lightgray}{}& \cellcolor{lightgray}{\large{M}} & \cellcolor{lightgray}{$\mathlarger{\overline{M}}}$ & \cellcolor{lightgray}{$\mathlarger{\sum}$} \\ \hline \cellcolor{lightgray}{\large{Z}} & $\mathlarger{\frac{7}{16}}$ & $\mathlarger{\frac{1}{8}}$ & \cellcolor{lightgray!25}{$\mathlarger{\frac{9}{16}}$} \\ \hline \cellcolor{lightgray}{$\mathlarger{\overline{Z}}}$ & $\mathlarger{\frac{3}{16}}$ & $\mathlarger{\frac{1}{4}}$ &\cellcolor{lightgray!25}{$\mathlarger{\frac{7}{16}}$} \\ \hline \cellcolor{lightgray}{$\mathlarger{\sum}$} & \cellcolor{lightgray!25}{$\mathlarger{\frac{5}{8}}$} & \cellcolor{lightgray!25}{$\mathlarger{\frac{3}{8}}$} & \cellcolor{lightgray!25}$\mathlarger{1}$} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]


     

     

    Aufgabe 2 – Sachzusammenhang

    \frac{1}{4} der Personen, die den Fragebogen abgegeben haben, ist sowohl weiblich als auch mit der Sauberkeit der Umkleideräume nicht zufrieden.

     

     

    Aufgabe 3 – bedingte Wahrscheinlichkeit

    Wir haben es hier mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit mit der Vorbedingung “weiblich“ (\overline{M}) zu tun:

        \[ %\renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{array}{ c*{13}{c} } \mathlarger{\mathlarger{P_{\overline{M}}(\overline{Z})}} & = & \mathlarger{ \frac{P(\overline{M} \cap \overline{Z})}{P(\overline{M})} } & = & \mathlarger{\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{8}}} & = & \mathlarger{\frac{1}{4} \, : \, \frac{3}{8}} & = & \mathlarger{\frac{1}{4} \, \cdot \, \frac{8}{3}} & = & \mathlarger{\frac{\hspace{6pt} 1 \cdot\cancel{8}^{2}}{\prescript{ }{1}{ \cancel{4}\cdot 3 \hspace{6pt}}}} & = & \mathlarger{\frac{2}{3}} \end{array} %\renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

     

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    Lösung : HMF 6 – Analysis

    Aufgabe 1 – Graph

    Der Graph der Ableitungsfunktion von f muss bei den x-Werten der Extrempunkte von f eine Nullstelle haben, also bei x=-2 und x=2. Das ist bei Graph II nicht der Fall.

    Die y-Werte der Ableitungsfunktion sind die Tangentensteigung an den Graphen von f. Betrachten wir die Steigung bei x=0:

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    wir können erkennen, dass wir eine negative Tangentensteigung mit

        \[ m = - \frac{\mathsmaller{\Delta} y}{\mathsmaller{\Delta} x} \]

    haben. Dabei ist m ein Wert zwischen -0.5 und -1. Das ist passend für den Graphen I, aber nicht für den Graphen III, der eine Steigung von -2 hat. Folglich ist der Graph der Ableitungsfunktion Graph I.


     

     

    Aufgabe 2 – Monotonieverhalten

    Das Monotonieverhalten gibt an, ob ein Funktionsgraph steigend oder fallend ist. Für die Stammfunktion F stellt der Funktionsgraph von f die Ableitungsfunktion dar.

    Da wir beim Graphen von f im Intervall [1; \, 3] nur negative y-Werte haben, ist F über dem ganzen Intervall streng monoton fallend.

     

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    Lösung : HMF 7 – Analysis

    Aufgabe 1 – Gerade g

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    Wir berechnen die Schnittpunkte der Funktion f und der Funktion g mit

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.4} \begin{array}{ r c c l } \mathlarger{-3} & = & \mathlarger{1 -\frac{1}{x^2}} & | \mathlarger{-1} \\ \mathlarger{-4} & = & \mathlarger{-\frac{1}{x^2}} & | \mathlarger{\cdot \left(-x^2 \right)} \\ \mathlarger{4x^2} & = & \mathlarger{1} & | \mathlarger{: 4} \\ \mathlarger{x^2} & = & \mathlarger{\frac{1}{4}} & | \mathlarger{\sqrt{\dots}} \\ \mathlarger{x_1} & = & \mathlarger{-\frac{1}{2}} & \\ \mathlarger{x_2} & = & \mathlarger{\frac{1}{2}} & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]


     

     

    Aufgabe 2 – Fläche

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    Wir unterteilen die Fläche in 3 Teilflächen, wobei die mittlere Fläche ein einfaches Rechteck ist und die beiden äußeren Flächen gleich groß sind, denn f ist eine gebrochen-rationale Funktion, die achsensymmetrisch ist.

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{3.6} \begin{array}{ r c l } \mathlarger{\textrm{A}} & = & \mathlarger{3 \cdot 1 + 2 \cdot \Biggl|\mathlarger{\int}_{0.5}^1\left( 1- \frac{1}{x^2} \right)dx \Biggl| } \\ & = & \mathlarger{3 + 2 \cdot \Biggl|\mathlarger{\int}_{0.5}^1\left(1- x^{-2}\right)dx \Biggl|} \\ & = & \mathlarger{3 + 2 \cdot \Biggl|\bigg[ x + x^{-1} \bigg]_{0,5}^1 \Biggl|} \\ & = & \mathlarger{3 + 2 \cdot \Biggl|\bigg[x + \frac{1}{x} \bigg]_{0,5}^1 \Biggl|} \\ & = & \mathlarger{ 3 + 2 \cdot \Biggl|\left(1 + \frac{1}{1}\right)-\left(0.5 + \frac{1}{0.5}\right)\Biggl| } \\ & = & \mathlarger{ 3 + 2 \cdot \Biggl|(1 + 1)-\left(0.5 + \frac{2}{1}\right)\Biggl|} \\ & = & \mathlarger{3 + 2 \cdot \Bigl| 2 - 2.5\Bigl|} \\ & = & \mathlarger{3 + 2 \cdot \Bigl| -0.5 \Bigl|} \\ & = & \mathlarger{3 + 1} \\ & = & \mathlarger{4} \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

     

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    Lösung : HMF 8 – Analysis

    Aufgabe 1 – Nullstellen

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } f_1(x) & = & x^2 + 1 \cdot (3 - 4x) + 1^2 \\ & = & x^2 + 3 - 4x + 1\\ & = & x^2 - 4x + 4\\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

    Bei den Nullstellen gilt

        \[ f_1(x) = 0 \]

    Für

        \[ 0 = x^2 - 4x + 4 \]

    wenden wir die PQ-Formel an:

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{array}{ r c l } \mathlarger{x_{1,2}} & = & \mathlarger{- \frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}} \\ & = & \mathlarger{- \frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-4}} \\ & = & \mathlarger{2\pm \sqrt{4-4}} \\ x & = & \mathlarger{2} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

    Die einzige Nullstelle von f_1 liegt bei (2|0).


     

     

    Aufgabe 2 – Tiefpunkt

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } f_a(x) & = & x^2 + a \cdot (3 - 4x) + a^2 \\ f_a(x) & = & x^2 + 3a - 4ax + a^2 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

    Für Extrempunkte gilt die notwendige Bedingung

        \[ f_a\/'(x) = 0 \]

    Die 1. Ableitung ist

        \[ f_a\/'(x) = 2x - 4a \]

    Wir setzen f_a\/'(x) in die notwendige Bedingung ein:

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l l } 2x - 4a & = & 0 & | +4a\\ 2x & = & 4a & | :2 \\ x & = & 2a & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

    Weiter gilt die hinreichende Bedingung

        \[ f_a\/''(x) \not= 0 \]

    mit

        \[ f_a\/''(x) = 2 \]

    Wir überprüfen unseren x-Wert mit der 2. Ableitung:

        \[ f_a\/''(2a) = 2 > 0 \]

    Bei x=2a haben wir in der Funktionenschar einen Tiefpunkt.

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    Um zu prüfen, ob der Punkt P\left(1|\frac{3}{4}\right) auf der Ortskurve der Tiefpunkte liegt, ermitteln wir für P den a-Wert und setzen x=2a und x=1 gleich.

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l l } 2a & = & 1 & | :2 \\ a & = & \frac{1}{2} & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

    Nun noch in f_a(x) eingesetzt:

        \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{ r c l } f_{\frac{1}{2}}(1) & = & 1^2 + \frac{1}{2} \cdot (3 - 4 \cdot 1) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ f_{\frac{1}{2}}(1) & = & 1+ \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ f_{\frac{1}{2}}(1) & = & 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \\ f_{\frac{1}{2}}(1) & = & \frac{4}{4} - \frac{2}{4}+ \frac{1}{4} \\ f_{\frac{1}{2}}(1) & = & \frac{3}{4}\\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

    Der Punkt P\left(1|\frac{3}{4}\right) ist also der Tiefpunkt des Graphen von f_{\frac{1}{2}}(x).

     

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