Analysis 1

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Küstenlinie

Für den Beginn des Jahres \(2020\) modelliert der Graph der Funktion \(f\) mit

\( f(x) \; = \; 5x \cdot e^{-x} + 1 \quad \textrm{und} \quad x \in [0;8] \)

einen Teil der Küstenlinie, die das Land vom Meer trennt. Die \(x\)-Achse beschreibt eine Straße in West-Ost-Richtung. Die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse stellt das Land nördlich der Straße dar. Bei \(L(0{,}5 | 1{,}5)\) steht ein Leuchtturm.

Eine Längeneinheit entspricht \(100 \; m\) in der Wirklichkeit.

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Abbildung

  1. Zeichnen Sie den Punkt \(L\) auf dem Arbeitsblatt

ein.
Berechnen Sie die \(y\)-Koordinate des Punktes der Küstenlinie an der Stelle \(x=0{,}5\).

(2 P)


  1. Zeichnen Sie die Tangente an den Graphen \(f\) an der Stelle \(x=2\) in die Abbildung ein, und bestimmen Sie deren Steigung.

    (2 P)


  1. Es gibt auf dem betrachteten Teil der Küstenlinie Punkte, deren Abstand von der Straße \(200 \; m\) beträgt. Zeichnen Sie die entsprechende Punkte in die Abbildung ein. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

    (3 P)





Küstenlinie

  1. Berechnen Sie die Koordinaten des nördlichsten Punkts auf dem betrachteten Teil der Küstenlinie.

    \(\quad \big[\textrm{Zur Kontrolle: } \; f'(x) \; = \; 5 e^{-x} \cdot (1 - x) \big]\)

    (5 P)


  1. Bestimmen Sie alle Stellen \(x \in [0;8]\), für die \(f''(x) \; = \; 0\) gilt.

    (3 P)


  1. Berechnen Sie den mittleren Abstand der Punkte des betrachteten Teil der Küstenlinie zur Straße in Metern.

    (3 P)


  1. Bestimmen Sie mittels Integration einen Funktionsterm für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\).

    (4 P)





Änderung der Küstenlinie

Der betrachtete Teil der Küstenlinie wird sich im Laufe der Jahre verändern. In einem Rechenmodell wird der künftige Verlauf für \(a \geq 20\) durch die Funktion \(f_a\) mit

\( f_a(x) \; = \; 5x \cdot e^{-0{,}05 a \cdot x} + 1 \quad \textrm{und} \quad x \in [0;8] \)

modelliert. Der Wert von \(a\) gibt an, wie viele Jahre seit Beginn des Jahres \(2000\) vergangen sind. Also entspricht \(a = 20\) dem Beginn des Jahres \(2020\) .

  1. Berechnen Sie, in welchem Jahr der Leuchtturm auf der Küstenlinie stehen wird.

    (3 P)


Für jedes \(a\) hat der Graph der Funktion \(f_a\) einen Hochpunkt an der Stelle \(x = \frac{20}{a}\). Dieser Hochpunkt beschreibt den nördlichsten Punkt der jeweiligen Küstenlinie.

  1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ortskurve, auf der die Hochpunkte liegen.

    (3 P)


  1. Vom Leuchtturm aus führt ein Weg genau in Nordrichtung. Zu einem bestimmten Zeitpunkt endet dieser Weg am nördlichsten Punkt der Küstenlinie. Bestimmen Sie die Länge des Weges zu diesem Zeitpunkt.

    (3 P)





Landfläche

  1. Berechnen Sie den Inhalt der Landfläche zwischen der Küstenlinie und der Straße im Intervall \([0;8]\) zu Beginn des Jahres \(2150\) . Begründen Sie, dass der Inhalt der Landfläche auch in allen Jahren nach \(2150\) größer als \(8\) Hektar sein wird.

    (4 P)


  1. Es gibt genau eine Wert \(a\geq 20\), der die folgende Gleichung erfüllt:

    \( \displaystyle{\int}_0^8 \Big( 5x \cdot e^{-0{,}05 a \cdot x} + 1 \Big) dx \; = \; 0{,}8 \cdot \displaystyle{\int}_0^8 \Big( 5x \cdot e^{- x} + 1 \Big) dx \)


    Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Wertes \(a\) im Sachzusammenhang.

    (2 P)


  1. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen \(a\), für die \(f_a(x) < f(x)\) für \(0 < x \leq 8\) gilt.

    (3 P)




Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen: Küstenlinie

Lösung : Abbildung

Aufgabe 1 - Punkt L

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\( \begin{array}{ r c l } f(0{,}5) & = & 5 \cdot 0{,}5 \cdot e^{-0{,}5} + 1 \\[6pt] & = & 2{,}51633 \\[6pt] & \approx & 2{,}5 \\ \end{array} \)








Aufgabe 2 - Tangente

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Die Steigung der Tangente an Punkt \(P\) ist laut Steigungsdreieck

\( m \; = \; -\frac{2}{3} \)




Aufgabe 3 - Abstand zur Straße

Es gilt \(f(x) = 2\)

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und damit

\( 2 \; = \; 5x \cdot e^{-x} + 1 \)


Diese Gleichung lässt sich nur sehr aufwändig mit einem Näherungsverfahren berechnen. Das steht aber in keinem Verhältnis zu den Bewertungspunkten. Deshalb greifen wir auf die SOLVE-Funktion des Taschenrechners zurück und geben

\( 2 \; \; \color{#CC0000}{=} \; \; 5x \cdot e^{-x} + 1 \)


ein und drücken \(\color{#C19A6B}{SHIFT}\) \(CALC\)

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Wir bestätigen mit \(=\)

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Dies ist offensichtlich die Lösung von dem linken \(x\)-Wert. Wir berechnen erneut mit \(=\)

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Um den rechten \(x\)-Wert zu bekommen, geben wir den Startwert \(3\) vor.

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und bestätigen zweimal mit \(=\)

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Die Lösungen lauten also

\( x_1=0{,}2591711018 \quad \textrm{und} \quad x_2=2{,}542641358 \)







 



Lösung : Küstenlinie

Aufgabe 1 - nördlichster Punkt

Für den nördlichsten Punkt der Küstenlinie berechnen wir den Hochpunkt von \(f\).

notwendige Bedingung

Es gilt \(f'(x)=0\)

Funktion \(f\) ist von der Form

\( f(x) \; = \; 5x \cdot e^{-x} + 1 \; = \; u(x) \cdot v(x) + 1 \)


Mit der Produkt- und Kettenregel (die 1 fällt beim Ableiten weg) gilt

\( \begin{array}{ c l } f'(x) & = \; u' \cdot v \; + \; u \cdot v' \\[20pt] & \textit{Nebenrechnung 1 } \\[6pt] & u \; = \; 5x \\[6pt] & u' \; = \; 5 \\[6pt] & v \; = \; e^{-x} \; = \; g\Big(h(x)\Big) \\[20pt] & \; \qquad \textit{Nebenrechnung 2 } \\[6pt] & \; \qquad h(x) \; = \; - x \\[6pt] & \; \qquad h'(x) \; = \; - 1 \\[6pt] & \; \qquad g(x) \; = \; e^x \\[6pt] & \; \qquad g'(x) \; = \; e^x \\[6pt] & \; \qquad g'\Big(h(x)\Big) \; = \; e^{-x} \\[20pt] & v' \; = \; h'(x) \cdot g'\Big(h(x)\Big) \; = \; - 1 \cdot e^{-x} \; = \; - e^{-x} \\[20pt] f'(x) & = \; 5 \cdot e^{-x} + 5x \cdot \left( - e^{-x}\right) \\[6pt] f'(x) & = \; 5 \cdot e^{-x} - 5x \cdot e^{-x} \\[6pt] f'(x) & = \; (5 - 5x) \cdot e^{-x} \\[6pt] f'(x) & = \; 5 (1 - x) \cdot e^{-x} \\ \end{array} \)


Nach der Bedingung gilt

\( 0 \; = \; 5 (1 - x) \cdot e^{-x} \)


Mit der Regel des Nullprodukts ist

\( \left. \begin{array}{ r c l l } 0 & = & 1 - x & | + x \\[6pt] x & = & 1 \\ \end{array} \quad \right\} \; \textrm{mit} \; 5 \, \not= \, 0 \quad \textrm{und} \quad e^{-x} \, \not= \, 0 \)


hinreichende Bedingung

Mit der 2. Ableitung überprüfen wir die Lösung \(x=1\). Wir gehen von

\( f'(x) \; = \; (5 - 5x) \cdot e^{-x} \)


aus.

\( \begin{array}{ c l } f''(x) & = \; u' \cdot v \; + \; u \cdot v' \\[20pt] & \textit{Nebenrechnung} \\[6pt] &u \; = \; 5 - 5x \\[6pt] & u' \; = \; - 5 \\[6pt] & v \; = \; e^{-x} \\[6pt] & v' \; = \; - e^{-x} \quad \textrm{(siehe oben)} \\[20pt] f''(x) & = \; - 5 \cdot e^{-x} + (5 - 5x) \cdot \left( - e^{-x}\right) \\[6pt] f''(x) & = \; - 5 \cdot e^{-x} + (- 5 + 5x) \cdot e^{-x} \\[6pt] f''(x) & = \; (- 5 - 5 + 5x) \cdot e^{-x} \\[6pt] f''(x) & = \; (- 10 + 5x) \cdot e^{-x} \\[20pt] f''(1) & = \; (- 10 + 5 \cdot 1) \cdot e^{-1} \\[6pt] f''(1) & = \; (- 5) \cdot e^{-1} \; = \; - \frac{5}{e} \; < \; 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Hochpunkt} \\ \end{array} \)


Funktionswert

\( \begin{array}{ r c l } f(1) & = & 5 \cdot 1 \cdot e^{-1} + 1 \\[6pt] & = & \frac{5}{e} + 1 \\[6pt] & \approx & 2{,}8394 \\ \end{array} \)


Der nördlichste Punkt der Küstenlinie ist der lokale Hochpunkt \(H(1 | 2{,}8394)\)der Funktion \(f\). Da keine anderen Extrempunkte existieren, ist die Funktion für \(x<1\) monoton steigend und für \(x>1\) monoton fallend. Damit sind höher gelegene Punkt ausgeschlossen.








Aufgabe 2 - zweite Ableitung = Null

Es gilt \(f''(x) = 0\) mit

\( \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{ r c l } f''(x) & = & (- 10 + 5x) \cdot e^{-x} \\[6pt] f''(x) & = & 5 \cdot (x - 2) \cdot e^{-x} \\ \end{array} \)


Wir wenden wieder die Nullprodukts an.

\( \left. \begin{array}{ r c l l } x - 2 &= & 0 &| \; + 2 \\[6pt] x & = & 2 \\ \end{array} \quad \right\} \; \textrm{mit} \; 5 \, \not= \, 0 \quad \textrm{und} \quad e^{-x} \, \not= \, 0 \)


Bei \(x=2\) ist die Krümmung des Graphen gleich Null. Sofern die \(f'''(2) \not= 0\) ist, befindet sich bei \(x=2\) ein Wendepunkt, was hier aber nicht nachgewiesen werden soll.








Aufgabe 3 - mittlerer Abstand der Küstenlinie zur Straße

Wie ermitteln wir nun den durchschnittlichen Abstand?

Es gibt ein flächeninhaltsgleiches Rechteck zu der Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse,

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dessen Breite identisch ist mit dem Abstand der Grenzen des Integrals. Dann muss die Höhe des Rechtecks den mittleren Abstand angeben. Durch Auflösen nach dieser Höhe \(\overline{m}\) erhalten wir die allgemeine Gleichung des Mittelwertes.

\( \overline{m} \; = \; \frac{1}{b-a}\displaystyle{\int}_a^b f(x) dx \)


Einsetzen in die Formel:

\( \begin{array}{ r c l } \overline{m} & = & \frac{1}{8-0}\displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-x} + 1 \right) dx \\[8pt] & = & 1{,}62 \\ \end{array} \)


Der mittlere Abstand der Küstenlinie zur Straße beträgt also \(162 \; m\) .








Aufgabe 4 - Stammfunktion

\( F(x) \; = \; \displaystyle{\int} \left(5x \cdot e^{-x} + 1 \right) dx + C \)


Produkte von zwei \(x\)-Termen lassen sich nicht ohne Weiteres aufleiten. Mithilfe der partiellen Integration kann ein \(x\)-Term beseitigt werden. Es gilt die Umformung

\( \displaystyle{\int} u(x) \cdot v'(x) dx \; = \; u(x) \cdot v(x) - \displaystyle{\int} u'(x) \cdot v(x) dx \)


Der Grundgedanke ist nun, einen \(x\)-Term durch Ableiten zu beseitigen. Bei einem Produkt aus einem ganzrationalen Teil und einem Teil einer \(e\)-Funktion wird der ganzrationale Teil solange abgeleitet, bis er kein \(x\) mehr enthält. Bei der \(e\)-Funktion ist dies nicht möglich.

Das heißt, dass als \(u(x)\) der ganzrationale Teil gewählt wird.

\( \begin{array}{ l l } \displaystyle{\int} 5x \cdot e^{-x} dx + C \\[20pt] \begin{array}{ l l } u \; = \; 5x & \qquad u' \; = \; 5 \\[6pt] v \; = \; - e^{-x} & \qquad v' \; = \; e^{-x} \end{array} \\[20pt] \begin{array}{ l l } \displaystyle{\int} 5x \cdot e^{-x} dx + C & = \; 5x \cdot \left(- e^{-x}\right) - \displaystyle{\int} 5 \cdot \left(- e^{-x}\right) dx + C \\[8pt] & = \; - 5x \cdot e^{-x} - \displaystyle{\int} \left(- 5 \cdot e^{-x}\right) dx + C \\[8pt] & = \; - 5x \cdot e^{-x} + 5 \displaystyle{\int} e^{-x} dx + C \\[8pt] & = \; - 5x \cdot e^{-x} + 5 \cdot \left(- e^{-x} \right) + C \\[6pt] & = \; - 5x \cdot e^{-x} - 5 \cdot e^{-x} + C \\[8pt] & = \; - 5(x + 1) \cdot e^{-x} + C \\ \end{array} \end{array} \)


Für die ganze Stammfunktion gilt dann

\( \begin{array}{ r c l } \displaystyle{\int} \left(5x \cdot e^{-x} + 1 \right) dx + C & = & - 5(x + 1) \cdot e^{-x} + x + C \\[8pt] & = & x - \frac{5(x + 1)}{e^x} + C \\ \end{array} \)








 



Lösung : Änderung der Küstenlinie

Aufgabe 1 - Leuchtturm auf der Küstenlinie

Im Laufe der Jahre ändert die Küstenlinie ihren Verlauf,

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so dass der Leuchtturm in absehbarer Zukunft vom Wasser umspült wird.

Um zu berechnen wann der Leuchtturm auf der Küstenlinie liegt, werden die Koordinaten des Leuchtturms mit \(L(0{,}5 | 1{,}5)\) in die Funktion \(f_a(x)\) eingesetzt.

\( \begin{array}{ r c l l l } 5 \cdot 0{,}5 e^{-0{,}05\cdot 0{,}5 a} + 1 & = & 1{,}5 & & | \; - 1 \\[6pt] 2{,}5 e^{-0{,}025 a} & = & 0{,}5 & & | \; : 2{,}5 \\[6pt] e^{-0{,}025 a} & = & 0{,}2 & & | \; ln \\[6pt] ln\left(e^{-0{,}025 a}\right) & = & ln(0{,}2) \\[6pt] -0{,}025 a & = & ln(0{,}2) & & | \; :(-0{,}025) \\[6pt] a & = & 64{,}3775 \\ \end{array} \)


Im Laufe des Jahres \(2064\) wird der Leuchtturm auf der Küstenlinie stehen.








Aufgabe 2 - Ortskurve der Hochpunkte

Für die Hochpunkte benötigen wir noch die Koordinaten der \(y\)-Werte.

\( \begin{array}{ r c l l } f\left(\frac{20}{a}\right) & = & 5 \cdot \frac{20}{a} e^{-0{,}05 a \cdot \frac{20}{a}} + 1 \\[6pt] &= & \frac{100}{a} e^{- 1} + 1 \\ \end{array} \)


Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:

\( \begin{array}{ r c r c l } \textrm{I} & & x & = & \frac{20}{a} \\[6pt] \textrm{II} & & y & = & \frac{100}{a} e^{- 1} + 1 \\ \end{array} \)


Ortskurve aufstellen
  1. In Gleichung \(\textrm{I}\) Variable \(x\) nach Variable \(a\) auflösen :

    \( \begin{array}{ r c r c l l } x & = & \frac{20}{a} & | \; \cdot a \\[6pt] ax & = & 20 & | : x \\[6pt] a & = & \frac{20}{x} \\ \end{array} \)

  2. \(a\) in Gleichung \(\textrm{II}\) einsetzen :

    \( \begin{array}{ r c l c l l } y & = & \frac{100}{\frac{20}{x}} \cdot e^{- 1} + 1 \\[6pt] & = & 5x \cdot e^{- 1} + 1 \\[6pt] & = & \frac{5}{e}x + 1 \\ \end{array} \)


Es ergibt sich als Ortskurve der Hochpunkte eine Gerade von der Form

\( y \; = \; mx + b \)


mit

\( h(x) \; = \; \frac{5}{e}x + 1 \)

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Aufgabe 3 - Länge des Weges

Um die Position des Hochpunktes zu ermitteln, der genau nördlich vom Leuchtturm liegt,

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setzen wir die \(x\)-Koordinate des Leuchtturms in die Ortsgerade \(h\) ein.

\( h(0{,}5) \; = \; \frac{5}{e} \cdot 0{,}5 + 1 \; = \; 1{,}92 \)


Mit dem Wert \(y=1{,}92\) können wir nun die Länge des Weges bestimmen.

\( 1{,}92 \; - \; 1{,}5 \; = \; 0{,}42 \)


Der Weg ist \(42 \; m\) lang.









Lösung : Landfläche

Aufgabe 1 - Landfläche zu Beginn des Jahres 2150

Für das Jahr 2150 gilt \(a=150\).

\( \displaystyle{\int}_0^8 f_{150}(x) dx \; = \; \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05 \cdot 150 \cdot x} + 1\right) dx \; = \; \frac{364}{45}\; = \; 8\frac{4}{45} \)

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Die Funktion \(f_a\) lässt sich auch mit der Funktionsvorschrift

\( f_a(x) \; = \; \frac{5x}{e^{0{,}05a \cdot x}} + 1 \)


ausdrücken.

Es ist also leicht zu erkennen, dass je größer \(a\) wird, desto kleiner werden die Funktionswerte \(f_a(x)\). Das bedeutet auch, dass die Fläche unter dem Graphen mit zunehmenden \(a\) immer kleiner wird.

Da nun alle Funktionen \(f_a\) einen Hochpunkt besitzen, kann die Funktion \(f_a\) nie eine waagerechte Linie werden und die Fläche unter dem Graphen nie zu dem eingezeichneten braunen Rechteck werden, dass die Flächengröße

\( A \, = \; 800 \, m \cdot 100 \, m \; = \; 80000 \, m^2 \; = \; 8 \, ha \)


besitzt.

Rechnerisch können wir dies noch belegen, obwohl die obige Argumentation schon ausreichend ist, indem wir \(a\) gegen Unendlich laufen lassen.

\( \displaystyle{\int}_0^8 \lim\limits_{a \rightarrow \infty} f_a(x) dx \; = \; \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \rightarrow \infty}\left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \)


Analog zu Aufgabe 4 (Stammfunktion F) gilt mit der partiellen Integration

\( \begin{array}{ l } \displaystyle{\int}_a^b uv' \; = \; \Big[u\cdot v\Big]_a^b - \displaystyle{\int}_a^b u'v \\[8pt] \begin{array}{ l l l } & u \; = \; 5x & \quad u' \; = \; 5 \\[8pt] & v \; = \; - \frac{20}{a} e^{-0{,}05ax} & \quad v' \; = \; e^{-0{,}05ax} \\[8pt] \end{array} \\[20pt] \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \rightarrow \infty} \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \\[8pt] = \; \Big[\lim \limits_{a \rightarrow \infty} 5x \cdot \left(- \frac{20}{a} e^{-0{,}05ax}\right)\Big]_0^8 \; - \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \rightarrow \infty} 5 \left(- \frac{20}{a} \cdot e^{-0{,}05ax}\right) dx + \Big[ x \Big]_0^8 \\[8pt] = \; \Big[\lim \limits_{a \rightarrow \infty} \frac{5x \cdot(-20)}{a \cdot e^{0{,}05ax}}\Big]_0^8\; - \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \rightarrow \infty} \frac{5 \cdot (-20)}{a \cdot e^{0{,}05ax}} dx + \Big[x\Big]_0^8 \\[8pt] = \; \Big[\lim \limits_{a \rightarrow \infty} \frac{-100x}{a \cdot e^{0{,}05ax}}\Big]_0^8\; - \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \rightarrow \infty} \frac{-100}{a \cdot e^{0{,}05ax}} dx + \Big[ x \Big]_0^8 \\ \end{array} \)



Es gilt für alle \(z\), dass

\( \lim \limits_{z \to \infty}\frac{1}{z} \; = \; 0 \)



ist. Damit wird der Bruch im Integral und in der Stammfunktion zu Null. Es bleibt nur

\( \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \to \infty} \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \; = \; \Big[x\Big]_0^8 \; = \; 8 - 0 \; = \; 8 \)



Würde \(a\) unendlich groß werden, also die Anzahl der vergangenen Jahre unendlich groß werden, so würde die Fläche gegen 8 Hektar laufen. Da unendlich viele Jahre aber außerhalb unserer Vorstellung liegen, können wir davon ausgehen, dass die Fläche stets größer als 8 Hektar bleibt.








Aufgabe 2 - Gleichung

\( \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \)


drückt die Landfläche zwischen der Küstenlinie und der Straße im Intervall \([0 ; 8]\) nach a Jahren seit dem Jahre \(2000\) aus.

\( \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{- x} + 1\right) dx \; = \; \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05 \cdot 20 \cdot x} + 1\right) dx \)


drückt die Landfläche zwischen der Küstenlinie und der Straße im Intervall \([0 ; 8]\) nach \(20\) Jahren seit dem Jahre \(2000\) , also die Landfläche zu Beginn von \(2020\) , aus.

In der Gleichung

\( \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \; = \; 0{,}8 \; \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{- x} + 1\right) dx \)


beschreibt \(a\) die Anzahl an Jahren, die seit Beginn \(2000\) vergangen sind, zu der nur noch \(80\%\) der Landfläche zwischen der Küstenlinie und der Straße im Intervall \([0 ; 8]\) von dem Jahr \(2020\) vorhanden sind.

Wie viel Jahre sind das nun?

Das wird hier nicht ausdrücklich erfragt, dennoch möchte ich das hier für Interessierte (mich eingeschlossen) ergründen. Nichtinteressierte können die Aufgabe hier als abgeschlossen ansehen.

Bei dem Ausdruck

\( \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \)

\(2020\) muss die Variable \(x\) entfernt werden, damit \(a\) berechnet werden kann. Dies können wir erreichen, indem wir die Stammfunktion bilden und die Grenzen dort einsetzen.

In Anlehnung an den ersten beiden Zeilen der Rechnung der partiellen Integration (Landfläche zu Beginn des Jahres 2150) gilt

\( \begin{array}{ l } \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \\[8pt] \; = \; \Big[5x \cdot \left(- \frac{20}{a} e^{-0{,}05ax}\right)\Big]_0^8 \; - \displaystyle{\int}_0^8 5 \left(- \frac{20}{a} \cdot e^{-0{,}05ax}\right) dx + \Big[x\Big]_0^8 \\[8pt] \; = \; \Big[-\frac{100 \cdot x}{a} e^{-0{,}05ax}\Big]_0^8 \; - \Big[\left(5 \cdot \left(-\frac{20}{a}\right) \cdot \left(-\frac{20}{a}\right) \cdot e^{-0{,}05ax}\right)\Big]_0^8 + \Big[x\Big]_0^8 \\[8pt] \; = \; \Big[-\frac{100 \cdot x}{a} e^{-0{,}05ax}\Big]_0^8 \; - \Big[\left(\frac{2000}{a^2}\cdot e^{-0{,}05ax}\right)\Big]_0^8 + \Big[x\Big]_0^8 \\[8pt] \; = \; \Big[-\frac{100 \cdot x}{a} e^{-0{,}05ax}-\frac{2000}{a^2}\cdot e^{-0{,}05ax}\Big]_0^8 + 8 - 0 \\[8pt] \; = \; \Big[\left(-\frac{100 \cdot x}{a}-\frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^{-0{,}05ax}\Big]_0^8 + 8 \\[8pt] \; = \; \left(-\frac{100 \cdot 8}{a} - \frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^{-0{,}05 \cdot 8 \cdot a}- \left( - \frac{100 \cdot 0}{a} - \frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^{-0{,}05 \cdot 0 \cdot a} + 8 \\[8pt] \; = \; \left( - \frac{800}{a} - \frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^{-0{,}4 a} - \left( - \frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^0 + 8 \\[8pt] \; = \; \left( - \frac{800}{a} - \frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^{-0{,}4 a} + \frac{2000}{a^2} + 8 \\ \end{array} \)


Es gilt nun

\( \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{- x} + 1\right) dx \; = \; 12{,}98490418 \)


Wir berechnen nun in der Gleichung das \(a\) mit dem SOLVE-Befehl , wobei wir für \(a\) die Variable \(x\) einsetzen. Wir geben

\( \left( - \frac{800}{x} - \frac{2000}{x^2}\right) \cdot e^{-0{,}4 x} + \frac{2000}{x^2} + 8 \; \color{#CC0000}{=} \; 0{,}8 \cdot 12{,}98490418 \)


ein und drücken

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Wir bestätigen mit

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Wir erhalten den Wert \(a=28{,}94\). Nach mehrmaligen Berechnungen wichen die Werte etwas voneinander ab. Auf 2 Kommastellen genau stimmten sie aber überein. Es ist zu bedenken, dass der SOLVE-Befehl stets einen Näherungswert angibt.

Das heißt, dass im Jahr \(2029\) nur noch \(80\%\) der Landfläche des Jahres \(2020\) vorhanden sind.








Aufgabe 3 - reelle Zahlen = Null


\( \begin{array}{ r c l l } f_a(x) & < & f(x) \\[6pt] 5x \cdot e^{-0{,}05ax} + 1 & < & 5x \cdot e^{- x} + 1 & | \; - 1 \\[6pt] 5x \cdot e^{-0{,}05ax} & < & 5x \cdot e^{- x} \\ \end{array} \)


Da \(x \not= 0\) ist, ist die Division mit \(x\) erlaubt. Ferner ist \(x\) stets positiv. Das heißt, dass der Vergleichsoperator sich bei einer Division mit \(x\) nicht ändert.

\( \begin{array}{ r c l l } 5x \cdot e^{-0{,}05ax} & < & 5x \cdot e^{- x} & | \; : (5x) \\[6pt] e^{-0{,}05ax} & < & e^{- x} & | \; ln \\[6pt] -0{,}05ax & < & - x \\ \end{array} \)


Bei der Division mit einer negativen Zahl dreht sich der Vergleichsoperator um.

\( \begin{array}{ r c l l } -0{,}05ax & < & - x & | \; : (-0{,}05x) \\[6pt] a & > & 20 \\ \end{array} \)