Analysis 2

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Plutonium 241

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in \(\mathbb{R}\) definierten ganzrationalen Funktion \(f\) vierten Grades. Die Tangente im Wendepunkt \(W(4|8)\) des Graphen hat die Steigung \(-4\) .

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Funktion f

  1. Zeichnen Sie die beschriebene Tangente auf dem Arbeitsblatt


    ein. Bestimmen Sie eine zugehörige Geradengleichung mit Hilfe der gegebenen Werte.

    (3 P)


  1. Die erste Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) besitzt zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese beiden Nullstellen an.

    Der Graph von \(f'\) besitzt einen Tiefpunkt. Geben Sie die Koordinaten dieses Tiefpunkts an, und begründen Sie Ihre Angabe.

    (5 P)


  1. Die Funktion \(f\) hat eine Gleichung der Form

    \(f(x) \; = \; ax^4 \, + \, bx^3 \, + \, cx^2 \, + \, 16x\)

    Bestimmen Sie die Werte \(a\), \(b\) und \(c\).

    \( \big[\textrm{Zur Kontrolle: } \, f(x) \; = \; - \frac{1}{32}x^4 \, + \, \frac{3}{4}x^3 \, - \, 6x^2 \, + \, 16x \big] \)

    (6 P)


  1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von \(f\) an der Stelle \(x=8\) einen Sattelpunkt, d. h. einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente, hat.

    (4 P)





Funktion p

Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfällt exponentiell, d. h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab. Der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium-241 wird im Folgenden durch die Funktion \(p\) mit

\(p(x) \; = \; 200 \cdot e^{-0{,}048x} \quad \textrm{und} \quad x \geq 0\)

beschrieben. Dabei ist \(x\) die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und \(p(x)\) die Masse des verbliebenen Plutonium-241 in Milligramm.

  1. Geben Sie die Bedeutung des Faktors \(200\) im Sachzusammenhang an. Berechnen Sie den prozentualen Anteil, um den die Masse des Plutonium-241 in jedem Jahr abnimmt.

    (3 P)


  1. Bestimmen Sie das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.

    (4 P)





Funktionenschar h

Beim Zerfall eines radioaktiver Stoffes kann ein weiterer radioaktiver Stoff entstehen, der ebenfalls exponentiell zerfällt. Für ein geeignetes \(k>0\) modelliert die Funktion \(h_k\) mit

\( h_k(x) \, = \, 10 \cdot \left(1 - e^{-kx} \right) \cdot e^{-x} \quad \textrm{und} \quad x \geq 0 \)

die zur Zeit \(x\) vorhandene Masse des neu entstandenen Stoffs. Die Abbildung zeigt den Graphen von \(h_1\).

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  1. Zeigen Sie, dass \(h_k\) nur die Nullstelle \(x=0\) hat.

    (2 P)


  1. Der Graph der Funktion \(h_k\) hat genau einen Hochpunkt. Für die Ableitungsfunktion \(h'_k\) gilt

    \( h'_k(x) \, = \, 10 \cdot \left((k + 1) \cdot e^{-kx} - 1 \right) \cdot e^{-x} \)

    Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate des Hochpunktes in Abhängigkeit von \(k\).

    (3 P)





Funktion a

Beim Zerfall von Plutonium-241 entsteht ein weiterer radioaktiver Stoff Americium-241. Die Funktion \(a\) mit

\( a(x) \, = \, 207 \cdot \left(1 - e^{-0{,}0464x} \right) \cdot e^{-0{,}0016x} \quad \textrm{und} \quad x \geq 0 \)

gibt für jedes Jahr \(x\) die Masse des vorhandenen Americium-241 in Milligramm an.

  1. Der Graph von \(a\) kann für einen Wert von \(k\) aus dem Graphen der Funktion \(h_k\) erzeugt werden, indem man diesen in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung streckt. Geben Sie die beiden Streckungsfaktoren an und bestimmen Sie den passenden Wert von \(k\)

    (3 P)


  1. Im Funktionsterm von \(a\) beschreibt der Faktor \(1 - e^{-0{,}0464x}\) die Zunahme der Masse des vorhandenen Americium-241 und der Faktor \(e^{-0{,}0016x}\) den Zerfall des vorhandenen Americium-241. Begründen Sie, dass es einen Zeitpunkt gibt, zu dem beide Faktoren den gleichen Wert annehmen, ohne diesen Zeitpunkt zu berechnen.

    (3 P)





Stammfunktion H

Für jeden Wert von \(k\) gibt es zu der Funktion \(h_k\) eine Stammfunktion \(H_k\) mit

\( H_k(x) \, = \, - 10 \cdot e^{-x} + \frac{10}{k + 1} \cdot e^{-(k + 1)x} \)

Zeigen Sie, dass

\( \displaystyle{\int}_0^{\infty} h_k(x) dx < 10 \quad \textrm{für alle } \; k > 0 \)

gilt.

(4 P)




Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen: Plutonium 241

Lösung : Funktion f

Aufgabe 1 - Tangente

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Die allgemeine Gleichung der Tangente lautet

\( t(x) \; = \; mx + b \)


Wir setzen den Wendepunkt \(W( 4|8 )\) und die Steigung \(m=-4\) ein

\( \begin{array}{ r c l l } 8 & = & -4 \cdot 4 + b & \\[6pt] 8 & = & -16 + b & | +16 \\[6pt] 24 & = & b \\ \end{array} \)


und erhalten die Tangentengleichung mit

\( t(x) \; = \; -4x + 24 \)








Aufgabe 2 - graphisches Ableiten

Dort wo die Steigung des Graphen von \(f\) Null ist, also bei \(x=2\) und bei \(x=8\),

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ist die Ableitungsfunktion \(f'(x)=0\). Das heißt, dass dort die Ableitungsfunktion Nullstellen besitzt.

Ebenso ist dort, wo der Wendepunkt liegt, also bei \(x=4\), eine minimale Steigung (oder ein größtes Gefälle) von \(f'(x)=-4\). Beim Graphen der Ableitungsfunktion muss dort ein Tiefpunkt liegen mit \(T( 4|-4 )\).




Aufgabe 3 - Funktion aufstellen

Wir benötigen 2 Ableitungen:

\( \begin{array}{ r c l } f(x) & = & ax^4 \, + \, bx^3 \, + \, cx^2 \, + \, 16x \\[6pt] f'(x) & = & 4ax^3 \, + \, 3bx^2 \, + \, 2cx \, + \, 16 \\[6pt] f''(x) & = & 12ax^2 \, + \, 6bx \, + \, 2c \\ \end{array} \)


\( \begin{array}{ l l c r } & W( 4|8 ) & \Rightarrow & f(4)=8 \\[6pt] & & \Rightarrow & f''(4)=0 \\[6pt] & H( 2| y ) & \Rightarrow & f'(2)=0 \\ \end{array} \)


Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

\( \begin{array}{ r r c l } \textrm{I} & 8 & = & a \cdot 4^4 + b \cdot 4^3 + c \cdot 4^2 + 16 \cdot 4 \\[6pt] \textrm{II} & 0 & = & 12a \cdot 4^2 + 6b \cdot 4 + 2c \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 4a \cdot 2^3 \, + \, 3b \cdot 2^2 \, + \, 2c \cdot 2 \, + \, 16 \\ \end{array} \)


\( \begin{array}{ r r c l } \textrm{I} & 8 & = & 256a \, + 64b \,+ 16c \, + \, 64 \\[6pt] \textrm{II} & 0 & = & 192a \, + \, 24b \, + \, 2c \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 32a \, + \, 12b \, + \, 4c \, + \, 16 \\ \end{array} \)


Um das Gleichungssystem mit dem Taschenrechner zu berechnen, drehen wir das Gleichungssystem einmal um

\( \begin{array}{ *{11}{r} } \textrm{I} & 256a & + & 64b & + & 16c & + & 64 & = & 8 & | - 64 \\[6pt] \textrm{II} & 192a & + & 24b & + & 2c & & & = & 0 \\[6pt] \textrm{III} & 32a & + & 12b & + & 4c & + & 16 & = & 0 & | - 16 \\ \end{array} \)


\( \begin{array}{ *{8}{r} } \textrm{I} & 256a & + & 64b & + & 16c & = & -56 \\[6pt] \textrm{II} & 192a & + & 24b & + & 2c & = & 0 \\[6pt] \textrm{III} & 32a & + & 12b & + & 4c & = & -16 \\ \end{array} \)


Wir betätigen beim Casio fx-991 DE X die Taste \(MENU\) . Wir gehen mit den Pfeiltasten nach rechts bis

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erscheint und bestätigen mit \(=\) . Es erscheint

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Wir wählen Gleichungssystem indem wir die \(1\) drücken und nehmen ein Gleichungssystem mit

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3 Unbekannten und drücken \(3\)

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Nun \(2\) \(5\) \(6\) eingeben und mit \(=\) bestätigen

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So bis zum Ende fortfahren. Falls eine Stelle im Gleichungssystem nicht belegt ist, \(0\) drücken, auch wenn eine Null schon vorbelegt ist, und mit \(=\) bestätigen.

Nach der letzten Eingabe mit \(=\) erhalten wir diese Anzeige.

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Wir bestätigen erneut mit \(=\) .

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Taste \(=\) drücken

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Taste \(=\) drücken

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Wir erhalten also die Werte

\( \begin{array}{ r c r } a & = & -\frac{1}{32} \\[6pt] b & = & \frac{3}{4} \\[6pt] c & = & -6 \\ \end{array} \)


und damit

\( f(x) \; = \; - \frac{1}{32}x^4 \, + \, \frac{3}{4}x^3 \, - \, 6x^2 \, + \, 16x \)




Aufgabe 4 - Sattelpunkt

Für Sattelpunkte gilt

\( f'(x) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad f''(x) \; = \; 0 \)


Wir benötigen die beiden Ableitungen

\( \begin{array}{ r c l } f'(x) & = & - \frac{1}{8}x^3 \, + \, \frac{9}{4}x^2 \, - \, 12x \, + \, 16 \\[6pt] f''(x) & = & - \frac{3}{8}x^2 \, + \, \frac{9}{2}x \, - \, 12 \\ \end{array} \)


Setzen wir nun \(x=8\) in Funktion \(f\) und den Ableitungen ein, so erhalten wir

\( \left. \begin{array}{ r c l c l } f(8) & = & - \frac{1}{32} \cdot 8^4 \, + \, \frac{3}{4} \cdot 8^3 \, - \, 6 \cdot 8^2 \, + \, 16 \cdot 8 & = & 0 \\[6pt] f'(8) & = & - \frac{1}{8} \cdot 8^3 \, + \, \frac{9}{4} \cdot 8^2 \, - \, 12 \cdot 8 \, + \, 16 & = & 0 \\[6pt] f''(8) & = & - \frac{3}{8} \cdot 8^2 \, + \, \frac{9}{2} \cdot 8 \, - \, 12 & = & 0 \\ \end{array} \right\} \; \Rightarrow \; \, \textrm{Sattelpunkt} \; S(8 | 0) \)









Lösung : Funktion p

Aufgabe 1 - prozentualer Anteil

Bei der Funktion p mit der Funktionsgleichung

\( p(x) \; = \; 200 \cdot e^{-0{,}048x} \)


handelt es sich um die Funktion \(e^x\), die in \(y\)-Richtung gestreckt, in \(x\)-Richtung gestaucht und zugleich um die \(y\)-Achse gespiegelt ist.

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Der Faktor \(200\) bewirkt hier eine Streckung in \(y\)-Richtung und gibt zugleich den \(y\)-Wert für \(x=0\) an.

Das heißt im Sachzusammenhang, dass am 26. April 1986, also zu Beginn der Beobachtung, \(200\) Milligramm Plutonium-241 vorhanden war.


Die Funktion \(p\) lässt sich auch als Exponentialfunktion

\( p(x) \; = \; 200 \cdot q^x \)


mit dem Wachstums- und Zerfallsfaktor \(q\) beschreiben.

Mit dem 3. Potenzgesetz

\( a^{m \cdot n} \; = \; \left(a^m\right)^n \)


können wir nun \(q\) bestimmen.

\( q^x \; = \; \left(e^{-0{,}048}\right)^x \qquad \Longrightarrow \quad q \; = \; e^{0{,}048} \; \approx \; 0{,}9531 \)


Mit

\( q \; = \; 1 \, + \, \frac{p}{100} \)


berechnen wir nun die Zerfallsrate \(p\) .

\( \begin{array}{ r c l l } 1 \, + \, \frac{p}{100} & = & 0{,}9531 & | - 1 \\[6pt] p & = & - 0{,}0469 & | \cdot 100 \\[6pt] p & = & - 4{,}69 \\ \end{array} \)


Die Masse des Plutoniums nimmt jedes Jahr um \(4{,}69\%\) ab.




Aufgabe 2 - weniger als 1 Prozent


\( \begin{array}{ r c l l } p(x) & < & 1 & \\ 200 \cdot e^{-0{,}048x} & < & 1 & | : 200 \\[6pt] e^{-0{,}048x} & < & 0{,}005 & | \; ln \\[6pt] -0{,}048x & < & ln (0{,}005) & | : (-0{,}048) \quad \textrm{Vorzeichenwechsel !} \\[6pt] x & > & 110{,}38 \\ \end{array} \)


Dabei sind

\( \begin{array}{ r c l l } 110{,}38 \; \textrm{Jahre} & = & 110 \; \textrm{Jahre und } 0{,}38 \cdot 12 \; \textrm{Monate} \\[6pt] & = & 110 \; \textrm{Jahre und } 4{,}56 \; \textrm{Monate} \\[6pt] & = & 110 \; \textrm{Jahre und } 4 \; \textrm{Monate und } 0{,}56 \cdot 30 \; \textrm{Tage} \\[6pt] & = & 110 \; \textrm{Jahre und } 4 \; \textrm{Monate und } 16{,}8 \; \textrm{Tage} \\ \end{array} \)


Im Laufe des \(110. \; \textrm{Jahres}\) nach dem Reaktorunfall, also im \(\textrm{September} \; 2096\), ist weniger als \(1 \; \textrm{Milligramm}\) vorhanden.









Lösung : Funktionenschar h

Aufgabe 1 - nur eine Nullstelle

Es gilt

\( \begin{array}{ r c l l } h_k(x) & = & 0 & \\[6pt] 0 & = & 10 \cdot \left(1 - e^{-kx} \right) \cdot e^{-x} & \quad \textrm{mit} \quad 10 \not= 0 \quad \textrm{und} \quad e^{-x} \not= 0 \\[6pt] 0 & = & 1 - e^{-kx} & | + e^{-kx} \\[6pt] e^{-kx} & = & 1 & | \; ln \\[6pt] -kx & = & ln(1) & \\[6pt] -kx & = & 0 & | : (-k) \qquad \textrm{mit} \quad k \not= 0 \\[6pt] x & = & 0 & \\ \end{array} \)








Aufgabe 2 - Hochpunkt

Notwendige Bedingung: \(h_k'(x) = 0\)

\(h'_k(x) \, = \, 10 \cdot \left((k + 1) \cdot e^{-kx} - 1 \right) \cdot e^{-x}\)

\( \begin{array}{ r c l l } 0 & = & 10 \cdot \left( (k + 1) \cdot e^{-kx} - 1 \right) \cdot e^{-x} & \quad \textrm{mit} \quad 10 \not= 0 \quad \textrm{und} \quad e^{-x} \not= 0 \\[6pt] 0 & = & (k + 1) \cdot e^{-kx} - 1 & | + 1 \\[6pt] 1 & = & (k + 1) \cdot e^{-kx} & | : (k + 1) \quad \textrm{mit} \quad k > 0 \\[6pt] \frac{1}{k + 1} & = & e^{-kx} & | \; ln \\[6pt] ln \left( \frac{1}{k + 1} \right) & = & - kx & | \; (-k)\\[6pt] -\frac{ln \left( \frac{1}{k + 1} \right)}{k} & = & x & \\ \end{array} \)


Da es genau einen Hochpunkt gibt, muss \(- \frac{ln \left( \frac{1}{k + 1} \right)}{k}\) die gesuchte \(x\)-Koordinate sein.









Lösung : Funktion a

Aufgabe 1 - Streckungsfaktoren

Wird die Funktion \(h_k\) mit

\( h_k(x) \; = \; 10 \cdot \left(1 - e^{-kx} \right) \cdot e^{-x} \)


in \(y\)-Richtung gestreckt mit dem Faktor \(c\) und in \(x\)-Richtung gestreckt mit dem Faktor \(b\), so gilt

\( a(x) \; = \; 10c \cdot \left(1 - e^{-bkx} \right) \cdot e^{-bx} \)


Damit gilt

\( \begin{array}{ r c l l } 10c & = & 207 & | : 10 \\[6pt] c & = & 20{,}7 \\[6pt] b & = & 0{,}0016 \\ \end{array} \)


Mit \(b=0{,}0016\) eingesetzt gilt für \(k\)

\( \begin{array}{ r c l l } -0{,}0016k & = & -0{,}0464 & | : (-0{,}0016) \\[6pt] k & = & 29 \\ \end{array} \)








Aufgabe 2 - Graphen

 

Aufgabe 2 - Zeitpunkt mit gleichem Wert

Der Faktor \(e^{-0{,}0016x}\) beschreibt einen fallenden Graphen beginnend ab dem Wert \(1\), hier nicht maßstäblich dargestellt.

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Der Faktor \(1 - e^{-0{,}0464x}\) beschreibt einen dazu um die \(x\)-Achse gespiegelten und um \(1\) nach oben verschobenen Graphen.

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Faktoren in der Art \(1 - e^{-0{,}0464x}\) sind ein wesentlicher Bestandteil vom begrenztem Wachstum und werden verwendet, um das Höhenwachstum von Pflanzen zu beschreiben.

Da sich nun die Graphen im Bereich \(0<y \leq 1\) bewegen mit einem monoton steigenden und einem monoton fallenden Graphen, muss es zwangsläufig einen Zeitpunkt geben, zu der die Faktoren den gleichen Wert annehmen.

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Lösung : Stammfunktion H


\( \begin{array}{ r c l l } \displaystyle{\int}_0^{\infty} h_k(x) dx & = & \bigg[-10 \cdot e^{-x} + \frac{10}{k + 1} \cdot e^{-(k + 1)x} \bigg]_0^{\lim \limits_{x \rightarrow \infty}} \\[10pt] & = & \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(- 10 \cdot e^{-x} + \frac{10}{k + 1} \cdot e^{-(k + 1)x}\right)- \left(- 10 \cdot e^{-0} + \frac{10}{k + 1} \cdot e^{-(k + 1)\cdot 0}\right) \\[10pt] & = & \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(- 10 \cdot e^{-x}\right) + \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{10}{k + 1} \cdot e^{-(k + 1)x}\right) -\left(- 10 \cdot 1 + \frac{10}{k + 1} \cdot e^{0}\right) \\[10pt] & = & \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(- 10 \cdot \frac{1}{e^x}\right) + \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{10}{k + 1} \cdot \frac{1}{e^{(k + 1)x}}\right) - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1} \cdot 1\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^{(k + 1)x}}\right)- \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^{kx + x}}\right) -\left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^{kx} \cdot e^x}\right)- \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{\left(e^x\right)^k \cdot e^x}\right)- \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{\left(e^x\right)^k}\right) \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^x}\right) - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\left(\frac{1}{e^x}\right)^k \right) \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^x}\right) - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \left( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^x}\right) \right)^k \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^x}\right) - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\ \end{array} \)


Mit

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^x}\right) \; = \; 0 \)


gilt nun

\( \begin{array}{ r c l l } \displaystyle{\int}_0^{\infty} h_k(x) dx & = & - 10 \cdot 0 + \frac{10}{k + 1} \cdot 0 \cdot 0 - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \quad \textrm{f}\ddot{u}\textrm{r alle } \; k > 0 \\ & = & - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\ & = & 10 - \frac{10}{k + 1} \, < \, 10 \quad \textrm{mit} \quad \frac{10}{k + 1} \, > \, 0\\ \end{array} \)