Abituraufgaben 2020 – Analysis 2

 

Inhaltsverzeichnis

 

Aufgaben: Plutonium 241

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in \mathbb{R} definierten ganzrationalen Funktion f vierten Grades. Die Tangente im Wendepunkt W(4|8) des Graphen hat die Steigung -4.
 

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Funktion f

  1. Zeichnen Sie die beschriebene Tangente auf dem Arbeitsblatt ein.
    Bestimmen Sie eine zugehörige Geradengleichung mit Hilfe der gegebenen Werte.

    (3 P)

  2.  

  3. Die erste Ableitungsfunktion f\/' von f besitzt zwei ganzzahlige Nullstellen.
    Geben Sie diese beiden Nullstellen an.
     
    Der Graph von f\/' besitzt einen Tiefpunkt.
    Geben Sie die Koordinaten dieses Tiefpunkts an, und begründen Sie Ihre Angabe.

    (5 P)

  4.  

  5. Die Funktion f hat eine Gleichung der Form
     

        \[ f(x) \; = \; ax^4 \, + \, bx^3 \, + \, cx^2 \, + \, 16x \]

    Bestimmen Sie die Werte a, b und c.
     
    \big[\textrm{Zur Kontrolle: } \, f(x) \; = \; - \frac{1}{32}x^4 \, + \, \frac{3}{4}x^3 \, - \, 6x^2 \, + \, 16x  \big]

    (6 P)

  6.  

  7. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f an der Stelle x=8 einen Sattelpunkt, d. h. einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente, hat.

    (4 P)

 

LÖSUNG

 

Funktion p

Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfällt exponentiell, d. h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab. Der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium-241 wird im Folgenden durch die Funktion p mit

    \[ p(x) \; = \; 200 \cdot e^{-0{,}048x} \quad \textrm{und} \quad x \geq 0 \]

beschrieben. Dabei ist x die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und p(x) die Masse des verbliebenen Plutonium-241 in Milligramm.

  1. Geben Sie die Bedeutung des Faktors 200 im Sachzusammenhang an.
    Berechnen Sie den prozentualen Anteil, um den die Masse des Plutonium-241 in jedem Jahr abnimmt.

    (3 P)

  2.  

  3. Bestimmen Sie das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.

    (4 P)

 

LÖSUNG

 

Funktionenschar h

Beim Zerfall eines radioaktiver Stoffes kann ein weiterer radioaktiver Stoff entstehen, der ebenfalls exponentiell zerfällt.
Für ein geeignetes k>0 modelliert die Funktion h_k mit

    \[ h_k(x) \, = \, 10 \cdot \left(1 - e^{-kx} \right) \cdot e^{-x} \quad \textrm{und} \quad x \geq 0  \]

die zur Zeit x vorhandene Masse des neu entstandenen Stoffs. Die Abbildung zeigt den Graphen von h_1.

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  1. Zeigen Sie, dass h_k nur die Nullstelle x=0 hat.

    (2 P)

  2.  

  3. Der Graph der Funktion h_k hat genau einen Hochpunkt. Für die Ableitungsfunktion h'_k gilt
     

        \[ h'_k(x) \, = \, 10 \cdot \left((k + 1) \cdot e^{-kx} - 1 \right) \cdot e^{-x} \]

    Bestimmen Sie die x-Koordinate des Hochpunktes in Abhängigkeit von k.

    (3 P)

 

LÖSUNG

 

 

Funktion a

Beim Zerfall von Plutonium-241 entsteht ein weiterer radioaktiver Stoff Americium-241. Die Funktion a mit

    \[ a(x) \, = \, 207 \cdot \left(1 - e^{-0{,}0464x} \right) \cdot e^{-0{,}0016x} \quad \textrm{und} \quad x \geq 0  \]

gibt für jedes Jahr x die Masse des vorhandenen Americium-241 in Milligramm an.

  1. Der Graph von a kann für einen Wert von k aus dem Graphen der Funktion h_k erzeugt werden, indem man diesen in x-Richtung und in y-Richtung streckt.
    Geben Sie die beiden Streckungsfaktoren an und bestimmen Sie den passenden Wert von k

    (3 P)

  2.  

  3. Im Funktionsterm von a beschreibt der Faktor 1 - e^{-0{,}0464x} die Zunahme der Masse des vorhandenen Americium-241 und der Faktor e^{-0{,}0016x} den Zerfall des vorhandenen Americium-241.
    Begründen Sie, dass es einen Zeitpunkt gibt, zu dem beide Faktoren den gleichen Wert annehmen, ohne diesen Zeitpunkt zu berechnen.

    (3 P)

 

LÖSUNG

 

 

Stammfunktion H

Für jeden Wert von k gibt es zu der Funktion h_k eine Stammfunktion H_k mit

    \[ H_k(x) \, = \, - 10 \cdot e^{-x} +  \frac{10}{k + 1} \cdot e^{-(k + 1)x} \]

Zeigen Sie, dass

    \[ \mathlarger{\int}_0^{\infty} h_k(x) dx < 10 \quad \textrm{für alle } \; k > 0  \]

gilt.

(4 P)

 

LÖSUNG

 
 

Aufgaben zum Ausdrucken: Abitur 2020, Analysis, 2. Aufgabe, Schleswig-Holstein als PDF

 

Lösungen: Plutonium 241

Lösung : Funktion f

Aufgabe 1 – Tangente

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Die allgemeine Gleichung der Tangente lautet

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Wir setzen den Wendepunkt W( 4|8 ) und die Steigung m=-4 ein
 

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und erhalten die Tangentengleichung mit

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Aufgabe 2 – Graphisches Ableiten

Dort wo die Steigung des Graphen von f Null ist, also bei x=2 und bei x=8,

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ist die Ableitungsfunktion f\/'(x)=0. Das heißt, dass dort die Ableitungsfunktion Nullstellen besitzt.

Ebenso ist dort, wo der Wendepunkt liegt, also bei x=4, eine minimale Steigung (oder ein größtes Gefälle) von f\/'(x)=-4. Beim Graphen der Ableitungsfunktion muss dort ein Tiefpunkt liegen mit T( 4|-4 ).

 

Aufgabe 3 – Funktion aufstellen

Wir benötigen 2 Ableitungen:

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Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

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Um das Gleichungssystem mit dem Taschenrechner zu berechnen, drehen wir das Gleichungssystem einmal um

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Wir betätigen beim Casio fx-991 DE X die \boxed{MENU}-Taste. Wir gehen mit den Pfeiltasten nach rechts bis ,,A: Gleichung/Funkt“ erscheint und bestätigen mit \boxed{=}. Wir wählen nun ,,1: Gleichungssyst.“ indem wir die \boxed{1}-Taste drücken.

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Taste \boxed{3} drücken

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\boxed{2} \boxed{5} \boxed{6} drücken und mit \boxed{=} bestätigen

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\boxed{6} \boxed{4} drücken und mit \boxed{=} bestätigen

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So bis zum Ende fortfahren. Falls eine Stelle im Gleichungssystem nicht belegt ist, Taste \boxed{0} drücken und mit \boxed{=} bestätigen.

Nach der letzten \boxed{=}-Eingabe erhalten wir diese Anzeige.

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Wir bestätigen erneut mit \boxed{=}.

 

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Taste \boxed{=} drücken

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Taste \boxed{=} drücken

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Wir erhalten also die Werte

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und damit

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Aufgabe 3 – Sattelpunkt

Für Sattelpunkte gilt

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Wir benötigen die beiden Ableitungen

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Setzen wir nun x=8 in Funktion f und den Ableitungen ein, so erhalten wir

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Lösung : Funktion p

Aufgabe 1 – Prozentualer Anteil

Bei der Funktion p mit der Funktionsgleichung

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handelt es sich um die Funktion e^x, die in y-Richtung gestreckt, in x-Richtung gestaucht und zugleich um die y-Achse gespiegelt ist.
 

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Der Faktor 200 bewirkt hier eine Streckung in y-Richtung und gibt zugleich den y-Wert für x=0 an.

Das heißt im Sachzusammenhang, dass am 26. April 1986, also zu Beginn der Beobachtung, 200 Milligramm Plutonium-241 vorhanden war.

 
Die Funktion p lässt sich auch als Exponentialfunktion

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mit dem Wachstums- und Zerfallsfaktor q beschreiben.

 
Mit dem 3. Potenzgesetz

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können wir nun q bestimmen.

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Mit

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berechnen wir nun die Zerfallsrate p.

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Die Masse des Plutoniums nimmt jedes Jahr um 4{,}69\% ab.

 

Aufgabe 2 – Weniger als 1 Prozent

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Dabei sind

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Im Laufe des 110. Jahres nach dem Reaktorunfall, also im September 2096, ist weniger als 1 Milligramm vorhanden.
 

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Lösung : Funktionenschar h

Aufgabe 1 – Nur eine Nullstelle

Es gilt

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Aufgabe 2 – Hochpunkt

Notwendige Bedingung: h_k'(x) = 0

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Da es genau einen Hochpunkt gibt, muss - ln \left( \frac{1}{k + 1} \right) die gesuchte x-Koordinate sein.

 

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Lösung : Funktion a

Aufgabe 1 – Streckungsfaktoren

Wird die Funktion h_k mit

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in y-Richtung gestreckt mit dem Faktor c und in x-Richtung gestreckt mit dem Faktor b, so gilt

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Damit gilt

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Mit b=0{,}0016 eingesetzt gilt für k

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Aufgabe 2 – Zeitpunkt mit gleichem Wert

Der Faktor e^{-0{,}0016x} beschreibt einen fallenden Graphen beginnend ab dem Wert 1, hier nicht maßstäblich dargestellt.
 

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Der Faktor 1 - e^{-0{,}0464x} beschreibt einen dazu um die x-Achse gespiegelten und um 1 nach oben verschobenen Graphen.
 

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Faktoren in der Art 1 - e^{-0{,}0464x} sind ein wesentlicher Bestandteil vom begrenztem Wachstum und werden verwendet, um das Höhenwachstum von Pflanzen zu beschreiben.

Da sich nun die Graphen im Bereich 0<y \leq 1 bewegen mit einem monoton steigenden und einem monoton fallenden Graphen, muss es zwangsläufig einen Zeitpunkt geben, zu der die Faktoren den gleichen Wert annehmen.
 

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Stammfunktion H

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Mit

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gilt nun

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