Abituraufgaben 2020 – Analytische Geometrie

 

Inhaltsverzeichnis

• 1. Aufgaben
     1. Punkt L
     2. Abbildung
     3. Minigolfbahn
     4. Weg eines Minigolfballs
  2. Lösungen
     1. Punkt L
        • Aufgabe 1 – Parallel zur Achse
        • Aufgabe 2 – Ebene E
     2. Abbildung
        • Aufgabe 1 – Stellen auf den Achsen
        • Aufgabe 2 – Rechteck
        • Aufgabe 3 – Gerade h
        • Aufgabe 4 – Spiegelung des Punktes O
     3. Minigolfbahn
        • Aufgabe 1 – Winkel der Bahn zum Untergrund
        • Aufgabe 2 – Lichtquelle A
        • Aufgabe 3 – Liegt Punkt F innerhalb des Vierecks OPQR?
        • Aufgabe 4 – Schatten auf dem Untergrund
     4. Weg eines Minigolfballs
        • Aufgabe 1 – Punkt mit t=0
        • Aufgabe 2 – Punkt der seitlichen Begrenzung
        • Aufgabe 3 – Maximale Höhe

 

Aufgaben: Minigolfbahn

Gegeben sind der Punkt und die Gerade

 

   

 

Punkt L

1. Begründen Sie, das parallel zur -Achse verläuft, aber nicht durch den Punkt .

   (2 P)

2. und liegen in der Ebene .

   Ermitteln Sie eine Gleichung von in Koordinatenform.

   (4 P)

   

 
In der Abbildung ist neben und das Viereck dargestellt, dessen Eckpunkte , , und in liegen. und liegen außerdem auf .
 

 

LÖSUNG

 

 

Abbildung

1. Markieren Sie auf der -Achse die Stelle -12 und auf der -Achse die Stelle 9 auf dem Arbeitsblatt.

   (2 P)

 

2. Begründen Sie, dass ein Rechteck ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks.

   (5 P)

 

3. Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte und verläuft.

   (1 P)

 

4. ist der Punkt der Ebene , der durch Spiegelung des Punktes an der Geraden entsteht. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten des Punktes ermitteln kann.

   (3 P)

 

LÖSUNG

 

 

Minigolfbahn

Das Viereck stellt modellhaft den geneigten Teil einer Minigolfbahn dar, der Punkt das Loch dieser Bahn. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die -Ebene den horizontalen Untergrund, eine Längeneinheit entspricht 10 cm in der Realität.

1. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den der geneigte Teil der Bahn mit dem Untergrund einschließt.

   (3 P)

 

2. Berechnen Sie den Punkt der Ebene , der den kürzesten Abstand zur Beleuchtung aufweist.

   (5 P)

   [ Zur Kontrolle: ]

 

3. Zeigen Sie, dass der Punkt innerhalb des Vierecks liegt.

   (3 P)

 

4. Der geneigte Teil der Bahn wirft durch die Beleuchtung einen viereckigen Schatten auf den horizontalen Untergrund. Ermitteln Sie die Koordinaten des Eckpunktes .

   (3 P)

 

LÖSUNG

 

 

Weg eines Minigolfballs

Im Folgenden wird der in der Abbildung gestrichelt dargestellte Teil des Weges eines Minigolfballs auf der Bahn betrachtet. Der Ball soll im Folgenden als punktförmig angenommen werden. Seine Positionen auf dem dargestellten Teil des Weges können durch die Punkte

   

 
mit geeigneten Werten beschrieben werden.

1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes an und zeichnen Sie den Punkt auf dem Arbeitsblatt ein.

   (2 P)

 

2. Berechnen Sie im Modell die Koordinaten des Punktes, in dem der Weg des Balls auf die seitliche Begrenzung der Minigolfbahn trifft.

   (4 P)

 

3. Ermitteln Sie die maximale Höhe über dem Untergrund, die der Ball erreicht, und geben Sie diese Höhe in Zentimetern an.

   (3 P)

 

LÖSUNG

 
Aufgaben zum Ausdrucken:

Abitur 2020, Analytische Geometrie, Schleswig-Holstein als PDF

 

Lösungen: Minigolfbahn

Lösung : Punkt L

Aufgabe 1 – Parallel zur Achse

Der Richtungsvektor zeigt in Richtung der -Achse. Damit muss die Gerade parallel zu dieser Achse sein.

 
Wir überprüfen, ob die Gerade durch den Punkt verläuft, indem wir eine Punktprobe machen.
 

 
Daraus ergibt sich das Gleichungssystem

 
liegt also nicht auf der Geraden .

 

Aufgabe 2 – Ebene E

 
Der Richtungsvektor der Geraden und der Vektor spannen die Ebene auf. Mit den Vektoren und dem Punkt stellen wir die Normalenform

 
mit dem Vektor

 
auf.

Der Weg über die Normalenform ist nur einer von mehreren Möglichkeiten, um zur Koordinatenform zu kommen. Andere Wege als der hier Gezeigte gehen natürlich auch.

Den Normalenvektor bilden wir mit dem Kreuzprodukt

 
Dabei gehen wir folgendermaßen vor:

Die beiden Richtungsvektoren werden paarweise 2-mal untereinander geschrieben. Die erste und die letzte Zeile werden gestrichen. Dann wird über Kreuz multipliziert und jeweils die abwärts verlaufende Diagonale (Hauptdiagonale) minus die aufwärts verlaufende Diagonale (Nebendiagonale) gerechnet.
 

 
Der Normalenvektor lautet

 
Daraus ergibt sich die Normalenform

 
Um weiter in die Koordinatenform zu kommen, lösen wir das Skalarprodukt auf.

 

Lösung : Abbildung

Aufgabe 1 – Stellen auf den Achsen

 

Aufgabe 2 – Rechteck

Ein Rechteck ist ein rechtwinkliges Parallelogramm. Bei einem Parallelogramm sind 2 gegenüberliegende Seiten parallel zueinander und gleich lang. Das heißt, dass die Verbindungsvektoren der jeweiligen Eckpunkte auch gleich sein müssen.

 
Das Viereck erfüllt die Bedingungen für ein Parallelogramm. Nun sind noch die rechten Winkel zu überprüfen.

 
Damit sind die Vektoren und orthogonal zueinander und es liegt ein rechter Winkel in vor.

 
Bei einem Parallelogramm sind die gegenüber liegenden Winkel gleich groß. Damit ist . Im Viereck ist die Winkelsumme . Die verbleibenden teilen sich gleichmäßig auf die Winkel und auf. Damit gilt . Es liegt also ein Rechteck vor.

 
Im Rechteck wir die Fläche berechnet mit

 

Aufgabe 3 – Gerade h

 

Aufgabe 4 – Spiegelung des Punktes O

1. Der Punkt ist der Spiegelpunkt von und wird dabei um den Punkt gespiegelt, der auf der Geraden liegt. Wir ermitteln diesen Punkt .
1. Zunächst wird eine Ebene , die orthogonal zur Geraden liegt, in der Normalenform
    
   
    
   aufgestellt. Der Normalenvektor wird dabei durch den Richtungsvektor der Geraden gebildet und als Punkt nehmen wir den Punkt .

 

2. Wir ermitteln nun den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene .
2. Der Punkt wird berechnet, indem wir uns von dem Punkt aus um das zweifache des Vektors weiter bewegen.
    
   

 

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Lösung : Minigolfbahn

Aufgabe 1 – Winkel der Bahn zum Untergrund

Der Winkel zwischen der Ebene und dem Untergrund ,

 
hier in Blickrichtung A, also gegen die -Richtung betrachtet, zeigt deutlich,
 

 
dass der Winkel zwischen der Ebene und dem Untergrund der gleiche ist wie der Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen. Daraus folgt die Formel zur Winkelberechnung

 
Die Ebene hat den Normalenvektor

 
und für den Untergrund nehmen wir den Normalenvektor

 
Eingesetzt in die Formel erhalten wir

 
Der Winkel zwischen der Ebene und dem Untergrund beträgt .

 

Aufgabe 2 – Lichtquelle A

 
Der Punkt ist derjenige Punkt, der sich ergibt, wenn der Punkt auf die Ebene gelotet wird. Wir arbeiten zur Bestimmung des Punktes mit dem \textbf{Lotfußpunktverfahren}, dass bereits in in der Aufgabe \textcolor{blue}{Spiegelung des Punktes O} beschrieben wurde. Wir brauchen dazu eine Ebene und eine orthogonal darauf stehende Gerade.

In diesem Fall verwenden wir die gegebene Ebene und eine Gerade , die wir konstruieren müssen.

In der eben genannten Aufgabe lag der Fall anders herum: Dort war die Gerade gegeben und es musste eine Hilfsebene konstruiert werden. In beiden Fällen muss der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene bestimmt werden.

1. Hilfsgerade
   Die Gerade steht lotrecht auf der Ebene und hat deshalb den Normalenvektor
    

   

    
   als Richtungsvektor. Mit dem Punkt ergibt sich die Gerade mit

   

 

2. Schnittpunkt der Gerade und der Ebene bestimmen
   • Gerade in die Ebene einsetzen:

     Von der Geraden

     

      
     werden und in die Ebene mit

     

      
     eingesetzt.

     

    

   • bestimmen durch einsetzen von t in Gerade :
      

     

 

Aufgabe 3 – Liegt Punkt F innerhalb des Vierecks OPQR?

Um rechnerisch zu zeigen, ob der Punkt innerhalb des Vierecks liegt, stellen wie die Ebene in Parameterform auf mit

 
Wir führen nun eine Punktprobe mit durch, um an die Werte von r und s zu kommen.

 
Es sind also und .

 
Um von Punkt nach Punkt zu kommen, bewegen wir uns jeweils nur einen Bruchteil in Richtung der Vektoren und . Es gilt nun:

Ist

 
so liegt innerhalb der Vierecks , was hier der Fall ist.

 

Aufgabe 4 – Schatten auf dem Untergrund

 
ist der Punkt, der entsteht, wenn die Gerade durch die Punkte und den Boden erreicht. Das heißt, dass der Punkt auf der Geraden mit ist.

 
Mit gilt

 
s eingesetzt in die Gerade ergibt den Vektor

 
und damit den Punkt .
 

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Lösung : Weg eines Minigolfballs

Aufgabe 1 – Punkt mit t=0

Beim Punkt ist . Daraus ergibt sich der Punkt .

 

Aufgabe 2 – Punkt der seitlichen Begrenzung

Da sowohl der Punkt als auch Punkt den -Wert haben, gilt auch für den seitlichen Begrenzungspunkt .

 
Daraus ergeben sich die Koordinaten

 
mit dem Punkt .

 

Aufgabe 3 – Maximale Höhe

Die Höhe über dem Untergrund wird beschrieben durch , wobei wir sagen, dass

 
ist. Für das Maximum der Höhe gilt die notwendige Bedingung mit

 
Es folgt

 
Es gilt die hinreichende Bedingung .

 
Die maximale Höhe über dem Untergrund ist

 

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