CAS 1 (Lösung für Classpad)

my image

Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Blauwal

Modell eines Blauwals

Die folgende Abbildung zeigt den Längsschnitt durch das Modell eines Blauwals.Eine Längeneinheit beträgt 1 Meter in der Wirklichkeit.

my image


Die obere Begrenzung inklusive Flosse wird durch den Graphen der Funktion \(f\) mit

\( f(x) \; = \; \frac{1}{25000} x^4 - \frac{3}{2500} x^3 - \frac{1}{200} x^2 + \frac{1}{2} x + 7 \)


im Intervall [0 ; 29] beschrieben.

Die untere Begrenzung wird im Intervall [0 ; 25] durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(g\) vierten Grades modelliert. Der Graph von \(g\) verläuft durch die Punkte \(A( 0 | 7)\), \(B \left( 10 | \frac{19}{4} \right)\) und \(C( 25 | 7)\). Seine Tangente an der Stelle \(x=7{,}5\) ist waagerecht. Im Punkt \(C\) erfolgt ein knickfreier Anschluss an den Graphen von \(f\).

  1. Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\).

    \( \Big[\textrm{Zur Kontrolle: } \; g(x) \; = \; \frac{1}{50000} x^4 - \frac{11}{5000} x^3 + \frac{29}{400} x^2 - \frac{3}{4} x + 7 \Big]\)

    (7 P)


  1. Für jedes \(x\) aus dem Intervall [0 ; 25] wird die Dicke des Längsschnitts durch die Differenz der Funktionswerte von \(f\) und \(g\) an dieser Stelle \(x\) beschrieben.
    Berechnen Sie die maximale Dicke des Längsschnitts.

    (6 P)





Wachstum eines Blauwals

Ein Blauwal ist bei der Geburt \(6 \; m\) lang. Seine Wachstumsrate wird modelliert durch die Funktion \(w\) mit

\( w(x) \; = \; \frac{120 \cdot e^{0{,}9(x-5)}}{\left(e^{0{,}9(x-5)} + 6 \right)^2} \)


Dabei steht \(x\) für die Zeit in Jahren seit der Geburt und \(w(x)\) für den Längenzuwachs in Meter pro Jahr.

  1. Ermitteln Sie die Körperlänge des Blauwals nacht acht Jahren.

    (2 P)


  1. Zeigen Sie, dass ein Blauwal, dessen Wachstumsrate durch die Funktion \(w\) modelliert wird, immer weiter wachsen würde, aber eine Körperlänge von \(29 \; m\) nie erreichen könnte.

    (4 P)


  1. Ein Blauwal ist nach diesem Modell ausgewachsen, wenn er eine Körperlänge von \(27{,}6 \; m\) erreicht hat. Bestimmen Sie das Alter, ab dem der Blauwal ausgewachsen ist.

    (3 P)





Funktionenschar

Die Funktion \(w\) ist in der Schar \(w_k\) mit

\( w_k(x) \; = \; \frac{120 \cdot e^{k \cdot (x-5)}}{\left(e^{k \cdot (x-5)} + 6 \right)^2} \)


mit \(k>0\) enthalten. Die folgendeAbbildung zeigt die Graphen von \(w_1\), \(w_{\frac{1}{2}}\) und \(w_{\frac{1}{3}}\).

my image

  1. Beschreiben Sie anhand der dargestellten Graphen den Einfluss des Parameters \(k\) auf die Koordinaten des Hochpunktes und auf den \(y\)-Achsenabschnitt.

    (3 P)


  1. Zeigen Sie, dass der Hochpunkt \(P\left(5 | \frac{120}{49}\right)\) für alle \(k>0\) auf dem Graphen von \(w_k\) liegt. Weisen Sie nach, das \(P\) für kein \(k>0\) ein Wendepunkt sein kann.

    (5 P)


  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Hochpunkte der Graphen von \(w_k\) auf einer Geraden liegen. Bestimmen Sie einen Wert für \(k\), so dass \(w_k\) an der Stelle \(x=6\) ein lokales Maximum annimmt.

    (6 P)


  1. Jeder Graph der Funktionsschar \(w_k\) ist symmetrisch zu einer Parallelen zur \(y\)-Achse durch den Punkt \(Q\left(5 + \frac{ln(6)}{k} | 0\right)\). Der Punkt \(P\left(5 | \frac{120}{49}\right)\) besitzt somit auf jedem Funktionsgraphen einen Spiegelpunkt \(P_k'\). Die Punkte \(P'\), \(Q_k\) und \(P_k'\) bilden die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Parameter \(k\) so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks genau \(1\) beträgt.

    (4 P)




Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen: Blauwal

Lösung : Modell eines Blauwals

Aufgabe 1 - Funktion aufstellen

Funktion \(g\) ist eine Funktion 4. Grades. Wir definieren die allgemeine Funktion. Für Definitionen verwenden wir den Befehl Define, den wir unter \(Math3\) finden.

my image


Beachte:
Das Mal-Zeichen muss bei der Definition zwischen zwei Variablen mitgeschrieben werden.

my image


Es gelten nun folgende Bedingungen:

\( \begin{array}{ l c c c l } A( 0|7 ) && \Rightarrow && g(0)=7 \\[6pt] B( 10|\frac{19}{4} ) && \Rightarrow && g(10)=\frac{19}{4} \\[6pt] C( 25| 7 ) && \Rightarrow && g(25)=7 \\[6pt] \textrm{gleiche Steigung bei} \; x=25 && \Rightarrow && g'(25)=f'(25) \\[6pt] \textrm{Steigung}=0 \; \textrm{bei} \; x=7{,}5 && \Rightarrow && g'(7{,}5)=0 \\ \end{array} \)


Funktion \(f\) wird ebenfalls definiert.

my image


Wir benötigen nun jeweils die 1. Ableitung von f(x) und von g(x), die auf folgende Art geschrieben werden:

my image


Wir erstellen ein Gleichungssystem mit einem Werkzeug, dass wir auf dem Keyboard unter \(Math1\) finden.

my image

Wir klicken viermal darauf, um 5 Zeilen zu erhalten. Um die Ausgabe in Brüchen zu erhalten, muss die Anzeige von dezimal auf standard umgestellt sein.

my image



Die Funktion \(g\) hat damit den Funktionsterm

\( g(x) \; = \; \frac{1}{50000} x^4 - \frac{11}{5000} x^3 + \frac{29}{400} x^2 - \frac{3}{4} x + 7 \)




Aufgabe 2 - maximale Dicke des Längsschnitts

Zunächst wird Funktion \(g\) neu definiert.

my image


Die Dicke des Längsschnitts wird nun durch eine Funktion \(d\) mit

my image

definiert. Um das Maximum zu ermitteln, gilt die


notwendige Bedingung

Es gilt \(d'(x)=0\) :

Wir lösen die Gleichung mit dem solve-Befehl, der unter \(Math1\) zu finden ist

my image

mit

my image

oder in dezimal

my image


hinreichende Bedingung

Wir überprüfen die \(x\)-Werte mit der 2. Ableitung, wobei \(x=-71{,}2695\) außerhalb des Definitionsbereichs der beiden Funktionen \(f\) und \(g\) liegt. Dieser Wert braucht nicht weiter überprüft werden.

my image

\( \begin{array}{ l c l } d''\left(\frac{25 \cdot \sqrt{41}}{4}-\frac{125}{4}\right) & < & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Maximum} \\[6pt] d''(25) & > & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Minimum} \\ \end{array} \)


Dicke bestimmen

\(\frac{25 \cdot \sqrt{41}}{4}-\frac{125}{4}\) eingesetzt in \(d\) ergibt

my image


Die maximale Dicke beträgt \(5{,}025 \; m\).







 



Lösung : Wachstum eines Blauwals

Zunächst definieren wir Funktion \(w\).

my image



Aufgabe 1 - Körperlänge des Blauwals

Die Funktion der Körperlänge ist eine Stammfunktion von der Funktion der Wachstumsrate \(w\).
Zunächst bilden wir eine Stammfunktion von \(w\) und nennen die Aufleitung \(a\). Es gilt

\( a(x) \; = \; \int w(x) dx \; , \)

wobei das Integralsymbol unter \(Math2\) zu finden ist.


Wir definieren \(a\).

my image

Funktion \(a\) ist nun noch nicht die richtige Stammfunktion, denn es gilt ja noch, dass die Körperlänge des Blauwals bei der Geburt \(6 \; m\) beträgt. Die richtige Stammfunktion \(s\) ist nun

\( s(x) \; = \; a(x) + C \)


Wir berechnen die Konstante \(C\) wie folgt:

my image


Wir definieren nun \(s\)

my image


und berechnen die Körperlänge des Blauwals nach \(8 \; Jahren\).

my image


Der Blauwal ist nach \(8\) Jahren ungefähr \(21{,}8 \; m\) lang.








Aufgabe 2 - permanentes Wachstum

Wir betrachten nun die Graphen der Wachstumsrate \(w\) und der Körperlänge \(s\). Dazu lassen wir uns \(s\) erst einmal anzeigen.

my image


Wir kopieren nun diesen Term und auch den von \(w(x)\)

my image

mit \(Edit\) \(Copy\)

my image

in den Graphikbereich

my image
my image

und fügen sie mit \(Edit\) \(Paste\)

my image

ein.

my image

Wir aktivieren beide Funktionen und setzen das Häkchen.

Um die Graphen anzusehen passen wir mit

my image

das Anzeigefenster an. Wir wählen mit \(x\) von \(0\) bis \(20\) und \(y\) von \(0\) bis \(30\)

my image


und lassen wir uns die Graphen anzeigen.

my image


Betrachten wir die Länge des Wals (roter Graph) und seine Wachstumsrate (blauer Graph), so ist zu erkennen, dass die Körperlänge des Blauwals permanent zunimmt.

Das heißt, das die Wachstumsrate für alle \(x\) positiv sein muss. Es gilt also

my image

\(x=x\) heißt nun, dass es für alle \(x\)-Werte wahr ist und die Körperlänge des Blauwals ständig zunimmt.


Nun prüfen wir, ob für große Werte von \(x\) die Körperlänge unter \(29 \; m\) bleibt.

Das Limes-Symbole finden wir in \(Math2\).

my image


Beide Bedingungen sind erfüllt. Basierend auf der Funktion \(w\) kann der Blauwal nie eine Körperlänge von \(29 \; m\) erreichen.








Aufgabe 3 - ausgewachsener Blauwal

Wir lösen folgende Gleichung:

my image


Mit nahezu \(11 \; Jahren\) ist der Blauwal ausgewachsen.







 



Lösung : Funktionenschar

Wir definieren zunächst die Schar.

my image



Aufgabe 1 - Graphen der Schar

Die Hochpunkt haben alle den gleichen \(y\)-Wert bei ca. \(5\). Für positive \(k\)-Werte verschiebt sich der Hochpunkt bei abnehmenden \(k\) weiter nach rechts. Da alle Graphen durch einen bestimmten Punkt laufen, wird dieses durch eine Streckung in \(x\)-Richtung bewirkt, wofür der Wert \(k\) verantwortlich ist.

Aus der Funktionsgleichung kann man entnehmen, dass bei \(k=0\) die e-Funktion verschwindet und nur noch ein konstanter Wert nach bleibt. Das heißt, dass bei \(k=0\) eine waagerechte Gerade entsteht.

Wie sieht es nun für negative \(k\)-Werte aus? Das soll nach Aufgabenstellung eigentlich nicht erörtert werden. Trotzdem ist das hier anhand dieser Abbildung

my image


gezeigt. Es entsteht ein ähnliches Bild. Nur werden jetzt bei größer werdenden \(k\) die Hochpunkte weiter nach links versetzt.


Zurück zu den positiven \(k\)-Werten. Je kleiner der \(k\)-Wert ist, desto größer ist der \(y\)-Achsenabschnitt, wobei bei allen Funktion der Schar die positive \(y\)-Achse geschnitten wird.








Aufgabe 2 - Punkt P

Um zu zeigen, dass Punkt \(P\) auf allen Graphen von \(w_k\), berechnen wir \(w_k(5)\):

my image


Damit liegt \(P\) auf allen Graphen der Schar.


Wendepunkte

Für Wendepunkte gelten die Bedingungen

\( w_k''(x) = 0 \quad \textrm{und} \quad w_k'''(x) \not= 0 \)


Wir lösen die Gleichung mit der 2. Ableitung.

my image


Wir überprüfen die beiden Werte mit der 3. Ableitung.

my image


\( -1{,}924500897 \cdot k^3 \not=0 \quad \textrm{und} \quad 1{,}924500897 \cdot k^3 \not=0 \quad \textrm{mit} \; \; k>0 \)


Damit existieren beide Wendepunkte. Nun brauchen wir noch die dazu gehörigen \(y\)-Werte.

my image


Alle Wendepunkte liegen auf der Höhe \(y=3,333333333\). Damit kann \(P\) kein Wendepunkt sein.







Aufgabe 3 - Ortsgerade der Hochpunkte

Hochpunkte

Für Hochpunkte gelten die Bedingungen

\( w_k'(x) = 0 \quad \textrm{und} \quad w_k''(x) \not= 0 \)


Wir lösen die Gleichung mit der 1. Ableitung.

my image


Weiter überprüfen wir das Ergebnis mit der 2. Ableitung.

my image


Da \(k\) stets positiv ist, ist die 2. Ableitung kleiner als Null. Es liegt also ein Hochpunkt vor. Wir brauchen nun noch den \(y\)-Wert des Hochpunktes.

my image


Alle Hochpunkte haben den Wert \(y=5\). Damit müssen die Hochpunkte auf einer Gerade liegen, die parallel zur \(x\)-Achse ist mit der Höhe \(5\).


Wert von \(k\) bestimmen

Wir berechnen das \(k\) indem wir den \(x\)-Wert des Hochpunktes mit \(6\) gleichsetzten.

my image


Mit den Logarithmengesetzen ist

\( k \; = \; ln(3)+ln(2) \; = \; ln(3 \cdot 2) \; = \; ln(6) \)







Aufgabe 4 - Flächeninhalt des Dreiecks

Die Fläche des Dreiecks wird berechnet mit

\( A \; = \; \frac{g \cdot h}{2} \)


Bei Punkt \(Q_k\) ist der \(x\)-Wert um \(\frac{ln(6)}{k}\) größer als vom Punkt \(P\). Also muss die Grundseite \(2 \cdot \frac{ln(6)}{k}\) lang sein. Die Höhe ist \(\frac{120}{49}\).

my image


Daraus ergibt sich die Flächenformel:

\( A \; = \; \frac{2 \cdot \frac{ln(6)}{k} \cdot \frac{120}{49}}{2} \; = \; \frac{ln(6)}{k} \cdot \frac{120}{49} \)


Wir lösen nun folgende Gleichung:

my image


Damit die Fläche des Dreiecks genau \(1\) Flächeneinheit groß ist, muss \(k=4{,}387982374\) sein.