CAS 2 (Lösung für Classpad)

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Fichten

Auf einer Waldfläche wurden neue Fichten gepflanzt. Alle Fichten hatten zum Zeitpunkt der Pflanzung eine Höhe von \(50 \; cm\).



Höhenwachstum w

Betrachtet wird die Rate des Höhenwachstums der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit. Diese Wachstumsrate wird durch die Funktion \(w\) mit

\( w(t) \; = \; 60 \cdot e^{-\frac{1}{3000} \cdot (t-40)^2} \qquad \textrm{und} \quad \; t \geq 0 \)

modellhaft beschrieben. Dabei ist \(t\) die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und \(w(t)\) die Wachstumsrate in der Einheit Zentimeter pro Jahr \(\left( \frac{cm}{a} \right)\). Die Abbildung zeigt den Graphen von \(w\).

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  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Wachstumsrate \(40 \; Jahre\) nach Pflanzung am größten ist. Berechnen Sie den Zeitraum, in dem die Fichten mehr als \(50 \; \frac{cm}{a}\) wachsen.

    (5 P)


  1. Ein bestimmter Wert der Wachstumsrate wiederholt sich nach genau \(30 \; Jahren\). Berechnen Sie die beiden zugehörigen Zeitpunkte. Veranschaulichen Sie den Sachverhalt in der obigen Abbildung.

    (4 P)


  1. Geben Sie die Bedeutung des Terms

    \( \frac{1}{100} \cdot \left(50 + \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \right) \)

    im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe. Skizzieren Sie die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit für die ersten \(160 \; Jahre\) nach der Pflanzung.

    (5 P)





Funktion h

In einem anderen Modell wird die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit mit Hilfe der Funktion \(h\) mit

\( h(t) \; = \; 50 \cdot \frac{e^{\frac{1}{10} \cdot t}}{e^{\frac{1}{10} \cdot t} + 99} \qquad \textrm{und} \quad \; t \geq 0 \)


beschrieben. Dabei ist t die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und h(t) die Höhe in der Einheit Meter. Der Graph von h hat genau einen Wendepunkt W.

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(W\).

    \( \big[ \; \textit{Zur Kontrolle:} \quad W(10 \cdot ln(99) | 25) \; \big] \)

    (3 P)


  1. Eine Zeitschrift aus dem Jahr 1911 enthält folgenden Textabschnitt:

    Von unseren einheimischen Bäumen steht die Fichte hinsichtlich ihres Höhenwachstums obenan, und zwar mit 37 Zentimeter durchschnittlich im Jahre. Doch sind von Forstbeamten Ausnahmen beobachtet worden, in denen Fichten in einem Jahre bis zu 150 Zentimeter ihrer Länge zusetzen.

    (Quelle: Walther Kabel: Wachstumsgeschwindigkeit bei Pflanzen. In: Das Buch für alle. Jahrgang 1911, Heft1, Union Deutsche Verlagsgesellschaft, Stuttgart 199, S. 23.)

    Vergleichen sie die durch die Funktion \(h\) bestimmte maximale Wachstumsgeschwindigkeit mit der entsprechenden Angabe im Textabschnitt.

    (3 P)


  1. Geben Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von\(\)h im Punkt \(W\) an. Die Höhe der Fichten kann im Zeitintervall von \(40\) bis \(50\) Jahren nach Pflanzung näherungsweise durch diese Tangente beschrieben werden. Bestimmen Sie die maximale prozentuale Abweichung im Vergleich zur Beschreibung mit Hilfe von \(h\).

    (4 P)





Brusthöhendurchmesser (BHD)

Um den Verkaufswert eines Baumstammes zu bestimmen, wird dessen Durchmesser in einer Höhe von \(1{,}3 \; m\) verwendet. Dieser wird als Brusthöhendurchmesser (BHD) bezeichnet.

Für einen BHD ab \(15 \; cm\) kann der Verkaufspreis von Fichtenstämmen in Abhängigkeit vom BHD näherungsweise mithilfe einer quadratischen Funktion bestimmt werden. Die unten aufgeführte Tabelle stellt für drei BHD den jeweiligen Preis dar.

Ermitteln Sie den Preis für einen Fichtenstamm mit einem BHD von \(66 \; cm\).

BHD Preis
15 cm 6,25 €
40 cm 100 €
60 cm 250 €








Funktion d

Der BHD einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) wird durch die Funktion \(d\) mit

\( d(t) \; = \; 0{,}7 \cdot \dfrac{e^{\frac{t + 125}{40}}}{e^{\frac{t + 125}{40}} + 250} \qquad \textrm{und} \quad \; t \geq 15 \)


modelliert. Dabei ist \(t\) die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und \(d(t)\) der BHD in Metern.

  1. Begründen Sie, Dass der BHD im Modell stets geringer als \(70 \; cm\) ist.

    (2 P)

  2. Zeichnen Sie für den Zeitraum zwischen \(15\) und \(80\) Jahren nach der Pflanzung einen Graphen, der den BHD in Abhängigkeit von der Höhe darstellt. Verwenden Sie für die Höhe der Fichte das Modell aus der Aufgabe 2.

    (4 P)





Durchmesser des Stammes

Ein Fichtenstamm hat einen BHD von \(40 \, cm\). Sein Volumen vom Boden bis zur Höhe \(1{,}3 \, m\) beträgt \(0{,}17 \, m^3\). Es soll davon ausgegangen werden, dass der Durchmesser des Stamms mit zunehmender Höhe linear abnimmt. Berechnen Sie den Durchmesser des Stamms in einer Höhe von \(15 \, m\).



Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen: Fichten

Lösung : Höhenwachstum w

Aufgabe 1 - größtes Wachstum

Für die maximale Wachstumsrate gilt

\( w'(t) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad w''(t) \; \not= \; 0 \)


Wir definieren zunächst \(w(t)\). Für Definition verwenden wir den Befehl Define, den wir auf dem Keyboard unter \(Math3\) finden.

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Wir benötigen die Ableitungen, die wir auf folgende Art schreiben:

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Wir brauchen die Variable der Funktion, in diesem Fall den \(t\)-Wert, für den diff-Befehl nicht, da wir den ja berechnen wollen. Weiter verwenden wir den solve-Befehl zum lösen von Gleichungen, den wir in \(Math1\) oder auch in \(Math3\) finden.

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Insgesamt haben wir die Befehlsfolge:

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Anschließend wird der berechnete \(t\)-Wert mit der 2. Ableitung überprüft.

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Da nun

\( w'(40)=0 \quad \textrm{und} \quad w''(40) \; < \; 0 \)


ist, liegt bei \(t=40\) ein lokales Maximum vor. Es sind keine weiteren Extremstelllen vorhanden. Folglich ist bei \(t=40\) die Wachstumsrate am größten.

Für den Zeitraum, zu der die Fichten mehr als 50 \(\frac{cm}{a}\) wachsen, rechnen wir

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Im Alter von \(16{,}61272418\) bis \(63{,}38727582\) Jahren wachsen die Fichten mehr als \(50\) Zentimeter pro Jahr.




Aufgabe 2 - sich wiederholende Wachstumsrate

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Wir berechnen dieses folgendermaßen:

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Der 1. Zeitpunkt ist nach \(25\) Jahre der Pflanzung und der 2. Zeitpunkt ist \(30\) Jahre später, also \(55\) Jahre nach der Pflanzung.




Aufgabe 3 - Term

Das Integral

\( \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \)


gibt den aufsummierten Höhenzuwachs in Zentimetern in den ersten \(60\) Jahren an. Das heißt, dass

\( \frac{1}{100} \cdot \left( 50 + \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \right) \; = \; 0{,}5 + \frac{1}{100} \cdot \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \)


die Höhe einer Fichte \(60\) Jahre nach Pflanzung in Metern angibt, wenn sie mit einer Anfangshöhe von \(0{,}5\) Metern ausgepflanzt wurde.

Mit der Graph-Funktion lässt sich die Stammfunktion nun nicht darstellen, denn das Integral wird mithilfe der sogenannten Gaußschen Fehlerfunktion (error function ⭢ erf(x) ) ermittelt. Diese Funktion ist nicht im eigentlichen Sinne eine geschlossene Funktion (stetige Funktion), sondern muss näherungsweise durch eine Reihenentwicklung bestimmt werden.


Wie lässt sich der Funktionsterm nun trotzdem zeichnen?

Mithilfe der Funktion Regression im Bereich Statistik können wir einen Funktionsgraphen angenähert über mehrere Datenpunkte darstellen. Wir bestimmen zunächst die Termwerte für die \(t\)-Werte. Hier ist das Ganze in 10-er Schritten. Das geht schnell, wenn man den einmal geschriebenen Term herunter zieht und die obere Grenze des Integrals jeweils ändert.

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Wir öffnen nun den Statistik-Bereich

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und füllen die Tabelle aus. Also einfach kopieren in Main mit \(Edit\) \(Copy\) und einfügen in Statistik mit \(Edit\) \(Paste\).

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Mit dem hellblau markierten Graphensymbol können die Punkte angezeigt werden.

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Bei \(t=40\) ist bei \(w(t)\) ein Maximum. Das heißt, das dieser Graph dort einen Wendepunkt hat. Wir können diesen Graphen nun ins Heft übertragen.










Lösung : Funktion h

Aufgabe 1 - Koordinaten von W

Für den Wendepunkt gilt

\( h''(t) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad h'''(t) \not= 0 \)


Wir definieren \(h(t)\).

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Wir lösen die Gleichung.

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Überprüfung des Ergebnisses:

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\(h'''\big( ln(11)+20 \cdot ln(3) \big) \not=0\). Damit ist ein Wendepunkt bei \(t=10 \cdot ln(99)\) vorhanden. Wir bestimmen nun noch den \(y\)-Wert.

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Mit den Logarithmengesetzen ist

\( \begin{array}{ r c l } 10 \cdot ln(11)+20 \cdot ln(3) & = & 10 \cdot ln(11)+2 \cdot 10 \cdot ln(3) \\[6pt] & = & 10 \cdot ln(11)+10 \cdot ln\left(3^2\right) \\[6pt] & = & 10 \cdot \Big( ln(11) + ln\left(3^2\right) \Big) \\[6pt] & = & 10 \cdot \Big( ln\left(11 \cdot 3^2\right) \Big) \\ & = & 10 \cdot \big( ln(99) \big) \end{array} \)


Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W\big((10 \; ln(99) | 25\big)\).




Aufgabe 2 - maximale Wachstumsgeschwindigkeit

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Die Funktion der Wachstumsgeschwindigkeit ist die Ableitungsfunktion von \(h\) und ist hier mit den \(y\)-Werten um das 50-fache vergrößert dargestellt. Das heißt, dass der \(t\)-Wert des Maximums der Wachstumsgeschwindigkeit der gleiche ist wie der \(t\)-Wert des Wendepunktes von \(h\). Also ist \(t=10 \cdot ln(99)\).

Die Wachstumsgeschwindigkeit an dieser Stelle berechnen wir mit der 1. Ableitung von \(h\).

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Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit liegt bei \(125 \; \frac{cm}{a}\), also \(25 \; \frac{cm}{a}\) weniger als bei den von den Forstbeamten beobachteten Ausnahmen.




Aufgabe 3 - Tangente im Punkt W

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Die Tangente ist allgemein beschrieben durch

\( y(t) \; = \; mt + b \)


Mit \(m =1{,}25\) und dem Punkt \(W\big((10 \; ln(99) | 25\big)\) erhalten wir \(b\).

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Wir erhalten die Tangentengleichung \(y(t)\)

\( y(t) \; = \; 1{,}25t - 32{,}43899813 \)


und definieren sie.

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Die Abweichung der Tangentenwerte von den Werte der Funktion \(h\) definieren wir mit

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Da im Wendepunkt \(y(t)=h(t)\) und damit \(a(t)=0\) ist, kann die maximale Abweichung nur an den Rändern des Intervalls \([40;50]\) liegen.

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Die maximale Abweichung liegt also bei \(t=40\). Wir berechnen die prozentuale maximale Abweichung zur Beschreibung durch die Tangente mit

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Die maximale Abweichung beträgt \(1{,}2\%\).









Lösung : Brusthöhendurchmesser (BHD)

Mit den Angaben der Tabelle können wir durch Lösen eines Gleichungssystems die Preisfunktion in Abhängigkeit vom BHD aufstellen. Wir verwenden dazu folgendes Werkzeug:

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Zunächst müssen wir jedoch die allgemeine Gleichung der Funktion \(p\) aufstellen mit

\( p(t) \; = \; at^2 + bt + c \)


Hierbei ist zu beachten, dass wir die Variable \(a\) bereits benutzt haben. Diese müssen wir zunächst löschen. Dazu gehen wir in den Variablenmanager.

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Wir wählen main und klicken ein weiteres Mal darauf.

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Wir setzen nur ein Häkchen bei \(a\)

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und löschen die Variable mit \(Edit\) \(Delete\).

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Wenn die Variable nicht mehr vorhanden ist, schließen wir den Variablenmanager zweimal mit \(Close\).

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Nun definieren wir Funktion \(p\). Dabei ist darauf zu achten, dass ein Malzeichen zwischen dem Parameter und \(t\) steht.

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Wir geben das Gleichungssystem mit dem oben genannten Werkzeug ein und lösen es. Wir klicken zweimal auf das Werkzeug, um 3 Zeilen zu erhalten. In der Einstellung Standard erhalten wir die Ergebnisse als Brüche.

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Wir definieren Funktion \(p\) neu

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und berechnen den Preis bei einem BHD von \(66 \; cm\).

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Der Preis für einen Fichtenstamm mit einem BHD von \(66 \; cm\) beträgt \(308\).









Lösung : Funktion d

Aufgabe 1 - BHD geringer als 70 cm

Wir definieren zunächst \(d\).

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Es ist zu erkennen, dass

\( \displaystyle{\frac{e^{\frac{t + 125}{40}}}{e^{\frac{t + 125}{40}} + 250}} \)


stets kleiner als \(1\) ist, da

\( \displaystyle{e^{\frac{t + 125}{40}}<e^{\frac{t + 125}{40}} + 250 } \)


ist für alle positiven \(t\)-Werte. Ferner muss der Graph des Terms

\( \displaystyle{\frac{e^{\frac{t + 125}{40}}}{e^{\frac{t + 125}{40}} + 250} } \)

über dem ganzen Definitionsbereich monoton steigend sein, da er nur aus e-Funktionen mit positivem Vorzeichen besteht. Das bedeutet, dass nur der größte Wert für \(t\) Funktion \(d\) maximal werden lässt. Wir überprüfen nun den rechten Rand des Definitionsbereichs. Wir wählen das Werkzeug, dass wir unter \(Math2\) finden,

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um den Grenzwert dafür zu berechnen, dass \(t\) gegen unendlich geht.

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Nur wenn nahezu unendlich viel Zeit verstreicht, bis die Fichte die Brusthöhe erreicht hat, würde der BHD \(70 \; cm\) betragen. Dies ist aber schlichtweg unmöglich. Denn wenn die Fichte in \(100\) Jahren die \(1{,}3 \; m\) noch nicht erreicht hat, ist sie wohl abgestorben.

Daraus folgt, dass der BHD stets unter \(70 \; cm\) bleibt.




Aufgabe 2 - Graph

Wir können diesen Graphen zeichnen, indem wir die Funktion \(d\) und \(h\) miteinander verknüpfen. wir gehen dazu in den Bereich \(Graph \; \& \; Table\)

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und geben die Funktionsterme, am besten mit \(Copy \; und \; Paste\), ein.

Da die beiden Terme abhängig von \(t\) sind, was im Bereich Graph nicht erlaubt ist, muss bei ihnen das \(t\) durch \(x\) ersetzt werden.

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Mit

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können wir uns die Wertetabelle ansehen.

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Momentan sind die angezeigten \(x\)-Werte von \(1\) bis \(5\). Über

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ändern wir die Einstellung wie folgt.

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Der Graph kann nun gezeichnet werden mit den Werten aus \(y2\) als \(x\)-Koordinate und den Werten aus \(y1\) als \(y\)-Koordinate.

Bis hier hin ist die Aufgabe erfüllt.


Darüber hinaus kann noch folgende Frage geklärt werden:
Kann der Graph von der Funktion für die Funktionsgleichung von \(d(h)\) mit dem CAS graphisch dargestellt werden?

Ja, das geht schon. Allerdings muss man da etwas tricksen. Wir bilden dazu die verkettete Funktion \(d \big(t (h) \big)\) aus den Funktionen \(d(t)\) und \(t(h)\). Es muss also folgende Umformung gemacht werden muss:

\( h(t) \quad \longrightarrow \quad t(h) \)


Das heißt nun, dass bei dem Graphen der Funktion die Achsen vertauscht werden müssen,

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also die Umkehrfunktion von \(h\) gebildet werden muss. Um bei der Umkehrfunktion mit den bisherigen Definitionen nicht in Konflikt zu kommen, nehmen wir als neue Variable von \(t\) die Variable \(u\). Wir bilden nun die Umkehrfunktion:

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Der Logarithmus kann nur von positiven Werten gebildet werden, was diese Einschränkung für \(u\) bedeutet:

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Die Höhe der Fichte bleibt also stets unter \(50 \; m\).


Wir nehmen nun den Term von \(u\) und setzen ihn bei der Definition von \(d\) für \(t\) ein, wobei wir die neue Funktion \(d\) mit der Variable \(v\) belegen.

Das heißt, dass bei dem markierten Term von \(d\)

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der Term von \(u\) anstelle der Variablen \(t\) eingesetzt wird. Dabei soll die neue Funktion von \(d\) nun \(v\) heißen.

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\(v(x)\) ist nun die Funktion \(d \big(t (h) \big)\). Wir schreiben sie in den Arbeitsbereich \(Graph \; \& \; Table\).

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Wir können der Wertetabelle von entnehmen, dass die Höhe der Fichte im Alter von \(15\) Jahren ca. \(2 \; m\) und im Alter von \(80\) Jahren ca. \(48 \; m\) ist.

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Der BHD ist im Alter von \(80\) Jahren \(28{,}15 \; cm\).

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Über

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können wir diese Zoom-Einstellungen

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eingeben. Mit Klick auf das Graphensymbol

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erscheint der folgende Graph.

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Lösung : Durchmesser des Stammes

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Kippen wir den Baumstamm um 90°, so kann ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung auf Bodenhöhe des Baumstammes gelegt werden. Der Rotationskörper eines Kegelstumpfes entsteht nun, indem die Seitenlinie \(s\) um die \(x\)-Achse rotiert.

Mithilfe der Geraden, die entlang der Seitenlinie \(s\) verläuft, kann der gesuchte Durchmesser bestimmt werden. Dazu benötigen wir zunächst die Gerade. Es gilt mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck und dem Achsenabschnitt \(r\)

\( \begin{array}{ l c l } g(x) & = & m \cdot x + b \\[8pt] & = & -\frac{r-0{,}2}{1{,}3} \cdot x + r \\[8pt] & = & \frac{0{,}2-r}{1{,}3} \cdot x + r \\ \end{array} \)


Über das Rotationsvolumen von \(0{,}17 \, m^3\) kann nun der Radius \(r\) auf Bodenhöhe bestimmt werden mit der Gleichung

\( 0{,}17 \; = \; \pi \cdot \displaystyle{\int}_0^{1{,}3} \left(\frac{0{,}2-r}{1{,}3} \cdot x + r \right)^2 dx \)


Dies ist offensichtlich eine Gleichung mit einer Unbekannten, da für \(x\) ja die Grenzen eingesetzt werden. Das erkennt der Classpad allerdings nicht. Deshalb müssen wir ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten aufstellen. Wir fügen eine wahre Aussage hinzu.

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Der Radius \(r\) kann nicht negativ sein. Deshalb muss \(r=0{,}2080185334\) sein. Es ergibt sich die Gerade \(g\) mit

\( g(x) = \frac{0{,}2-0{,}2080185334}{1{,}3} \cdot x + 0{,}2080185334 \)


Wir definieren Funktion \(g\) und berechnen den Radius des Stammes in einer Höhe von \(15 \; m\).

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In einer Höhe von \(15 \; m\) hat der Stamm einen Radius von \(11{,}55 \; cm\) und damit einen Durchmesser von \(23{,}1 \; cm\).