CAS 2 (Lösung für Ti-Nspire)

my image

Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Fichten

Auf einer Waldfläche wurden neue Fichten gepflanzt. Alle Fichten hatten zum Zeitpunkt der Pflanzung eine Höhe von \(50 \; cm\).



Höhenwachstum w

Betrachtet wird die Rate des Höhenwachstums der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit. Diese Wachstumsrate wird durch die Funktion \(w\) mit

\( w(t) \; = \; 60 \cdot e^{-\frac{1}{3000} \cdot (t-40)^2} \qquad \textrm{und} \quad \; t \geq 0 \)

modellhaft beschrieben. Dabei ist \(t\) die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und \(w(t)\) die Wachstumsrate in der Einheit Zentimeter pro Jahr \(\left( \frac{cm}{a} \right)\). Die Abbildung zeigt den Graphen von \(w\).

my image

  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Wachstumsrate \(40 \; Jahre\) nach Pflanzung am größten ist. Berechnen Sie den Zeitraum, in dem die Fichten mehr als \(50 \; \frac{cm}{a}\) wachsen.

    (5 P)


  1. Ein bestimmter Wert der Wachstumsrate wiederholt sich nach genau \(30 \; Jahren\). Berechnen Sie die beiden zugehörigen Zeitpunkte. Veranschaulichen Sie den Sachverhalt in der obigen Abbildung.

    (4 P)


  1. Geben Sie die Bedeutung des Terms

    \( \frac{1}{100} \cdot \left(50 + \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \right) \)

    im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe. Skizzieren Sie die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit für die ersten \(160 \; Jahre\) nach der Pflanzung.

    (5 P)





Funktion h

In einem anderen Modell wird die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit mit Hilfe der Funktion \(h\) mit

\( h(t) \; = \; 50 \cdot \frac{e^{\frac{1}{10} \cdot t}}{e^{\frac{1}{10} \cdot t} + 99} \qquad \textrm{und} \quad \; t \geq 0 \)


beschrieben. Dabei ist t die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und h(t) die Höhe in der Einheit Meter. Der Graph von h hat genau einen Wendepunkt W.

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(W\).

    \( \big[ \; \textit{Zur Kontrolle:} \quad W(10 \cdot ln(99) | 25) \; \big] \)

    (3 P)


  1. Eine Zeitschrift aus dem Jahr 1911 enthält folgenden Textabschnitt:

    Von unseren einheimischen Bäumen steht die Fichte hinsichtlich ihres Höhenwachstums obenan, und zwar mit 37 Zentimeter durchschnittlich im Jahre. Doch sind von Forstbeamten Ausnahmen beobachtet worden, in denen Fichten in einem Jahre bis zu 150 Zentimeter ihrer Länge zusetzen.

    (Quelle: Walther Kabel: Wachstumsgeschwindigkeit bei Pflanzen. In: Das Buch für alle. Jahrgang 1911, Heft1, Union Deutsche Verlagsgesellschaft, Stuttgart 199, S. 23.)

    Vergleichen sie die durch die Funktion \(h\) bestimmte maximale Wachstumsgeschwindigkeit mit der entsprechenden Angabe im Textabschnitt.

    (3 P)


  1. Geben Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von\(\)h im Punkt \(W\) an. Die Höhe der Fichten kann im Zeitintervall von \(40\) bis \(50\) Jahren nach Pflanzung näherungsweise durch diese Tangente beschrieben werden. Bestimmen Sie die maximale prozentuale Abweichung im Vergleich zur Beschreibung mit Hilfe von \(h\).

    (4 P)





Brusthöhendurchmesser (BHD)

Um den Verkaufswert eines Baumstammes zu bestimmen, wird dessen Durchmesser in einer Höhe von \(1{,}3 \; m\) verwendet. Dieser wird als Brusthöhendurchmesser (BHD) bezeichnet.

Für einen BHD ab \(15 \; cm\) kann der Verkaufspreis von Fichtenstämmen in Abhängigkeit vom BHD näherungsweise mithilfe einer quadratischen Funktion bestimmt werden. Die unten aufgeführte Tabelle stellt für drei BHD den jeweiligen Preis dar.

Ermitteln Sie den Preis für einen Fichtenstamm mit einem BHD von \(66 \; cm\).

BHD Preis
15 cm 6,25 €
40 cm 100 €
60 cm 250 €








Funktion d

Der BHD einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) wird durch die Funktion \(d\) mit

\( d(t) \; = \; 0{,}7 \cdot \dfrac{e^{\frac{t + 125}{40}}}{e^{\frac{t + 125}{40}} + 250} \qquad \textrm{und} \quad \; t \geq 15 \)


modelliert. Dabei ist \(t\) die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und \(d(t)\) der BHD in Metern.

  1. Begründen Sie, Dass der BHD im Modell stets geringer als \(70 \; cm\) ist.

    (2 P)

  2. Zeichnen Sie für den Zeitraum zwischen \(15\) und \(80\) Jahren nach der Pflanzung einen Graphen, der den BHD in Abhängigkeit von der Höhe darstellt. Verwenden Sie für die Höhe der Fichte das Modell aus der Aufgabe 2.

    (4 P)





Durchmesser des Stammes

Ein Fichtenstamm hat einen BHD von \(40 \, cm\). Sein Volumen vom Boden bis zur Höhe \(1{,}3 \, m\) beträgt \(0{,}17 \, m^3\). Es soll davon ausgegangen werden, dass der Durchmesser des Stamms mit zunehmender Höhe linear abnimmt. Berechnen Sie den Durchmesser des Stamms in einer Höhe von \(15 \, m\).



Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen: Fichten

Lösung : Höhenwachstum w

Aufgabe 1 - größtes Wachstum

Für die maximale Wachstumsrate gilt

\( w'(t) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad w''(t) \; \not= \; 0 \)


Wir definieren zunächst \(w(t)\) :

my image


Weiter brauchen wir die 1. Ableitung. Wir wählen das Ableitungswerkzeug

my image


mit der \(\color{#CC0000}{rot}\) markierten Taste

my image


Wir definieren die 1. Ableitung wie folgt.

my image


Zum Lösen der Gleichung benötigen wir den solve-Befehl, den wir im Menu finden.

my image

my image


Wir definieren entsprechend der 1. Ableitung die 2. Ableitung

my image


und setzen den berechneten \(t\)-Wert dort ein.

my image

\( w''(40) \; = \; -\frac{1}{25} \; < \; 0 \quad \textrm{maximale Wachstumsrate} \)


Für den Zeitraum, zu der die Fichten mehr als 50 \(\frac{cm}{a}\) wachsen, rechnen wir

my image


Im Alter von \(16{,}6127\) bis \(63{,}3873\) Jahren wachsen die Fichten mehr als \(50\) Zentimeter pro Jahr.




Aufgabe 2 - sich wiederholende Wachstumsrate

my image

Wir berechnen dieses folgendermaßen:

my image


Der 1. Zeitpunkt ist nach \(25\) Jahre der Pflanzung und der 2. Zeitpunkt ist \(30\) Jahre später, also \(55\) Jahre nach der Pflanzung.




Aufgabe 3 - Term

Das Integral

\( \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \)


gibt den aufsummierten Höhenzuwachs in Zentimetern in den ersten \(60\) Jahren an. Das heißt, dass

\( \frac{1}{100} \cdot \left( 50 + \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \right) \; = \; 0{,}5 + \frac{1}{100} \cdot \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \)


die Höhe einer Fichte \(60\) Jahre nach Pflanzung in Metern angibt, wenn sie mit einer Anfangshöhe von \(0{,}5\) Metern ausgepflanzt wurde.

Mit der Graph-Funktion lässt sich die Stammfunktion nun nicht darstellen, denn das Integral wird mithilfe der sogenannten Gaußschen Fehlerfunktion (error function ⭢ erf(x) ) ermittelt. Diese Funktion ist nicht im eigentlichen Sinne eine geschlossene Funktion (stetige Funktion), sondern muss näherungsweise durch eine Reihenentwicklung bestimmt werden.


Wie lässt sich der Funktionsterm nun trotzdem zeichnen?

Mithilfe der Funktion \(SchnellGraph\) im Tabellenbereich \(Lists \; \& \; Spreadsheet\)) können wir einen Funktionsgraphen über mehrere Punkte simulieren. Wir bestimmen zunächst die Termwerte für die \(t\)-Werte. Hier ist das Ganze in 10-er Schritten. Das geht einfach, wenn man den Term immer wieder kopiert und einfügt. Dann braucht nur noch die obere Grenze des Integrals geändert werden.

my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image


Wir öffnen nun den Tabellenbereich. Die Spalten brauchen Namen, z. B. \(alter\) und \(hoehe\), die wir ganz oben eintragen. Wir füllen die Tabelle mit den Werten aus.

my image


Wir markieren die 1. Spalte indem wir auf das Feld \(alter\) gehen und auf Pfeil oben

my image

tippen.

Mit \(shift\) und Pfeil rechts fügen wir die 2. Spalte zu der Markierung hinzu.

my image


Wir verwenden nun die Funktion \(SchnellGraph\) über das \(menu\).

my image

my image


Wir verbinden die Punkte über das \(menu\) folgendermaßen:

my image

my image

my image


Auf die volle Breite ausgedehnt sieht der Graph so aus.

my image


Bei \(t=40\) ist bei \(w(t)\) ein Maximum. Das heißt, das dieser Graph dort einen Wendepunkt hat. Wir können diesen Graphen nun mit den berechneten Werten ins Heft übertragen.










Lösung : Funktion h

Aufgabe 1 - Koordinaten von W

Für den Wendepunkt gilt

\( h''(t) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad h'''(t) \not= 0 \)


Wir definieren \(h(t)\).

my image


Für die 2. Ableitung nutzen wir dieses Werkzeug

my image


und definieren die 2. Ableitung.

my image


Wir lösen die Gleichung.

my image


Wir definieren die 3. Ableitung.

my image


Überprüfung des Ergebnisses:

my image


\(h'''\big(10 \cdot ln(99) \big) \not=0\). Damit ist ein Wendepunkt bei \(t=10 \cdot ln(99)\) vorhanden. Wir bestimmen nun noch den \(y\)-Wert.

my image


Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W\big((10 \; ln(99) | 25\big)\).




Aufgabe 2 - maximale Wachstumsgeschwindigkeit

my image

Die Funktion der Wachstumsgeschwindigkeit ist die Ableitungsfunktion von \(h\) und ist hier mit den \(y\)-Werten um das 50-fache vergrößert dargestellt. Das heißt, dass der \(t\)-Wert des Maximums der Wachstumsgeschwindigkeit der gleiche ist wie der \(t\)-Wert des Wendepunktes von \(h\). Also ist \(t=10 \cdot ln(99)\).

Die Wachstumsgeschwindigkeit an dieser Stelle berechnen wir mit der 1. Ableitung von \(h\).

my image


Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit liegt bei \(125 \; \frac{cm}{a}\), also \(25 \; \frac{cm}{a}\) weniger als bei den von den Forstbeamten beobachteten Ausnahmen.




Aufgabe 3 - Tangente im Punkt W

my image

Die Tangente ist allgemein beschrieben durch

\( y(t) \; = \; m \cdot t + b \)


Mit \(m = \frac{5}{4}\) und dem Punkt \(W\big((10 \; ln(99) | 25\big)\) erhalten wir \(b\).

my image


Das ergibt die Tangentengleichung

\( y(t) \; = \; \frac{5}{4}t + 25-\frac{25 \cdot ln(99)}{2} \)


mit der Definition

my image


Die Abweichung der Tangentenwerte von den Werte der Funktion \(h\) nennen wir \(a\) mit der Definition

my image


Da die Funktion \(h\) streng monoton steigend ist muss das Maximum von \(a\) an den Rändern des Intervalls \([40;50]\) liegen.

my image


Die maximale Abweichung liegt also bei \(t=40\). Wir berechnen die prozentuale maximale Abweichung zur Beschreibung durch die Tangente mit

my image


Die maximale Abweichung beträgt \(1{,}2\%\).









Lösung : Brusthöhendurchmesser (BHD)

Mit den Angaben der Tabelle können wir durch Lösen eines Gleichungssystems die Preisfunktion in Abhängigkeit vom BHD aufstellen. Wir verwenden dazu folgendes Werkzeug:

my image


Zunächst müssen wir jedoch die allgemeine Gleichung der Funktion \(p\) aufstellen mit

\( p(t) \; = \; at^2 + bt + c \)


Hierbei ist zu beachten, dass wir die Variable \(a\) bereits benutzt haben. Wir lassen uns nun alle Variablen anzeigen

my image

my image


und löschen die Definition von \(a\).

my image

my image


Nun definieren wir Funktion \(p\). Dabei ist darauf zu achten, dass ein Malzeichen zwischen dem Parameter und \(t\) steht.

my image


Wir geben das Gleichungssystem ein und lösen es.

my image


Durch

my image


können wir uns die Ergebnisse als Brüche anzeigen lassen.

my image


Wir definieren Funktion \(p\) neu

my image


und berechnen den Preis bei einem BHD von \(66 \; c\)m.

my image


Der Preis für einen Fichtenstamm mit einem BHD von \(66 \; cm\) beträgt \(308\).









Lösung : Funktion d

Aufgabe 1 - BHD geringer als 70 cm

Wir definieren zunächst \(d\).

my image


Es ist zu erkennen, dass

\( \frac{e^{\frac{t + 125}{40}}}{e^{\frac{t + 125}{40}} + 250} \)


stets kleiner als \(1\) ist, da

\( e^{\frac{t + 125}{40}}<e^{\frac{t + 125}{40}} + 250 \)


ist für alle positiven \(t\)-Werte. Ferner muss der Graph des Terms

\( \frac{e^{\frac{t + 125}{40}}}{e^{\frac{t + 125}{40}} + 250} \)


über dem ganzen Definitionsbereich monoton steigend sein, da er nur aus \(e\)-Funktionen mit positivem Vorzeichen besteht. Das bedeutet, dass nur der größte Wert für \(t\) Funktion \(d\) maximal werden lässt. wir überprüfen nun den rechten Rand des Definitionsbereichs.

my image


Nur wenn nahezu unendlich viel Zeit verstreicht, bis die Fichte die Brusthöhe erreicht hat, würde der BHD \(70 \; cm\) betragen. Dies ist aber schlichtweg unmöglich. Denn wenn die Fichte in \(100\) Jahren die \(1{,}3 \; m\) noch nicht erreicht hat, ist sie wohl abgestorben.

Daraus folgt, dass der BHD stets unter \(70 \; cm\) bleibt.




Aufgabe 2 - Graph

Wir können diesen Graphen zeichnen, indem wir die Funktion \(d\) und \(h\) miteinander verknüpfen. Wir gehen dazu in den Arbeitsbereich \(Graph\) und geben die Funktionen ein.

Da sowohl \(d\) als auch \(h\) abhängig von \(t\) sind, was im Arbeitsbereich Graph nicht erlaubt ist, müssen diese Funktion in Abhängigkeit von x z. B. als \(r(x)\) und \(s(x)\) umdefiniert werden. Dazu markieren wir die Definition von \(d\).

my image

Mit \(ctrl\)\(enter\) kopieren wir das Ganze hinunter und schreiben \(d\) in \(r\) und \(t\) in \(x\) um.

my image


Entsprechend wird \(h(t)\) in \(s(x)\) umdefiniert. Nun können die beiden Funktionen in den Arbeitsbereich Graph eingetragen werden.

my image


Über das \(menu\) können wir uns die Wertetabelle anzeigen lassen.

my image

my image


Mit Pfeil rechts

my image


ist die andere Wertetabelle zu sehen.

my image


Der Graph kann nun gezeichnet werden mit den \(s\)-Werten als \(x\)-Koordinate und den \(r\)-Werten als \(y\)-Koordinate. Bis hier hin ist die Aufgabe erfüllt.


Darüber hinaus kann noch folgende Frage geklärt werden:
Kann der Graph von der Funktion für die Funktionsgleichung von \(d(h)\) mit dem CAS graphisch dargestellt werden?

Ja, das geht schon. Allerdings muss man da etwas tricksen. Wir bilden dazu die verkettete Funktion \(d \big(t (h) \big)\) aus den Funktionen \(d(t)\) und \(t(h)\). Es muss also folgende Umformung gemacht werden muss:

\( h(t) \quad \longrightarrow \quad t(h) \)


Das heißt nun, dass bei dem Graphen der Funktion die Achsen vertauscht werden müssen,

my image

also die Umkehrfunktion von \(h\) gebildet werden muss. Um bei der Umkehrfunktion mit den bisherigen Definitionen nicht in Konflikt zu kommen, nehmen wir als neue Variable von \(t\) die Variable \(u\). Wir bilden nun die Umkehrfunktion:

my image


Wir nehmen nun den Term von \(u\) und setzen ihn bei der Definition von \(d\) für\(t\) ein, wobei wir die neue Funktion \(d\) mit der Variable \(v\) belegen.

Wir nehmen also die Definition von \(d\)

my image


und setzen dort für \(t\) den Term von \(u\) ein. Dabei soll die neue Funktion von \(d\) nun \(v\) heißen.

my image


\(v(x)\) ist nun die Funktion \(d \big(t (h) \big)\). Wir schreiben sie in den Arbeitsbereich Graph.

my image


Wir können der Wertetabelle von \(s\) entnehmen, dass die Höhe der Fichte im Alter von \(15\) Jahre ca. \(2 \; m\) und im Alter von \(80\) Jahren ca. \(48 \; m\) ist. Der BHD ist im Alter von \(80\) Jahren \(28{,}15 \; cm\).

my image


Über \(menu\) gehen wir auf die Fenstereinstellungen

my image


und stellen diese Werte ein.

my image


Es erscheint folgender Graph.

my image









Lösung : Durchmesser des Stammes

my image


Kippen wir den Baumstamm um \(90^\circ\), so kann ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung auf Bodenhöhe des Baumstammes gelegt werden. Der Rotationskörper eines Kegelstumpfes entsteht nun, indem die Seitenlinie \(s\) um die \(x\)-Achse rotiert.

Mithilfe der Geraden, die entlang der Seitenlinie \(s\) verläuft, kann der gesuchte Durchmesser bestimmt werden. Dazu benötigen wir zunächst die Gerade. Es gilt mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck und dem Achsenabschnitt \(r\)

\( \begin{array}{ l c l } g(x) & = & m \cdot x + b \\[8pt] & = & -\frac{r-0{,}2}{1{,}3} \cdot x + r \\[8pt] & = & \frac{0{,}2-r}{1{,}3} \cdot x + r \\ \end{array} \)


Über das Rotationsvolumen von \(0{,}17 \, m^3\) kann nun der Radius \(r\) auf Bodenhöhe bestimmt werden. Zuvor muss jedoch die Definition von \(r\) gelöscht werden, da wir diese Variable bereits verwendet haben.

my image


Der Radius \(r\) kann nicht negativ sein. Deshalb muss \(r=0{,}208019\) sein. Es ergibt sich die Gerade \(g\) mit

\( g(x) = \frac{0{,}2-0{,}208019}{1{,}3} \cdot x + 0{,}208019 \)


Wir definieren Funktion \(g\) und berechnen den Radius des Stammes in einer Höhe von \(15 \; m\).

my image


In einer Höhe von \(15 \; m\) hat der Stamm einen Radius von \(11{,}55 \; cm\) und damit einen Durchmesser von \(23{,}1 \; cm\).