Inhaltsverzeichnis
Aufgaben
HMF 1 – Stochastik (Pool 1)
Für ein Zufallsexperiment mit den beiden Ereignissen A und B gilt und
sowie
.
- Erstellen Sie für die beschriebene Situation eine vollständige Vierfeldertafel.
(3 P)
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
.
(2 P)
HMF 2 – Stochastik (Pool 1)
Die Abbildung zeigt das Netz eines Würfels.
- Der Würfel wird zweimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden geworfenen Zahlen 4 ist.
(2 P)
- Die Zahlen „1“ und „3“ werden jeweils durch eine neue Zahl ersetzt. Das Verhältnis der beiden neuen Zahlen ist ebenfalls 1:3. Betrachtet man bei einmaligen Werfen des geänderten Würfels die geworfene Zahl, so ist der zugehörige Erwartungswert 4.
Ermitteln Sie die beiden neuen Zahlen.(3 P)
HMF 3 – Analytische Geometrie (Pool 1)
Gegeben ist eine Kugel K mit
- Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M und den Radius r der Kugel K sowie die Koordinaten eines Punktes P auf dieser Kugel an.
(2 P)
- Gegeben sind die Punkte
und
.Zeigen Sie, dass die Gerade durch A und B die Kugel K in genau einem Punkt berührt.
(3 P)
HMF 4 – Analytische Geometrie (Pool 1)
In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der -Ebene liegt.
ist der Mittelpunkt der Deckfläche.
- Weisen Sie nach, dass der Punkt
auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.
(2 P)
- Unter allen Punkten auf dem Rand der Grundfläche hat der Punkt S den kleinsten Abstand von P, der Punkt T den größten.Geben Sie die Koordinaten von S an und bestimmen Sie die Koordinaten von T.
(3 P)
HMF 5 – Analytische Geometrie (Pool 2)
Für jedes sind die Geraden
und
gegeben durch
und
Die Geraden und
haben den gemeinsamen Punkt
.
- Untersuchen Sie, ob es ein
gibt, für das
und
sogar identisch sind.
(2 P)
- Zeigen Sie, dass es genau ein
derart gibt, so dass
und
orthogonal zueinander sind.
(3 P)
HMF 6 – Analysis (Pool 1)
Gegeben ist die Funktion f mit
- Berechnen Sie die lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle
.
(2 P)
- Die Funktion f hat drei Wendestellen. Bestimmen Sie diese Stellen.
(3 P)
HMF 7 – Analysis (Pool 1)
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit
Betrachtet werden die Dreiecke mit den Eckpunkten ,
und
mit
.
- Begründen Sie, dass der Flächeninhalt jedes dieser Dreiecke mit dem Term
bestimmt werden kann.
(2 P)
- Unter den betrachteten Dreiecken hat eines den größten Flächeninhalt.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert a.(3 P)
HMF 8 – Analysis (Pool 2)
Für jeden Wert ist eine Funktion
gegeben mit
- Zeigen Sie, dass die in
definierte Funktion F mit
eine Stammfunktion von
ist.
(1 P)
- Untersuchen Sie mithilfe von Skizzen, für welche Werte von a sich unter den Stammfunktionen von
solche befinden, die nur negative Funktionswerte haben.
(4 P)
Aufgaben zum Ausdrucken:
Abitur 2020, hilfsmittelfreie Aufgaben, Schleswig-Holstein als PDF
Lösungen
Lösung : HMF 1 – Stochastik
Aufgabe 1 – Vierfeldertafel
Aufgabe 2 – Bedingte Wahrscheinlichkeit
Lösung : HMF 2 – Stochastik
Aufgabe 1 – Summe 4
Um das Ergebnis 4 zu bekommen, muss eine 1 und 3 bzw. eine 2 und 2 gewürfelt werden. Die Wahrscheinlichkeiten dafür entnehmen wir dem Baumdiagramm.
Die Wahrscheinlichkeit die Summe 4 zu erhalten, liegt bei
Aufgabe 2 – Erwartungswert 4
Für den Erwartungswert gilt
Unveränderte Werte:
Vorgaben laut Aufgabenstellung:
Alles in die obige Formel eingesetzt ergibt :
Eingesetzt in VI:
Die gesuchten Zahlen sind 4 und 12.
Lösung : HMF 3 – Analytische Geometrie
Aufgabe 1 – Mittelpunkt, Radius, Punkt
Mit der allgemeinen Kugelgleichung
können wir den Mittelpunkt und Radius ablesen mit
Setzen wir nun 2 geeignete Punktkoordinaten in die Kugelgleichung K ein, z. B. und
, so erhalten wir die 3. Punktkoordinate:
Durch das Wurzelziehen erhalten wir 2 Lösungen:
Mit der 1. Lösung erhalten wir und es ergibt sich der Punkt
.
Aufgabe 2 – Berührpunkt
Die Aufgabe lässt sich auf zweierlei Arten lösen:
- Berechnung der Schnittpunkte zwischen Gerade und Kugel
- Nachweisen, dass die Gerade eine Tangente an der Kugel ist
Lösungsweg 1 – Schnittpunkt Gerade/Kugel
Für Kugel und Geraden gibt es 3 mögliche Lagen,
Für Kugel und Geraden gibt es 3 mögliche Lagen, wie hier zu sehen ist. Das bedeutet, dass es nur
- 2 Schnittpunkte
- 1 Schnittpunkt
- keinen Schnittpunkt
geben kann.
Wir untersuchen nun die Anzahl der Lösungen bei der Schnittpunktberechnung. Dazu benötigen wir zuerst die Geradengleichung.
Zur Schnittpunktberechnung setzen wir die Gerade g in die Kugel
ein. Gerade g können wir auch schreiben als
Eingesetzt in K erhalten wir
Es existiert genau 1 Lösung mit . Eingesetzt in g ergibt dann
Die Gerade berührt die Kugel in dem Punkt .
Lösungsweg 2 – Nachweisen der Tangente
Beim Vergleichen der Koordinaten von und
können wir erkennen,
dass Punkt A genau 1 Einheit unter Mittelpunkt M und damit auf dem Rand der Kugel liegt.
Damit A ein Berührpunkt (Tangentialpunkt) der Geraden g ist, muss der Vektor orthogonal zum Vektor
liegen. Das ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null ergibt.
Die Vektoren sind orthogonal zueinander. Folglich berührt die Gerade im Punkt die Kugel.
Lösung : HMF 4 – Analytische Geometrie
Aufgabe 1 – Punkt am Rande der Grundfläche
Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt 10 unter dem Mittelpunkt der Deckfläche und lautet .
Liegt Punkt P auf der Oberfläche einer Kugel K mit dem Mittelpunkt und dem Radius r=10, so liegt Punkt P auch auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders. Denn P befindet sich ebenso wie die Grundfläche in der
-Ebene.
Diese Kugelgleichung lautet
Um nachzuweisen, dass Punkt P auf der Kugeloberfläche liegt, führen wir eine Punktprobe durch und setzen die Punktkoordinaten ein.
Die Aussage ist wahr. Damit liegt Punkt P auf dem Rand der Grundfläche.
Aufgabe 2 – Größter und kleinster Abstand
Der Punkt S befindet sich 10 Einheiten oberhalb von Punkt P.
Punkt T liegt auf der gegenüberliegenden Seite des Grundkreises nach oben auf die Deckfläche projiziert.
Wir erhalten Punkt S mit
und Punkt T mit
Lösung : HMF 5 – Analytische Geometrie
Aufgabe 1 – Identische Geraden
Damit 2 Geraden identisch sind, müssen sie einen gemeinsamen Punkt haben und parallel zueinander sein.
Bei parallelen Geraden sind die Richtungsvektoren kollinear zueinander und es gilt
k eingesetzt in II :
a und k eingesetzt in I :
Das ist eine wahre Aussage. Damit sind und
identisch.
Aufgabe 2 – Orthogonale Geraden
Sind 2 Geraden orthogonal zueinander, so ergibt das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich Null.
Mit der PQ-Formel
erhalten wir
Lösung : HMF 6 – Analysis
Aufgabe 1 – Lokale Änderungsrate
Die lokale Änderungsrate wird mit der 1. Ableitung von f bestimmt:
an der Stelle bestimmt:
Wendestellen
Teil 1 – Notwendige Bedingung
Nach der Regel des Nullprodukts unterscheiden wir 2 Fälle:
Anwenden der PQ-Formel :
wir erhalten
Teil 2 – Hinreichende Bedingung
Lösung : HMF 7 – Analysis
Aufgabe 1 – Term
Die Fläche des Dreiecks wird bestimmt mit
Aufgabe 2 – Wert a
Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bekommen, verwenden wir die Bedingungen der Extrempunktberechnung. Dafür benötigen wir zunächst die 1. Ableitung von
Mit der Produkt- und Kettenregel gilt
notwendige Bedingung:
hinreichende Bedingung:
Lösung : HMF 8 – Analysis
Aufgabe 1 – Stammfunktion von f
Es bieten sich 2 mögliche Wege an:
- Es gilt
. Der Nachweis ist erbracht, wenn beim Ableiten von
auch
heraus kommt.
- Aufleiten von
.
Version 1 – Ableiten von F
kann mit der Kettenregel abgeleitet werden:
Version 2 – Aufleiten von f
Die verkettete Funktion wird mit dem Substitutionsverfahren integriert. Wir wählen als Substitution
Die 1. Ableitung wird geschrieben als
und wir erhalten
Mit z und dz eingesetzt ergibt sich
Mit Konstante C = 3 und a = 2 erhalten wir
Aufgabe 2 – Negative Funktionswerte
Die Stammfunktion
ist eine Potenzfunktion 4. Grades,
die um 2 Einheiten nach rechts verschoben ist.
Wie leicht zu erkennen ist, haben nur Stammfunktionen mit einem negativem a einen negativen Funktionswert.
Allerdings ist für
, also nicht negativ. Deshalb muss der
-Wert auch noch angepasst werden. Damit alle Funktionswert negativ sind,muss gelten
.