Abituraufgaben 2020 – HMF

 

Inhaltsverzeichnis

• 1. Aufgaben
     • HMF 1 – Stochastik (Pool 1)
     • HMF 2 – Stochastik (Pool 1)
     • HMF 3 – Analytische Geometrie (Pool 1)
     • HMF 4 – Analytische Geometrie (Pool 1)
     • HMF 5 – Analytische Geometrie (Pool 2)
     • HMF 6 – Analysis (Pool 1)
     • HMF 7 – Analysis (Pool 1)
     • HMF 8 – Analysis (Pool 2)

  2. Lösungen
     • HMF 1 – Stochastik
       • Aufgabe 1 – Vierfeldertafel
       • Aufgabe 2 – Bedingte Wahrscheinlichkeit
     • HMF 2 – Stochastik
       • Aufgabe 1 – Summe 4
       • Aufgabe 2 – Erwartungswert 4
     • HMF 3 – Analytische Geometrie
       • Aufgabe 1 – Mittelpunkt, Radius, Punkt
       • Aufgabe 2 – Berührpunkt
         • Lösungsweg 1 – Schnittpunkt Gerade/Kugel
         • Lösungsweg 2 – Nachweisen der Tangente
     • HMF 4 – Analytische Geometrie
       • Aufgabe 1 – Punkt am Rande der Grundfläche
       • Aufgabe 2 – Größter und kleinster Abstand
     • HMF 5 – Analytische Geometrie
       • Aufgabe 1 – Identische Geraden
       • Aufgabe 2 – Orthogonale Geraden
     • HMF 6 – Analysis
       • Aufgabe 1 – Lokale Änderungsrate
       • Aufgabe 2 – Wendestellen
         • Teil 1 – Notwendige Bedingung
         • Teil 2 – Hinreichende Bedingung
     • HMF 7 – Analysis
       • Aufgabe 1 – Term
       • Aufgabe 2 – Wert a
     • HMF 8 – Analysis
       • Aufgabe 1 – Stammfunktion von f
         • Version 1 – Ableiten von F
         • Version 2 – Aufleiten von f
       • Aufgabe 2 – Negative Funktionswerte

 

Aufgaben

 

HMF 1 – Stochastik (Pool 1)

Für ein Zufallsexperiment mit den beiden Ereignissen A und B gilt und sowie .

1. Erstellen Sie für die beschriebene Situation eine vollständige Vierfeldertafel.

   (3 P)

 

2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit .

   (2 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 2 – Stochastik (Pool 1)

Die Abbildung zeigt das Netz eines Würfels.

1. Der Würfel wird zweimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden geworfenen Zahlen 4 ist.

   (2 P)

 

2. Die Zahlen „1“ und „3“ werden jeweils durch eine neue Zahl ersetzt. Das Verhältnis der beiden neuen Zahlen ist ebenfalls 1:3. Betrachtet man bei einmaligen Werfen des geänderten Würfels die geworfene Zahl, so ist der zugehörige Erwartungswert 4.
   Ermitteln Sie die beiden neuen Zahlen.

   (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 3 – Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben ist eine Kugel K mit

1. Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M und den Radius r der Kugel K sowie die Koordinaten eines Punktes P auf dieser Kugel an.

   (2 P)

 

2. Gegeben sind die Punkte und .Zeigen Sie, dass die Gerade durch A und B die Kugel K in genau einem Punkt berührt.

   (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 4 – Analytische Geometrie (Pool 1)

In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der -Ebene liegt.

ist der Mittelpunkt der Deckfläche.

1. Weisen Sie nach, dass der Punkt auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.

   (2 P)

 

2. Unter allen Punkten auf dem Rand der Grundfläche hat der Punkt S den kleinsten Abstand von P, der Punkt T den größten.Geben Sie die Koordinaten von S an und bestimmen Sie die Koordinaten von T.

   (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 5 – Analytische Geometrie (Pool 2)

Für jedes sind die Geraden und gegeben durch

und

Die Geraden und haben den gemeinsamen Punkt .

1. Untersuchen Sie, ob es ein gibt, für das und sogar identisch sind.

   (2 P)

 

2. Zeigen Sie, dass es genau ein derart gibt, so dass und orthogonal zueinander sind.

   (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 6 – Analysis (Pool 1)

Gegeben ist die Funktion f mit

1. Berechnen Sie die lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle .

   (2 P)

 

2. Die Funktion f hat drei Wendestellen. Bestimmen Sie diese Stellen.

   (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 7 – Analysis (Pool 1)

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit

Betrachtet werden die Dreiecke mit den Eckpunkten , und mit .

1. Begründen Sie, dass der Flächeninhalt jedes dieser Dreiecke mit dem Term bestimmt werden kann.

   (2 P)

 

2. Unter den betrachteten Dreiecken hat eines den größten Flächeninhalt.
   Bestimmen Sie den zugehörigen Wert a.

   (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 8 – Analysis (Pool 2)

Für jeden Wert ist eine Funktion gegeben mit

1. Zeigen Sie, dass die in definierte Funktion F mit

   

   eine Stammfunktion von ist.

   (1 P)

 

2. Untersuchen Sie mithilfe von Skizzen, für welche Werte von a sich unter den Stammfunktionen von solche befinden, die nur negative Funktionswerte haben.

   (4 P)

LÖSUNG

Aufgaben zum Ausdrucken:

Abitur 2020, hilfsmittelfreie Aufgaben, Schleswig-Holstein als PDF

Lösungen

Lösung : HMF 1 – Stochastik

Aufgabe 1 – Vierfeldertafel

 

 

Aufgabe 2 – Bedingte Wahrscheinlichkeit

 

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Lösung : HMF 2 – Stochastik

Aufgabe 1 – Summe 4

Um das Ergebnis 4 zu bekommen, muss eine 1 und 3 bzw. eine 2 und 2 gewürfelt werden. Die Wahrscheinlichkeiten dafür entnehmen wir dem Baumdiagramm.

Die Wahrscheinlichkeit die Summe 4 zu erhalten, liegt bei

 

 

Aufgabe 2 – Erwartungswert 4

Für den Erwartungswert gilt

Unveränderte Werte:

Vorgaben laut Aufgabenstellung:

Alles in die obige Formel eingesetzt ergibt :

Eingesetzt in VI:

Die gesuchten Zahlen sind 4 und 12.

 

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Lösung : HMF 3 – Analytische Geometrie

Aufgabe 1 – Mittelpunkt, Radius, Punkt

Mit der allgemeinen Kugelgleichung

können wir den Mittelpunkt und Radius ablesen mit

Setzen wir nun 2 geeignete Punktkoordinaten in die Kugelgleichung K ein, z. B. und , so erhalten wir die 3. Punktkoordinate:

Durch das Wurzelziehen erhalten wir 2 Lösungen:

Mit der 1. Lösung erhalten wir und es ergibt sich der Punkt .

 

 

Aufgabe 2 – Berührpunkt

Die Aufgabe lässt sich auf zweierlei Arten lösen:

1. Berechnung der Schnittpunkte zwischen Gerade und Kugel
2. Nachweisen, dass die Gerade eine Tangente an der Kugel ist

 

 

Lösungsweg 1 – Schnittpunkt Gerade/Kugel

Für Kugel und Geraden gibt es 3 mögliche Lagen,

Für Kugel und Geraden gibt es 3 mögliche Lagen, wie hier zu sehen ist. Das bedeutet, dass es nur

1. 2 Schnittpunkte
2. 1 Schnittpunkt
3. keinen Schnittpunkt

geben kann.

Wir untersuchen nun die Anzahl der Lösungen bei der Schnittpunktberechnung. Dazu benötigen wir zuerst die Geradengleichung.

Zur Schnittpunktberechnung setzen wir die Gerade g in die Kugel

ein. Gerade g können wir auch schreiben als

Eingesetzt in K erhalten wir

Es existiert genau 1 Lösung mit . Eingesetzt in g ergibt dann

Die Gerade berührt die Kugel in dem Punkt .

 

 

Lösungsweg 2 – Nachweisen der Tangente

Beim Vergleichen der Koordinaten von und können wir erkennen,

dass Punkt A genau 1 Einheit unter Mittelpunkt M und damit auf dem Rand der Kugel liegt.

Damit A ein Berührpunkt (Tangentialpunkt) der Geraden g ist, muss der Vektor orthogonal zum Vektor liegen. Das ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null ergibt.

Die Vektoren sind orthogonal zueinander. Folglich berührt die Gerade im Punkt die Kugel.

 

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Lösung : HMF 4 – Analytische Geometrie

Aufgabe 1 – Punkt am Rande der Grundfläche

Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt 10 unter dem Mittelpunkt der Deckfläche und lautet .
Liegt Punkt P auf der Oberfläche einer Kugel K mit dem Mittelpunkt und dem Radius r=10, so liegt Punkt P auch auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders. Denn P befindet sich ebenso wie die Grundfläche in der -Ebene.

Diese Kugelgleichung lautet

Um nachzuweisen, dass Punkt P auf der Kugeloberfläche liegt, führen wir eine Punktprobe durch und setzen die Punktkoordinaten ein.

Die Aussage ist wahr. Damit liegt Punkt P auf dem Rand der Grundfläche.

 

 

Aufgabe 2 – Größter und kleinster Abstand

Der Punkt S befindet sich 10 Einheiten oberhalb von Punkt P.
Punkt T liegt auf der gegenüberliegenden Seite des Grundkreises nach oben auf die Deckfläche projiziert.

Wir erhalten Punkt S mit

und Punkt T mit

 

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Lösung : HMF 5 – Analytische Geometrie

Aufgabe 1 – Identische Geraden

Damit 2 Geraden identisch sind, müssen sie einen gemeinsamen Punkt haben und parallel zueinander sein.
Bei parallelen Geraden sind die Richtungsvektoren kollinear zueinander und es gilt

k eingesetzt in II :

a und k eingesetzt in I :

Das ist eine wahre Aussage. Damit sind und identisch.

 

Aufgabe 2 – Orthogonale Geraden

Sind 2 Geraden orthogonal zueinander, so ergibt das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich Null.

Mit der PQ-Formel

erhalten wir

 

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Lösung : HMF 6 – Analysis

Aufgabe 1 – Lokale Änderungsrate

Die lokale Änderungsrate wird mit der 1. Ableitung von f bestimmt:

an der Stelle bestimmt:

 

Wendestellen

Teil 1 – Notwendige Bedingung

Nach der Regel des Nullprodukts unterscheiden wir 2 Fälle:

Anwenden der PQ-Formel :

wir erhalten

 

Teil 2 – Hinreichende Bedingung

 

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Lösung : HMF 7 – Analysis

Aufgabe 1 – Term

Die Fläche des Dreiecks wird bestimmt mit

 

Aufgabe 2 – Wert a

Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bekommen, verwenden wir die Bedingungen der Extrempunktberechnung. Dafür benötigen wir zunächst die 1. Ableitung von

Mit der Produkt- und Kettenregel gilt

 
notwendige Bedingung:

 
hinreichende Bedingung:

 

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Lösung : HMF 8 – Analysis

Aufgabe 1 – Stammfunktion von f

Es bieten sich 2 mögliche Wege an:

1. Es gilt . Der Nachweis ist erbracht, wenn beim Ableiten von auch heraus kommt.
2. Aufleiten von .

 

Version 1 – Ableiten von F

kann mit der Kettenregel abgeleitet werden:

 

Version 2 – Aufleiten von f

Die verkettete Funktion wird mit dem Substitutionsverfahren integriert. Wir wählen als Substitution

Die 1. Ableitung wird geschrieben als

und wir erhalten

Mit z und dz eingesetzt ergibt sich

Mit Konstante C = 3 und a = 2 erhalten wir

 

 

Aufgabe 2 – Negative Funktionswerte

Die Stammfunktion

ist eine Potenzfunktion 4. Grades,

die um 2 Einheiten nach rechts verschoben ist.

Wie leicht zu erkennen ist, haben nur Stammfunktionen mit einem negativem a einen negativen Funktionswert.
Allerdings ist für , also nicht negativ. Deshalb muss der -Wert auch noch angepasst werden. Damit alle Funktionswert negativ sind,muss gelten .

 

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