Abituraufgaben 2020 – HMF

 

Inhaltsverzeichnis

 

Aufgaben

 

HMF 1 – Stochastik (Pool 1)

Für ein Zufallsexperiment mit den beiden Ereignissen A und B gilt P(A) = 0{,}6 und P(\overline{B}) = 0{,}3 sowie P(A \cap \overline{B}) = 0{,}2.

  1. Erstellen Sie für die beschriebene Situation eine vollständige Vierfeldertafel.

    (3 P)

  2.  

  3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P_A(\overline{B}).

    (2 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 2 – Stochastik (Pool 1)

Die Abbildung zeigt das Netz eines Würfels.

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  1. Der Würfel wird zweimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden geworfenen Zahlen 4 ist.

    (2 P)

  2.  

  3. Die Zahlen “1” und “3” werden jeweils durch eine neue Zahl ersetzt. Das Verhältnis der beiden neuen Zahlen ist ebenfalls 1:3. Betrachtet man bei einmaligen Werfen des geänderten Würfels die geworfene Zahl, so ist der zugehörige Erwartungswert 4.
    Ermitteln Sie die beiden neuen Zahlen.

    (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 3 – Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben ist eine Kugel K mit

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  1. Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M und den Radius r der Kugel K sowie die Koordinaten eines Punktes P auf dieser Kugel an.

    (2 P)

  2.  

  3. Gegeben sind die Punkte A(4 | 4 | 0) und B(0 | 8 | 0).Zeigen Sie, dass die Gerade durch A und B die Kugel K in genau einem Punkt berührt.

    (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 4 – Analytische Geometrie (Pool 1)

In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der x_1x_2-Ebene liegt.

M(8 | 5 | 10) ist der Mittelpunkt der Deckfläche.

  1. Weisen Sie nach, dass der Punkt P(5 | 1 | 0) auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.

    (2 P)

  2.  

  3. Unter allen Punkten auf dem Rand der Grundfläche hat der Punkt S den kleinsten Abstand von P, der Punkt T den größten.Geben Sie die Koordinaten von S an und bestimmen Sie die Koordinaten von T.

    (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 5 – Analytische Geometrie (Pool 2)

Für jedes a \in \mathbb{R}} sind die Geraden g_a und h_a gegeben durch

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und

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Die Geraden g_a und h_a haben den gemeinsamen Punkt P(1 | 1 | 1).

  1. Untersuchen Sie, ob es ein a \in \mathbb{R} gibt, für das g_a und h_a sogar identisch sind.

    (2 P)

  2.  

  3. Zeigen Sie, dass es genau ein a \in \mathbb{R} derart gibt, so dass g_a und h_a orthogonal zueinander sind.

    (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 6 – Analysis (Pool 1)

Gegeben ist die Funktion f mit

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  1. Berechnen Sie die lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle x=-1.

    (2 P)

  2.  

  3. Die Funktion f hat drei Wendestellen. Bestimmen Sie diese Stellen.

    (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 7 – Analysis (Pool 1)

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit

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Betrachtet werden die Dreiecke mit den Eckpunkten O(0 | 0), P(a | 0) und Q\Big(a | f(a)\Big) mit a>0.

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  1. Begründen Sie, dass der Flächeninhalt jedes dieser Dreiecke mit dem Term \frac{1}{2}a^2e^{-a} bestimmt werden kann.

    (2 P)

  2.  

  3. Unter den betrachteten Dreiecken hat eines den größten Flächeninhalt.
    Bestimmen Sie den zugehörigen Wert a.

    (3 P)

LÖSUNG

 

 

HMF 8 – Analysis (Pool 2)

Für jeden Wert a \in \mathbb{R}\setminus\{0\} ist eine Funktion f_a gegeben mit

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  1. Zeigen Sie, dass die in \mathbb{R} definierte Funktion F mit

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    eine Stammfunktion von f_2 ist.

    (1 P)

  2.  

  3. Untersuchen Sie mithilfe von Skizzen, für welche Werte von a sich unter den Stammfunktionen von f_a solche befinden, die nur negative Funktionswerte haben.

    (4 P)

LÖSUNG

Aufgaben zum Ausdrucken:

Abitur 2020, hilfsmittelfreie Aufgaben, Schleswig-Holstein als PDF

Lösungen

Lösung : HMF 1 – Stochastik

Aufgabe 1 – Vierfeldertafel

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Aufgabe 2 – Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Lösung : HMF 2 – Stochastik

Aufgabe 1 – Summe 4

Um das Ergebnis 4 zu bekommen, muss eine 1 und 3 bzw. eine 2 und 2 gewürfelt werden. Die Wahrscheinlichkeiten dafür entnehmen wir dem Baumdiagramm.

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Die Wahrscheinlichkeit die Summe 4 zu erhalten, liegt bei

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Aufgabe 2 – Erwartungswert 4

Für den Erwartungswert gilt

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Unveränderte Werte:

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Vorgaben laut Aufgabenstellung:

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Alles in die obige Formel eingesetzt ergibt :

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Eingesetzt in VI:

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Die gesuchten Zahlen sind 4 und 12.

 

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Lösung : HMF 3 – Analytische Geometrie

Aufgabe 1 – Mittelpunkt, Radius, Punkt

Mit der allgemeinen Kugelgleichung

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können wir den Mittelpunkt und Radius ablesen mit

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Setzen wir nun 2 geeignete Punktkoordinaten in die Kugelgleichung K ein, z. B. x_1=4 und x_2=4, so erhalten wir die 3. Punktkoordinate:

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Durch das Wurzelziehen erhalten wir 2 Lösungen:

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Mit der 1. Lösung erhalten wir x_3=2 und es ergibt sich der Punkt P(4 | 4 | 2).

 

 

Aufgabe 2 – Berührpunkt

Die Aufgabe lässt sich auf zweierlei Arten lösen:

  1. Berechnung der Schnittpunkte zwischen Gerade und Kugel
  2. Nachweisen, dass die Gerade eine Tangente an der Kugel ist

 

 

Lösungsweg 1 – Schnittpunkt Gerade/Kugel

Für Kugel und Geraden gibt es 3 mögliche Lagen,

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Für Kugel und Geraden gibt es 3 mögliche Lagen, wie hier zu sehen ist. Das bedeutet, dass es nur

  1. 2 Schnittpunkte
  2. 1 Schnittpunkt
  3. keinen Schnittpunkt

geben kann.

Wir untersuchen nun die Anzahl der Lösungen bei der Schnittpunktberechnung. Dazu benötigen wir zuerst die Geradengleichung.

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Zur Schnittpunktberechnung setzen wir die Gerade g in die Kugel

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ein. Gerade g können wir auch schreiben als

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Eingesetzt in K erhalten wir

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Es existiert genau 1 Lösung mit r = 0. Eingesetzt in g ergibt dann

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Die Gerade berührt die Kugel in dem Punkt A(4 | 4 | 0).

 

 

Lösungsweg 2 – Nachweisen der Tangente

Beim Vergleichen der Koordinaten von M(4 | 4 | 1) und A(4 | 4 | 0) können wir erkennen,

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dass Punkt A genau 1 Einheit unter Mittelpunkt M und damit auf dem Rand der Kugel liegt.

Damit A ein Berührpunkt (Tangentialpunkt) der Geraden g ist, muss der Vektor \vv{AB} orthogonal zum Vektor \vv{AM} liegen. Das ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null ergibt.

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Die Vektoren sind orthogonal zueinander. Folglich berührt die Gerade im Punkt A(4 | 4 | 0) die Kugel.

 

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Lösung : HMF 4 – Analytische Geometrie

Aufgabe 1 – Punkt am Rande der Grundfläche

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Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt 10 unter dem Mittelpunkt der Deckfläche und lautet M_B(8 | 5 | 0).
Liegt Punkt P auf der Oberfläche einer Kugel K mit dem Mittelpunkt M_B(8 | 5 | 0) und dem Radius r=10, so liegt Punkt P auch auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders. Denn P befindet sich ebenso wie die Grundfläche in der x_1x_2-Ebene.

Diese Kugelgleichung lautet

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Um nachzuweisen, dass Punkt P auf der Kugeloberfläche liegt, führen wir eine Punktprobe durch und setzen die Punktkoordinaten ein.

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Die Aussage ist wahr. Damit liegt Punkt P auf dem Rand der Grundfläche.

 

 

Aufgabe 2 – Größter und kleinster Abstand

Der Punkt S befindet sich 10 Einheiten oberhalb von Punkt P.
Punkt T liegt auf der gegenüberliegenden Seite des Grundkreises nach oben auf die Deckfläche projiziert.

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Wir erhalten Punkt S mit

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und Punkt T mit

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Lösung : HMF 5 – Analytische Geometrie

Aufgabe 1 – Identische Geraden

Damit 2 Geraden identisch sind, müssen sie einen gemeinsamen Punkt haben und parallel zueinander sein.
Bei parallelen Geraden sind die Richtungsvektoren kollinear zueinander und es gilt

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k eingesetzt in II :

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a und k eingesetzt in I :

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Das ist eine wahre Aussage. Damit sind g_8 und h_8 identisch.

 

Aufgabe 2 – Orthogonale Geraden

Sind 2 Geraden orthogonal zueinander, so ergibt das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich Null.

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Mit der PQ-Formel

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erhalten wir

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Lösung : HMF 6 – Analysis

Aufgabe 1 – Lokale Änderungsrate

Die lokale Änderungsrate wird mit der 1. Ableitung von f bestimmt:

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an der Stelle x=-1 bestimmt:

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Wendestellen

Teil 1 – Notwendige Bedingung

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Nach der Regel des Nullprodukts unterscheiden wir 2 Fälle:

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Anwenden der PQ-Formel :

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wir erhalten

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Teil 2 – Hinreichende Bedingung

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Lösung : HMF 7 – Analysis

Aufgabe 1 – Term

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Die Fläche des Dreiecks wird bestimmt mit

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Aufgabe 2 – Wert a

Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bekommen, verwenden wir die Bedingungen der Extrempunktberechnung. Dafür benötigen wir zunächst die 1. Ableitung von

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Mit der Produkt- und Kettenregel gilt

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notwendige Bedingung: f\/'(a)=0

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hinreichende Bedingung: f\/''(a) \not= 0

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Lösung : HMF 8 – Analysis

Aufgabe 1 – Stammfunktion von f

Es bieten sich 2 mögliche Wege an:

  1. Es gilt F'(x) \; = \; f(x). Der Nachweis ist erbracht, wenn beim Ableiten von F(x) auch f(x) heraus kommt.
  2. Aufleiten von f(x).

 

Version 1 – Ableiten von F

F(x) kann mit der Kettenregel abgeleitet werden:

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Version 2 – Aufleiten von f

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Die verkettete Funktion f_a wird mit dem Substitutionsverfahren integriert. Wir wählen als Substitution

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Die 1. Ableitung wird geschrieben als

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und wir erhalten

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Mit z und dz eingesetzt ergibt sich

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Mit Konstante C = 3 und a = 2 erhalten wir

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Aufgabe 2 – Negative Funktionswerte

Die Stammfunktion

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ist eine Potenzfunktion 4. Grades,

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die um 2 Einheiten nach rechts verschoben ist.

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Wie leicht zu erkennen ist, haben nur Stammfunktionen mit einem negativem a einen negativen Funktionswert.
Allerdings ist F_a(2) = 0 für C= 0, also nicht negativ. Deshalb muss der C-Wert auch noch angepasst werden. Damit alle Funktionswert negativ sind,muss gelten a < 0 \quad \textrm{und} \quad C < 0.

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