Stochastik

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Inhaltsverzeichnis




Aufgaben: Fahrradhändler


Alle in Ihren Lösungen verwendeten Zufallsgrößen müssen explizit eingeführt werden.
Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsgrößen.


Ein Fahrradhändler hat festgestellt, dass es sich bei \(40\%\) aller von ihm verkauften Fahrräder um Mountainbikes handelt. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl verkaufter Fahrräder die Anzahl der Mountainbikes binomialverteilt ist.



Binomialverteilung

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer zufälligen Auswahl von \(100\) verkauften Fahrrädern
    • genau \(30\) Mountainbikes befinden,
    • mindestens \(35\) und weniger als \(45\) Mountainbikes befinden.

      (5 P)


  1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter einer zufälligen Auswahl von \(250\) verkauften Fahrrädern die Anzahl der Mountainbikes um mindestens \(10\%\) größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl.

    (3 P)


  1. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term

    \( 1 - 0{,}6^{10} - 10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^9 \)

    berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an.

    (3 P)


  1. Der Händler hat berechnet, dass er im September des Jahres 2020 mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(96\%\) mehr als \(800\) Mountainbikes verkaufen wird. Ermitteln Sie, von welcher Anzahl verkaufter Fahrräder er bei dieser Berechnung mindestens ausgegangen ist.

    (4 P)





Aluminiumrahmen

Der Anteil der Mountainbikes unter allen verkauften Fahrrädern beträgt weiterhin \(40\%\). \(20\%\) aller verkauften Fahrräder haben einer Rahmen aus Aluminium. \(45\%\) aller verkauften Fahrräder sind weder Mountainbikes noch haben sie einer Rahmen aus Aluminium.
Bestimmen Sie den Anteil der Fahrräder mit einem Rahmen aus Aluminium unter den verkauften Mountainbikes.

(4 P)





Jahr 2019

Die 1. Abbildung


zeigt für einige Monate des Jahres 2019 jeweils den Anteil der Mountainbikes unter allen verkauften Fahrrädern.

  1. Im April wurden \(810\) Mountainbikes verkauft. Bestimmen Sie für diesen Monat die Anzahl aller verkauften Fahrräder.

    (2 P)


  1. Der Anteil der Mountainbikes lag im Mai und Juni insgesamt bei \(46\%\); im Juli war er größer als als im Mai und im August größer als im Juni. Entscheiden Sie, ob es dennoch möglich ist, dass der Anteil der Mountainbikes im Juli und August insgesamt kleiner war als insgesamt im Mai und Juni. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

    (3 P)





Onlineportal

Der Händler verkauft \(70\%\) der von ihm verkauften Fahrräder über sein Ladengeschäft \(L\), den Rest über sein Onlineportal \(O\). In beiden Fällen bietet er an, für das gekaufte Fahrrad eine Garantieverlängerung abzuschließen \((G)\).

  1. Vervollständigen Sie zu diesem Sachverhalt das Baumdiagramm in der 2. Abbildung


    Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für ein zufällig ausgewähltes verkauftes Fahrrad eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird, kleiner als \(70\%\) ist.

    (5 P)


  1. Nach einer Neugestaltung seines Onlineportals vermutet der Händler, dass der Anteil der Fahrräder, für die beim Onlinekauf eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird, auf über \(45\%\) gestiegen ist. Erstellen Sie einen Hypothesentest mit einer Stichprobengröße von \(80\) Fahrrädern, der geeignet ist, die Vermutung des Händlers auf einem Signifikanzniveau von \(5\%\) zu stützen. Geben Sie auch die entsprechende Entscheidungsregel an.

    (8 P)





Aussage

Betrachtet werden zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) eines Zufallsexperiments, deren Wahrscheinlichkeit jeweils ungleich Null ist. Beweisen Sie folgende Aussage:

Wenn

\( P(A) \cdot P(\overline{B}) \; = \; P(A \cap \overline{B}) \)

ist, dann ist auch

\( P(A) \cdot P(B) \; = \; P(A \cap B) . \)

(3 P)




Aufgaben zum Ausdrucken




Lösungen: Fahrradhändler


Lösung : Binomialverteilung

Aufgabe 1 - Verkauf von 100 Fahrrädern

a) Bernoullikette

Wir berechnen die Binomialverteilung mit der Bernoullikette

\( P(x = k) =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \end{smallmatrix} p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)


Wir benötigen also \(n\),\(p\) und \(k\) und wählen

\( \begin{array}{ l } n = 100 \\[5pt] p = 0{,}4 \\[5pt] k = 30 \\ \end{array} \)


Hier bis \(x=70\) dargestellt:

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Mit \(P_{n;p}(x=k)\) ist also \(P_{100;0.4}(x = 30)\) zu berechnen.

Mit den Taschenrechnerfunktionen geht das recht einfach. Mit dem CASIO fx-991DE X gehen wir auf \(MENU\) und Verteilungsfunktion mit \(7\).

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Wir wählen die Binomialdichte mit \(4\)

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Weiter gehen wir auf Variable \(2\) und geben die Werte ein. Jede Eingabe wird mit \(=\) bestätigt.

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Zum Schluss noch einmal mit \(=\) bestätigen.

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Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter \(100\) zufällig ausgewählten Fahrräder genau \(30\) Mountainbikes befinden beträgt \(1\%\).



b) Kumulierte Binomialverteilung

Wir berechnen die kumulierte (aufsummierte) Binomialverteilung mit

\( P(x\leq k) =\displaystyle{\sum_{i=0}^k} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ i \end{array} \right) \end{smallmatrix} p^i \cdot (1-p)^{n-i} \)


Wir benötigen also \(n\),\(p\) und \(k\) und wählen

\( \begin{array}{ l } n = 100 \\[5pt] p = 0{,}4 \\[5pt] 35 \leq k < 45 \\ \end{array} \)


Graphisch dargestellt:

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Wir berechnen

\( P_{100;0.4}(35 \leq k < 45) \; = \; P(x \leq 44) \, - \, P(x \leq 34) \)


Wir wählen dieses Mal in den

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die kumulierte Binomialverteilung. Dazu gehen wir mit \(\blacktriangledown\) Pfeil runter auf die nächste Seite

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und wählen die \(1\). Um mehrere Werte einzugeben

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wählen wir die Liste \(1\). Wir geben \(34\) und \(44\) ein.

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Wir geben die Werte

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ein und bestätigen mit \(=\)

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Es gilt

\( \begin{array}{ r c l } P_{100;0.4}(35 \leq k < 45) & = & P(x \leq 44) \, - \, P(x \leq 34) \\[6pt] & = & 0{,}821 \, - \, 0{,}1303 \\[6pt] & = & 0{,}6907 \\ \end{array} \)


Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter \(100\) zufällig ausgewählten Fahrräder mindestens \(35\) und weniger als \(45\) Mountainbikes befinden beträgt \(69{,}07\%\).






Aufgabe 2 - Erwartungswert

Der Erwartungswert ist

\( \begin{array}{ r c l } \mu & = & n \cdot p \\[6pt] & = & 250 \cdot 0{,}4 \\[6pt] & = & 100 \\ \end{array} \)


Um \(10\%\) mehr zu erhalten, multiplizieren wir mit \(1{,}1\) :

\( 100 \cdot 1{,}1 \;\ = \; 110 \)


Wir berechnen also

\( \begin{array}{ r c l } P(x \geq 110) & = & 1 \, - \, P(x \leq 109) \\[6pt] & = & 1 \, - \, 0{,}8896 \\[6pt] & = & 0{,}1104 \\[6pt] & = & 11{,}04\% \\ \end{array} \)







Aufgabe 3 - Ereignis des Terms

Umgeformt lautet der Term

\( \begin{array}{ l } 1 - 0{,}6^{10} - 10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^9 \\[10pt] \; = \; 1 - \left( 0{,}6^{10} \; + \; 10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^9 \right) \\[10pt] \; = \; 1 - \bigg( 1 \cdot 1 \cdot 0{,}6^{10} \; + \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 10 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot 0{,}4^{1} \cdot 0{,}6^{9} \bigg) \\[10pt] \; = \; 1 - \bigg( \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot 0{,}4^{0} \cdot 0{,}6^{10} \; + \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 10 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot 0{,}4^{1} \cdot 0{,}6^{9} \bigg) \\ \end{array} \)


Mit der Formel von Bernoulli

\( P( x = k ) = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \)


gilt

\( \begin{array}{ r c l } 1 - \big( P_{10;0.4}(x=0) \; + \; P_{10;0.4}(x=1) \big) & = & 1 - \big( P_{10;0.4}(x \leq 1) \big) \\[8pt] & = & P_{10;0.4}(x \geq 2) \\ \end{array} \)


\(n=10\) ist die Anzahl der zufällig ausgesuchten Fahrräder und \(p=0{,}4\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mountainbike ausgewählt wird.

Der Term drückt die Wahrscheinlichkeit dafür aus, dass von \(10\) zufällig ausgesuchten Fahrrädern mindestens \(2\) Mountainbikes darunter sind.







Aufgabe 4 - mindestens verkaufte Fahrräder


\( \begin{array}{ r c l l } P(x > 800) & > & 0{,}96 & \\[6pt] 1 - P(x \leq 800) & > & 0{,}96 & | \; -1 \\[6pt] -P(x \leq 800) & > & -0{,}04 & | \cdot (-1) \\[6pt] P(x \leq 800) & < & 0{,}04 & \\ \end{array} \)


Basierend auf der kumulierten Binomialverteilung gilt

\( \displaystyle{\sum_{i=0}^{800}} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ i \end{array} \right) \end{smallmatrix} 0{,}4^i \cdot (1-0{,}4)^{n-i} \; < \; 0{,}04 \)


Leider können wir die Ungleichung nicht mit einem einfachen Solve-Befehl oder auf andere einfache Weise lösen (mit einem CAS-Rechner geht dies allerdings schon); zumindest ist mir ein solcher Weg nicht bekannt. Deshalb bleibt nur der Weg über Näherung mit der Normalverteilung.


Betrachten wir nun die Ungleichung graphisch, so ergibt sich dieses Bild.

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Diese Binomialverteilung wird in die Normalteilung transformiert,

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bei der die Werte

\( \begin{array}{ r c l } \mu & = & 0 \\[6pt] \sigma & = & 1 \\ \end{array} \)


gelten. Umgewandelt in die Normalverteilung gilt nun

\( \Phi(z_0) \; < \; 0{,}04 \)


\(z_0\) wird nun aus \(k=800\) berechnet mit

\( \begin{array}{ r c l } z_0 & = & \frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma} \\[8pt] & = & \frac{k + 0{,}5 - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}} \\[8pt] & = & \frac{800 + 0{,}5 - n \cdot 0{,}4}{\sqrt{n \cdot 0{,}4 \cdot (1 - 0{,}4)}} \\[8pt] & = & \frac{800{,}5 - 0{,}4 n}{\sqrt{0{,}24 n}} \\ \end{array} \)


Wir können jetzt also sagen, dass

\( \begin{array}{ r c l l } P(x \leq 800) & < & 0{,}04 & \\[6pt] \Phi(z_0) & < & 0{,}04 & \\[6pt] \Phi \left(\frac{800{,}5 - 0{,}4 n}{\sqrt{0{,}24 n}}\right) & < & 0{,}04 & \\ \end{array} \)


ist. Mit der inversen Normalverteilung können wir nun \(z_0\) und damit \(n\) berechnen. Beim CASIO fx-991 DE X wählen wir \(MENU\) \(7\)

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sowie die inverse Normalverteilung mit \(3\) und geben ein

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Für \(\mu\) und \(\sigma\) lassen wir die Werte stehen.

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Es ist also

\( \begin{array}{ r c l l } \Phi^{-1} (0{,}04) & < & -1{,}75 & \\[6pt] \frac{800{,}5 - 0{,}4 n}{\sqrt{0{,}24 n}} & < & -1{,}75 & \\ \end{array} \)


Wir lösen nun diese Ungleichung mit dem SOLVE-Befehl als Gleichung.

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Wir bestätigen mit \(=\)

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Die Überprüfung mit der kumulierten Binomialverteilung ergibt

\( \begin{array}{ r c l l } P_{2099;0.4}(x \leq 800) & = & 0{,}0405 & \\[6pt] P_{2100;0.4}(x \leq 800) & = & 0{,}039 & \\ \end{array} \)


Das bedeutet, dass

\( P_{2100;0.4}(x > 800) \, > \, 96\% \)


ist. Der Händler ist demnach von mindestens \(2100\) verkauften Fahrräder ausgegangen.









Lösung : Aluminiumrahmen

Um den Sachverhalt zu verdeutlichen, wird das Ganze als Vierfeldertafel dargestellt. Dabei werden folgende Variablen verwendet:

\(M\) : ''Das Fahrrad ist ein Mountainbike.''
\(\overline{M}\) : ''Das Fahrrad ist kein Mountainbike.''
\(A\) : ''Das Fahrrad hat einen Rahmen aus Aluminium.''
\(\overline{A}\) : ''Das Fahrrad hat keinen Rahmen aus Aluminium.''


\( \begin{array}{ c | c | c | c } & \; \displaystyle{M} \; & \; \displaystyle{\overline{M}} \; & \;\sum \; \\[6pt] \hline \displaystyle{A} & \color{green}{0{,}05} & \color{green}{0{,}15} & 0{,}2 \\[6pt] \hline \displaystyle{\overline{A}} & \color{green}{0{,}35} & 0{,}45 & \color{green}{0{,}8} \\[6pt] \hline \sum & 0{,}4 & \color{green}{0{,}6} & \displaystyle{1} \\ \end{array} \)


Es handelt sich hier um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die wie folgt berechnet wird:

\( P_M(A) \; = \; \frac{P(M \cap A)}{P(M)} \; = \; \frac{0{,}05}{0{,}4} \; = \; 0{,}125 \; = \; 12{,}5\% \)







 



Lösung : Jahr 2019

Aufgabe 1 - Monat April

Der relative Anteil von Mountainbikes \(M\) an den verkauften Fahrrädern \(F\) betrug im April \(0{,}36\). Es gilt nun

\( \begin{array}{ r c l l } 0{,}36 & = & \frac{M}{F} & \\[6pt] 0{,}36 & = & \frac{810}{F} & | \cdot F \\[6pt] 0{,}36 F & = & 810 & | : 0{,}36 \\[6pt] F & = & 2250 & \\ \end{array} \)








Aufgabe 2 - Zeitraum Mai bis August

Betrachten wir Abbildung 1,


so können wir folgende Anteile der Mountainbikes an den verkauften Fahrrädern im jeweiligen Monat ablesen:

\( \begin{array}{ r c l } \textit{Mai} & : & 0{,}4 \\[6pt] \textit{Juni} & : & 0{,}5 \\[6pt] \textit{Juli} & : & 0{,}44 \\[6pt] \textit{August} & : & 0{,}52 \\ \end{array} \)


Das heißt, dass der Anteil der Mountainbikes für den Zeitraum Mai bis Juni insgesamt zwischen \(40\%\) und \(50\%\) liegen muss, was mit \(46\%\) ja auch gegeben ist. Der Anteil der Mountainbikes für den Zeitraum Juli bis August muss zwischen \(44\%\) und \(52\%\) liegen.

Könnte er also zum Beispiel bei \(45\%\) liegen?


Mit den Ereignissen

\(M\) : ''Anteil der Mountainbikes im Zeitraum Juli - August''
\(\overline{M}\) : ''Anteil der Fahrräder, die keine Mountainbikes sind, im Zeitraum Juli - August''
\(J\) : ''Anteil der Mountainbikes im Monat Juli''
\(A\) : ''Anteil der Mountainbikes im Monat August''
\(V\) : ''Anteil der verkauften Fahrräder im Juli bezogen auf den Zeitraum Juli - August''


wird folgender Wahrscheinlichkeitsbaum betrachtet:

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Es gilt nun folgende Gleichung:

\( \begin{array}{ r c l l } P(M) & = & P(V) \cdot P(J) + P(\overline{V}) \cdot P(A) & \\[6pt] 0{,}45 & = & p \cdot 0{,}44 + (1-p) \cdot 0{,}52 & \\[6pt] 0{,}45 & = & 0{,}44 p + 0{,}52 - 0{,}52 p & | - 0{,}45 \\[6pt] 0 & = & 0{,}07 - 0{,}08 p & | + 0{,}08 p \\[6pt] 0{,}08 p & = & 0{,}07 & | : 0{,}08 \\[6pt] p & = & 0{,}875 & \\ \end{array} \)


Das zeigt, dass es möglich sein kann, dass der Anteil der Mountainbikes im Juli und August insgesamt kleiner war als der Anteil der Mountainbikes im Mai und Juli insgesamt.

Denn nämlich genau dann, wenn im Juli \(87{,}5\%\) der Fahrräder verkauft wurden, die im Juli und August insgesamt verkauft wurden, lag der Anteil an Mountainbikes in diesem Zeitraum bei \(45\%\).









Lösung : Onlineportal

Aufgabe 1 - Baumdiagramm

Die Wahrscheinlichkeit einer Garantieverlängerung unter der Voraussetzung, dass ein Fahrrad im Laden gekauft wurde, wird mit der bedingten Wahrscheinlichkeit

\( P_L(G) \; = \; \frac{P(L \cap G)}{P(L)} \; = \; \frac{0{,}56}{0{,}7} \; = \; 0{,}8 \)

berechnet.

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Die Wahrscheinlichkeit, dass für ein zufällig ausgewähltes Fahrrad eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird ist

\( P(G) \; = \; P(L \cap G) + P(O \cap G) \; = \; 0{,}56 \cdot 0{,}135 \; = \; 0{,}695 < 0{,}7 \)








Aufgabe 2 - Signifikanztest

\(x\) beschreibt die Anzahl der Fahrräder, für die bei einem Onlinekauf eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird und ist binomialverteilt mit \(n=80\).

Bisher war die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Onlinekauf eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird, \(p=45\%\). Der Händler vermutet nun, dass diese Wahrscheinlichkeit gestiegen ist. Diese Vermutung ist mit \(h_1\) zu stützen.

Wir wählen

\(h_1 : \, p > 0{,}45\) als zu beweisende Hypothese

\(h_0 : \; p \leq 0{,}45\) als Gegenhypothese, der Nullhypothese


Bei einem Signifikanztest können wir nicht unmittelbar ermitteln, in welchem Intervall \(h_1\) gilt. Denn es ist nicht ausgeschlossen, dass \(h_0\) dort auch gilt. Vielmehr gehen wir indirekt vor und ermitteln zunächst, in welchem Bereich \(h_0\) nicht gilt.

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Wie hier zu sehen ist liegt ein rechtsseitiger Test vor, denn das \(k\) grenzt \(h_0\) nach rechts gegen die Hypothese \(h_1\) ab. Oder anders ausgedrückt: Der zu berechnende Verwerfungsbereich von \(h_0\) liegt auf der rechten Seite.

Es wird nun der Verwerfungsbereich \(V [ k ; 80 ]\) mit \(\alpha = 5%\) von \(h_0\) berechnet mit

\( P(x \geq k) \leq 0{,}05 \)


Das \(x \geq\) wird in \(x \leq\) umgeformt zur Berechnung mit der kumulierten Verteilung.

\( \begin{array}{ r c l l } P(x \geq k) & \leq & 0{,}05 \\[6pt] 1 - P(x \leq k-1) & \leq & 0{,}05 & | -1 \\[6pt] -P(x \leq k-1) & \leq & -0{,}95 & | \cdot (-1) \\[6pt] P(x \leq k-1) & \geq & 0{,}95 \\ \end{array} \)


Diese Ungleichung können wir nun nicht berechnen (eine Ausnahme bilden die CAS-Rechner: mit dem Casio Classpad zum Beispiel kann der Befehl invBinomialCdf verwendet werden), denn die Binomialverteilung liegt als diskrete Funktion vor. Das heißt, dass es nur einzelne Punkte der Verteilung mit \(x \in \{0, 1, 2, 3, \dots , 80 \}\) gibt. Es entsteht somit eine Treppenform.


Die Lösung ist nun, Die Binomialverteilung näherungsweise durch eine stetige Funktion, also eine Funktion, die lückenlos alle \(x\)-Werte abdeckt, darzustellen. Es bietet sich die Normalverteilung an.

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Es gilt

\( \begin{array}{ r c l l } P(x \leq k-1) & \geq & 0{,}95 \\[6pt] \Phi(z_0) & \geq & 0{,}95 \\ \end{array} \)


Denn \(\Phi(z)\) ist die Stammfunktion von \(\varphi(z)\). Also wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis \(z_0\) über die hellblaue Fläche mit

\( \displaystyle{\int}_{-\infty}^{z_0}\varphi(z)dz \; = \; \Phi(z_0) \)


berechnet. Um z zu berechnen, benötigen wir \(\mu\) und \(\sigma\).

\( \begin{array}{ l } \mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}45 = 36 \\[6pt] \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{80 \cdot 0{,}45 \cdot (1-0{,}45)} = \sqrt{19{,}8} \\ \end{array} \)


Mit der LaPlace-Bedingung muss \(\sigma>3\) sein, damit eine gute Näherung der Normalverteilung an die Binomialverteilung gewährleistet ist und der \(k\)-Wert hinreichend genau berechnet werden kann. Das ist hier gegeben.

Ferner ist zu beachten, dass der Annahmebereich \(A=\{0, \dots , k-1\}\)

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nicht ganz bis zum Ende des Annahmebereiches von \(h_0\) reicht. Zur Berechnung von \(z_0\) muss noch ein halber Streifen hinzugefügt werden. Es wird \(z_0\) ermittelt mit

\( (k - 1) + 0{,}5 \; = \; k - 0{,}5 \)


Wir nun berechnen mit der inversen Normalverteilung

\( \begin{array}{ r c l l } \Phi (z_0) & = & 0{,}95 & \\[6pt] \Phi \left( \frac{k - 0{,}5 - \mu}{\sigma} \right) & = & 0{,}95 & \\[6pt] k - 0{,}5 & = & \Phi_{\mu ; \sigma}^{-1}(0{,}95) & \\[8pt] k - 0{,}5 & = & \Phi_{36 ; \sqrt{19{,}8}}^{-1}(0{,}95) & \\ \end{array} \)


Beim CASIO fx-991 DE X gehen wir mit \(MENU\) \(7\) \(3\) zu der inversen Normalverteilung und geben

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ein. Zweimal mit \(=\) bestätigen ergibt

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\( \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{array}{ r c l l } k - 0{,}5 & = & 43{,}32 & | + 0{,}5 \\[6pt] k & = & 43{,}82 & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \)


Damit müsste \(k=44\) und \(k-1 = 43\) sein.


Die Überprüfung mit der kumulierten Binomialverteilung mit \(n=80\) und \(p=0{,}45\) ergibt

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Es gilt nun

\( \begin{array}{ r c l l } P(x \leq k-1) & \geq & 0{,}95 \\[6pt] P(x \leq 43) & \geq & 0{,}95 \\ \end{array} \)


Also ist \(k-1 = 43\) und \(k=44\). Damit ist die Berechnung mithilfe der Normalverteilung bestätigt.

Wir erhalten den Annahmebereich und den Verwerfungsbereich von \(h_0\) mit

\( A=[0 ; 43] \quad \textit{und} \quad V=[44 ; 80] \)


Entscheidungsregel

Haben wir bei dieser Stichprobe mit einer Stichprobengröße von \(80\) mindestens \(44\) Fahrrädern, bei der eine Garantieverlängerung abgeschlossen wurde, so kann mit \(95\%\)-iger Sicherheit (Irrtumswahrscheinlichkeit: \(\alpha=5\%\)) die Vermutung des Händlers gestützt werden.
Andernfalls müsste die Vermutung des Händlers verneint werden.









Lösung : Aussage

Es gilt

\( \begin{array}{ r c l } P(A) & = & P(A \cap B) \, + \, P(A \cap \overline{B}) \\[8pt] P(A) & = & P(A \cap B) \, + \, P(A) \cdot P(\overline{B}) \\ \end{array} \)


Mit der Gegenwahrscheinlichkeit \(P(\overline{B}) = 1 - P(B)\) folgt

\( \begin{array}{ r c l l } P(A) & = & P(A \cap B) \, + \, P(A) \cdot \big(1 - P(B) \big) & \\[8pt] P(A) & = & P(A \cap B) \, + \, P(A) - P(A) \cdot P(B) & | + P(A) \cdot P(B) \\[8pt] P(A) + P(A) \cdot P(B) & = & P(A \cap B) \, + \, P(A) & | - P(A) \\[8pt] P(A) \cdot P(B) & = & P(A \cap B) & \\ \end{array} \)