Analysis 1

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Notre-Dame

Im Jahr \(2019\) zerstörte ein Großbrand das Dach der Kathedrale Notre-Dame de Paris. Eine der vielen Ideen für den geplanten Wiederaufbau sieht die Errichtung eines Glasdaches mit einem gläsernen Turm darauf vor.

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In einem geeigneten Koordinatensystem wird der Dachfirst mit Hilfe von Funktionsgraphen modelliert. Die Funktionswerte geben die Höhe des Dachfirsts über dem Boden an; Die \(x\)-Achse beschreibt das Bodenniveau. Dabei entspricht eine Längeneinheit \(10 \, m\) in der Wirklichkeit.



Funktion f

Zunächst wird eine ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades betrachtet. Der Graph von \(f\) verläuft durch die beiden Punkte \(P(0|3)\) und \(W(3|4)\). Dabei ist \(W\) ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Mit Hilfe des Graphen von \(f\) wird über dem Intervall \([0;3]\) ein erstes Teilstück des Dachfirsts modelliert.

  1. Leiten Sie einen Funktionsterm von \(f\) her.

    \(\; \big[\text{Zur Kontrolle: } \; f(x) \; = \; \frac{1}{27} x^3 - \frac{1}{3} x^2 + x + 3 \big]\)

    (6 P)


  1. Berechnen Sie die Höhe des Dachfirsts über dem Boden an der Stelle \(x = 1\).

    (2 P)


  1. Geben Sie einen Funktionsterm der Ableitungsfunktion \(f'\) und die Steigung des Graphen von \(f\) an der Stelle \(x = 0\) an.

    (2 P)


  1. Weisen Sie mit Hilfe einer Rechnung nach, dass der Graph von \(f\) für \(x < 3\) rechtsgekrümmt ist.

    (3 P)





Funktion g

Nun werden eine Funktion \(g\) und ihre Ableitungsfunktion \(g'\) mit

\(\quad g(x) \; = \; (x - 3) e^{x - 5{,}5} + 4 \quad \text{und} \quad g'(x) \; = \; (x - 2) e^{x - 5{,}5}\)

betrachtet. Mit Hilfe des Graphen von \(g\) wird über dem Intervall \([3;6]\) ein weiteres Teilstück des Dachfirsts modelliert.


  1. Ergänzen Sie die Wertetabelle zu \(g\) auf dem Arbeitsblatt (FAQ beachten)


    und zeichnen Sie den Graphen von \(g\) über dem Intervall \([3;6]\) in das dort vorgegebene Koordinatensystem.

    (4 P)


  1. Die Graphen von \(f\) und \(g\) verlaufen beide durch den Punkt \(W(3|4)\).

    Prüfen Sie, ob der Dachfirst dort knickfrei modelliert wird.

    (3 P)


  1. Bestimmen Sie alle Extrem- und Wendestellen der auf ganz \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(g\).

    (8P)


  1. Der Graph der Funktion \(g\) wird an der \(y\)-Achse gespiegelt und dann um zwölf Längeneinheiten nach rechts verschoben. Dadurch ergibt sich der Graph der Funktion \(g^*\), der über dem Intervall \([6;9]\) auf dem Arbeitsblatt gezeigt wird.

    Ermitteln Sie einen Funktionsterm \(g^*(x)\), und stellen Sie diesen Term in der Form

    \(\quad (ax + b) \cdot e^{- x + c} + 4\)

    mit geeigneten reellen Werten \(a\), \(b\) und \(c\) dar.

    (4 P)





Funktionenschar hk

Für eine verbesserte Modellierung des Dachfirsts wird anstelle der Funktion \(g\) die Verwendung der Funktionen \(h_k\) und ihrer Ableitungsfunktionen \(h_k'\) mit

\(\quad h_k(x) \; = \; \dfrac{5}{9}(x - 3)^2 e^{k(x - 6)} + 4\)

und

\(\quad h_k'(x) \; = \; \frac{5}{9}(x - 3)(kx -3k +2) e^{k(x - 6)}\)

mit \(k \geq 0\) vorgeschlagen.


  1. Weisen Sie nach, dass die Funktion \(g\) nicht in der Schar der Funktionen \(h_k\) enthalten ist.

    (2 P)

  2. Zeigen Sie, dass der Term \(5k + \frac{10}{3}\) die Steigung des Graphen von \(h_k\) an der Stelle \(x = 6\) angibt.

    (2 P)


  1. So wie in der Teilaufgabe 4) der Aufgabe der \(\textit{Funktion g}\) lässt sich aus dem Graphen von \(h_k\) der Graph einer Funktion \(h_k^*\) erzeugen. Bei \(x = 6\) modellieren die Graphen von \(h_k\) und \(h_k^*\) dann die Spitze des Dachfirsts.

    Bestimmen Sie denjenigen Wert für \(k\), für den der Innenwinkel der Spitze \(30^{\circ}\) beträgt.

    (4 P)




Aufgaben zum Ausdrucken


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Lösungen: Notre-Dame

Lösung : Funktion f

Aufgabe 1 - Funktionsterm



Um den Funktionsterm zu bestimmen benötigen wir 4 voneinander unabhängige Bedingungen, denn wir haben die 4 Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\).

Es gilt mit dem Punkt \(P(0|3)\) und dem Wendepunkt \(W(3|4)\), dessen Tangentensteigung \(m = 0\) ist,



Diese Bedingungen in die oberen Gleichungen eingesetzt ergibt



Um das Gleichungssystem zu lösen gibt es grundsätzlich 2 Möglichkeiten:

  • Lösung per Hand
  • Lösung mit Taschenrechner



a) Gleichungssystem per Hand lösen

Zunächst setzen wir Gleichung \(\textrm{I}\) in Gleichung \(\textrm{II}\) ein.



Im Gleichungssystem beseitigen wir erst das \(c\) und danach \(a\) mit dem Additionsverfahren.



Wir setzen \(b\) in Gleichung \(\textrm{V}\) ein.



Zum Schluss setzen wir \(a\) und \(b\) in Gleichung \(\textrm{III}\) ein.



Der Term von \(f\) lautet




b) Gleichungssystem per Taschenrechner lösen

Mit dem CASIO fx-991DE X classwiz lassen sich Gleichungssystem mit bis zu 4 Gleichungen lösen, also auch dieses.



Andere Taschenrechner, die nur Gleichungssystem mit bis zu 3 Gleichungen lösen können, verwenden das Gleichungssystem, bei dem \(d\) bereits in Gleichung \(\textrm{II}\) eingesetzt ist.



Nachdem wir mit der Menusteuerung bei dem Punkt Gleichungssyst. angelangt sind

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wählen wir die \(4\) und geben das Gleichungssystem ein.

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Wir bestätigen mit \(=\) .

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Wir bestätigen noch einmal mit \(=\) .

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Und noch einmal.

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Der Term von \(f\) lautet also








Aufgabe 2 - Höhe des Dachfirsts



Der Dachfirst hat an der Stelle \(x=1\) eine Höhe von \(37 \; m\) über dem Boden.




Aufgabe 3 - Ableitungsfunktion von f



Die Steigung des Graphen an einer Stelle wird mit der Tangentensteigung an dieser Stelle, und somit mit der 1. Ableitung bestimmt.





Aufgabe 4 - Krümmung

Die Krümmung wird mit der 2. Ableitung bestimmt.



Ferner muss noch gezeigt werden, dass kein Krümmungswechsel für \(0 \leq x < 3\) stattfindet. Das wäre der Fall, wenn in diesem Bereich ein Wendepunkt vorhanden ist. Dafür gilt die notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\).



Eine mögliche Wendestelle wäre bei \(x = 3\). Das liegt außerhalb des betrachteten Intervalls. Damit ist der Graph für alle \(x < 3\) rechtsgekrümmt.







 



Lösung : Funktion g

Aufgabe 1 - Wertetabelle und Graph von g


Wertetabelle

x 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00
g(x) 4,00 4,07 4,22 4,55 5,21 6,50 8,95



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Aufgabe 2 - knickfreier Übergang

Von der Funktion \(f\) wissen wir, dass der Graph in \(W\) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente hat. Also ist \(f'(3) = 0\). Damit der Graph von \(g\) dort knickfrei anschließt muss gelten



Wir prüfen dies mit



Damit ist



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Hier gestreckt dargestellt ist deutlich zu sehen, dass der Übergang nicht knickfrei ist.








Aufgabe 3 - Extremstellen und Wendestellen

a) Extremstellen

Es gilt die notwendige Bedingung: \(g'(x)=0\)



Nach der Regel vom Nullprodukt muss gelten, dass



ist. Da stets \(e^{x - 5{,}5} > 0\) ist, bleibt nur



Mit der hinreichenden Bedingung \(g''(x) \not=0\) überprüfen wir auf die Art der Extremstelle. Dazu benötigen wir die 2. Ableitung.




\(x=2\) eingesetzt ergibt



Der Graph der Funktion \(g\) hat an der Stelle \(x=2\) einen Tiefpunkt. Um den \(y\)-Wert zu erhalten, setzen wir \(x=2\) in \(g(x)\) ein.



Der Tiefpunkt liegt bei \(T(2|3{,}97)\).



b) Wendestellen

Es gilt die notwendige Bedingung: \(g''(x)=0\)



Wir wenden wieder die Regel vom Nullprodukt an und erhalten mit \(e^{x - 5{,}5} > 0\)



Hier gilt die hinreichende Bedingung \(g'''(x) \not=0\). Entsprechend der Berechnung der 2. Ableitung bilden wir die 3. Ableitung mit der Produktregel.




Eingesetzt in \(g\) erhalten wir



den Wendepunkt \(W(1|3{,}98)\).








Aufgabe 4 - Funktionsterm von g*

Der Funktionsterm kann mit Hilfe der Funktionseigenschaften für Spiegelungen und Verschiebungen bestimmt werden.

Bei einer Spiegelung der Funktion \(g\) mit



um die \(y\)-Achse wird das \(x\) negativ gesetzt mit


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Bei einer Verschiebung um \(12\) Einheiten nach rechts müsste der \(x\)-Wert um \(12\) herabgesenkt werden, damit bei den \(x\)-Werten, die \(12\) weiter rechts liegen, die gleichen \(y\)-Werte erscheinen.

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Das ergibt dann



Daraus folgt, dass


ist.








 



Lösung : Funktionenschar hk

Aufgabe 1 - Funktion g liegt nicht in der Schar

Betrachten wir die Funktionenschar \(h_k\) mit



etwas genauer, so können wir erkennen, dass für \(x=6\) das \(k\) verschwindet. Wir nutzen das aus und berechnen



Das bedeutet nun, dass alle Funktionen der Schar durch Punkt \((6|9)\) laufen.
Wie verhält sich das nun bei der Funktion \(g\)?

In der Wertetabelle aus der Aufgabe mit Funktion \(g\) haben wir festgestellt, dass \(g\) durch den Punkt \((6|8{,}95)\) verläuft. Folglich kann die Funktion \(g\) keine Funktion der Schar \(h_k\) sein.








Aufgabe 2 - Term

Die Steigung berechnen wir mit der 1. Ableitung.








Aufgabe 3 - Innenwinkel von 30°

Der Wert von \(k\) wird über die Tangentensteigung berechnet.

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Haben wir einen Innenwinkel von \(30^\circ\), so hat die Tangente von \(h_k\) an der Stelle \(x=6\) einen Steigungswinkel von \(75^\circ\). Es gilt



Mit der vorherigen Aufgabe erhalten wir dann