Analysis 2

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Digitales Messgerät

Ein digitales Messgerät misst bei einem Diabetes-Patienten kontinuierlich den Glukosewert (Blutzuckerwert). Der Glukosewert dieses Patienten wird in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) im Intervall \([0 ; 3{,}75]\) mit Hilfe der Funktion \(g\) mit

\( \quad g(t) \; = \; 13 \cdot t^3 - 78 \cdot t^2 + 104 \cdot t + 96 \)

modelliert. Dabei wird der Glukosewert \(g(t)\) in \(u\) (Units) und die Zeit \(t\) in \(h\) (Stunden) seit Messbeginn angegeben. Die Abbildung 1 auf dem Beiblatt (FAQ beachten)


zeigt den Graphen von \(g\) im betrachteten Intervall.



Unterzuckerung

  1. Bei einem Glukosewert von unter \(70 \; u\) spricht man von Unterzuckerung. Bestimmen Sie mit Hilfe des Graphen die Länge des Zeitraums, in dem Unterzuckerung vorliegt.

    (2 P)


  1. Etwas mehr als 3 Stunden nach Messbeginn liegt im Bereich der Unterzuckerung der niedrigste Glukosewert. Berechnen Sie den zugehörigen Zeitpunkt.

    (3 P)


  1. Weisen Sie nach, dass der Glukosewert eine Stunde nach Messbeginn um mehr als \(40\%\) größer ist als zu Beginn der Messung.

    (3 P)


  1. Berechnen Sie den durchschnittlichen Glukosewert innerhalb der ersten 2 Stunden nach Messbeginn.

    (3 P)





Änderungsraten

Aus medizinischer Sicht ist ein zu schnelles Absinken des Glukosewerts gefährlich.


  1. \(T(2|-52)\) ist der tiefste Punkt des Graphen der Ableitungsfunktion \(g'\) über dem Intervall \([0 ; 3{,}75]\).
    Interpretieren Sie dies im Sachzusammenhang.

    (3 P)


  1. Die folgenden Terme beschreiben unterschiedliche Änderungsraten der Funktion \(g\).
    • Term A: \(\quad \frac{g(3) - g(1)}{3 - 1}\)
    • Term B: \(\quad \lim \limits_{h \to 0} \frac{g(1 + h) - g(1)}{h}\)

      Geben Sie an, welche Änderungsraten diese beiden Terme beschreiben.

      (4 P)


  1. Liegt die momentane Änderungsrate unter einem Wert von \(-40\frac{u}{h}\), so zeigt das Messgerät des Patienten ein Warnsymbol an.
    Weisen Sie nach, dass dieses Warnsymbol im betrachteten Zeitintervall mehr als eine Stunde angezeigt wird.

    (4 P)





Funktionenschar f

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_a\) mit

\(\quad f_a(t) \; = \; a \cdot \left(t^3 - 4 \cdot t \right) \quad \text{und}\; a > 0\)

Die Abbildung 2 auf dem Beiblatt (FAQ beachten)


zeigt den Graphen von \(f_1\).


  1. Für jedes \(a > 0\) hat der Graph von \(f_a\) genau einen Hochpunkt \(H_a\).
    Beschreiben Sie, wie sich die Lage von \(H_a\) ändert, wenn sich der Wert des Parameters \(a\) verdreifacht.

    (3 P)

  2. Die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((2|0)\) schließt mit der \(t\)-Achse einen Winkel ein.
    Bestimmen Sie denjenigen Wert für \(a\), für den dieser Winkel \(45^\circ\) beträgt.

    (3 P)


  1. Weisen Sie durch Rechnung nach:

    Verschiebt man den Graphen von \(g\) nach links entlang der \(t\)-Achse um \(2\) Einheiten und anschließend entlang der \(y\)-Achse nach unten um \(96\) Einheiten, so erhält man einen Graphen, der zur Schar \(f_a\) gehört.

    (5 P)





Funktionenschar h

Gegeben ist die Funktionenschar \(h_a\) mit

\(\quad h_a(t) \; = \; -a \cdot t \quad \text{und} \; a > 0\)

Betrachtet wird der folgende Term:

\(\quad \begin{array}{ r c l } \begin{vmatrix} \displaystyle{\int}_1^{t_0} f_a(t) dt \end{vmatrix} & - & \begin{vmatrix} \displaystyle{\int}_1^{t_0} h_a(t) dt \end{vmatrix} \\ \end{array} \)

Dabei ist \(t_0\) diejenige Lösung der Gleichung \(f_a(t) = h_a(t)\), für die \(1 < t_0 < 2\) gilt.


  1. Zeichnen Sie in Abbildung 2 ein Flächenstück ein, dessen Inhalt mit dem angegebenen Term für \(a=1\) berechnet werden kann.

    (2 P)

  2. Berechnen Sie \(t_0\) sowie den Wert des obigen Terms in Abhängigkeit von \(a\).

    (5 P)




Aufgaben zum Ausdrucken


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Digitales Messgerät : Lösungen

Lösung : Unterzuckerung

Aufgabe 1 - Länge des Zeitraums

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Der Zeitraum beträgt








Aufgabe 2 - niedrigster Glukosewert

Der niedrigste Glukosewert liegt im lokalen Tiefpunkt der Funktion \(g\). Es gilt die notwendige Bedingung



Mit der 1. Ableitung



ist



Wir lösen dies mit der PQ-Formel oder wie hier mit den Taschenrechnerfunktionen.

Nach MENU \(\rightarrow\) Gleichung/Funkt \(\rightarrow\) \(2\)

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wählen wir \(2\). Wir geben die Parameter ein

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und bestätigen mit \(=\). Wir erhalten

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Mit \(S \Leftrightarrow D\) wird der Wert dezimal angezeigt.

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Wir bestätigen mit \(=\) und lassen uns entsprechend den 2. Wert anzeigen.

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Für Tiefpunkte gilt die hinreichende Bedingung



Wir überprüfen mit der 2. Ableitung



die berechneten \(t\)-Werte.



Damit liegt der Tiefpunkt bei



Für den \(y\)-Wert setzen wir \(t\) in \(g(t)\) ein:



Der Tiefpunkt lautet \(T(3{,}15|55{,}97)\).





Aufgabe 3 - mehr als 40 Prozent

Wir berechnen die beiden Messwerte.



Wir ermitteln das Verhältnis der beiden Werte zueinander, wobei der Grundwert von \(100\%\) von \(g(0)=96\) gebildet wird.



Damit liegt der Messwert eine Stunde nach Beginn der Messung um \(40{,}625\%\) höher als zu Beginn der Messung.





Aufgabe 4 - Durchschnittswert

Mittelwerte oder auch Durchschnittswerte berechnen wir mit der Formel



Angewendet für \(g(t)\) für die ersten beiden Stunden ergibt



Graphisch bedeutet das, dass die Größe des grün gefärbten Rechtecks der Größe der schraffierten Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0;2]\) entspricht.

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Lösung : Änderungsraten

Aufgabe 1 - tiefster Punkt

Der tiefste Punkt in der Ableitungsfunktion ist der Wendepunkt mit dem größten Gefälle im Graphen von \(g\). Dabei ist



2 Stunden nach Messbeginn haben wir ein ein stärkstes Absinken des Glukosewertes von \(52 \; u\) pro Stunde.

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Aufgabe 2 - unterschiedliche Änderungsraten

Term \(A\) beschreibt die durchschnittliche Änderung des Glukosewertes im Zeitintervall \(1 \leq t \leq 3\) mit



Term \(B\) beschreibt die momentane Änderung des Glukosewertes zum Zeitpunkt eine Stunde nach Messbeginn mit








Aufgabe 3 - Warnsymbol

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Wir berechnen die Zeitpunkte bei denen \(g'(t)=-40\) ist.



Die Gleichung kann auf unterschiedliche Weise gelöst werden; zum Beispiel händisch mit der PQ-Formel oder mit den Taschenrechnerfunktionen (SOLVE-Befehl bzw. Nullstellenberechnung von Polynomen).

a) Lösung mit der PQ-Formel



Damit ist der Zeitraum





b) Lösung mit dem SOLVE-Befehl

Wir geben die Gleichung



mit der Taste \(x\) und das rote Gleichheitszeichen mit der Tastenkombination \(\color{#CC0000}{ALPHA}\) \(CALC\) ein. Das Ergebnis wird nun mit dem Befehl SOLVE mithilfe der Tastenkombination \(\color{#C19A6B}{SHIFT}\) \(CALC\) abgerufen. Wir erhalten beispielsweise folgende Ausgabe:

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Die \(1\) ist noch nicht die Lösung, sondern ein Vorgabewert mit der die Lösungssuche gestartet wird. Die Lösung erhalten wir, wenn wir \(=\) drücken.

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Eine Lösung ist nun \(1{,}445299804\). Die zweite Lösung liegt weiter rechts. Wir geben als Startwert eine größere Zahl vor, zum Beispiel \(3\). Wir betätigen noch einmal \(=\) und geben die \(3\) ein.

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Mit zweimal \(=\) erhalten wir

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Die zweite Lösung ist also



Damit ist der Zeitraum



c) Lösung mit der Nullstellenberechnung von Polynomen

Zur Nullstellenberechnung formen wir die Gleichung um.



Wir rufen die Nullstellenberechnung im CASIO fx-991DE X mit dem MENU

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auf. Wir betätigen \(=\)

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und wählen \(2\)

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und noch einmal \(2\) . Anschließend geben wir die Parameter ein.

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Wir bestätigen mit \(=\). Durch Umschalten in die Dezimalanzeige mit \(S \Leftrightarrow D\) erhalten wir

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und für den anderen Wert entsprechend

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Damit ist der Zeitraum








 



Lösung : Funktionenschar f

Aufgabe 1 - Hochpunkt

Sei \(k=3a\) und \(f_k\) mit



definiert. Der \(k\)-Wert ist der Streckungsfaktor der Funktionenschar \(f_k\) und gibt die Streckung in \(y\)-Richtung an. Das bedeutet, dass alle Punkte der Funktion \(f_k\) den 3-fachen \(y\)-Wert der Funktion \(f_a\) haben. Also hat der Hochpunkt \(H_k\) auch die 3-fache Höhe des Hochpunktes \(H_a\).

Auf die Lage des \(t\)-Wertes des Hochpunktes hat dieser Streckungsfaktor keine Auswirkung. Wir können dies mit einer Extrempunktberechnung belegen. Es gilt die notwendige Bedingung



An dieser Stelle ist bereits zu erkennen, dass der \(t\)-Wert eines möglichen Hochpunktes stets an der gleichen Stelle liegt. Folglich ändert sich nur die Höhe des \(y\)-Wertes.








Aufgabe 2 - Winkel von 45°

An der Stelle \(t=2\) soll die Tangente laut Vorgabe einen Steigungswinkel von \(45^\circ\) haben.

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Der Steigungswinkel wird berechnet mit



Wir bilden die 1. Ableitung.



Mit \(tan(45^\circ) = 1\) und \(t=2\) erhalten wir








Aufgabe 3 - Verschiebung von Funktion g

Führen wir die angegebene Verschiebung durch, so muss der \(t\)-Wert um \(2\) erhöht werden und \(g(t)\) um \(96\) reduziert werden.



Mit der 4. binomischen Formel



erhalten wir








 



Lösung : Funktionenschar h

Aufgabe 1 - Flächenstück

Mit



wird der Schnittpunkt der Graphen berechnet. \(t_0\) ist der \(t\)-Wert im Intervall \([1;2]\), wo sich die Graphen schneiden.

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Aufgabe 2 - Berechnung des Terms

Wir berechnen mit \(a=1\) die Schnittstellen.



\(t_2 = \sqrt{3} \approx 1{,}732\) ist die einzige Lösung im Intervall \([1;2]\) und stellt den Wert von \(t_0\) dar.

Weiter berechnen wir die Fläche im Intervall \([1;\sqrt{3}]\) für alle \(a>0\).