CAS 1 (Lösung für Ti-Nspire)
Inhaltsverzeichnis
Aufgaben: Deich
Angesichts des vorhergesagten Anstiegs des Meeresspiegels wird an der Nordseeküste ein neuer Klimadeich geplant. Stellvertretend für den ganzen Deich wird ein ausgewählter Deichquerschnitt betrachtet, dessen obere Begrenzungslinie durch die Funktion \(f\) mit
\( f(x) \; = \; -288 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \quad \textit{und} \quad 0 \leq x \leq 9 \)
modelliert wird. Im Folgenden entspricht dabei eine Längeneinheit sowohl in \(x\)- als auch in \(y\)-Richtung stets \(10 \, m\) in der Wirklichkeit.
\(A\) ist ein Bezugspunkt auf dem Deich, der zur Vermessung dient. \(H\) ist der höchste Punkt des Deiches.
Funktion f
- Bestimmen Sie die Höhe des Punktes \(A\) und die Steigung des Deiches im Punkt \(A\).
(3 P)
- Berechnen Sie die Breite des Deiches in einer Höhe von \(5 \; m\).
(3 P)
- Berechnen Sie die Deichhöhe.
(4 P)
Schar von g
Im Folgenden wird die Schar der Funktionen \(g_k\) mit
\( g_k(x) \; = \; -8 \cdot k^2 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - k} \quad f\ddot{u}r \; k \in \mathbb{R} \; und \; 0 \leq x \leq 9 \)
betrachtet.
- Zeigen Sie, dass \(f\) ein Element dieser Schar ist.
(2 P)
- Begründen Sie anhand des Funktionsterms:
Für jedes \(k \not= 0\) hat \(g_k\) genau eine Nullstelle.
(2 P)
Ein Planungsbüro modelliert mit Hilfe der Funktionen \(g_k\) die obere Begrenzungslinie von weiteren Deichquerschnitten. Dazu werden im Folgenden ausschließlich die Parameterwerte \(k\) mit \(5 \leq k \leq 7\) betrachtet.
- Für jedes solches \(k\) ist
\( H_k\left( 9 - \sqrt{5} \, \Bigl| \, 8 \cdot \sqrt{\frac{5}{e}} \cdot k^2 \cdot e^{-k} \right) \)
der Hochpunkt des Graphen von \(g_k\). Die \(y\)-Koordinate von \(H_k\) entspricht der Deichhöhe.- Bestimmen Sie denjenigen Wert für \(k\), für den die Deichhöhe \(11 \, m\) beträgt.
(2 P)
- Berechnen Sie die Deichhöhe des höchsten Deiches, der mit Hilfe einer dieser Funktion \(g_k\) mit \(5 \leq k \leq 7\) modelliert werden kann.
(5 P)
- Bestimmen Sie denjenigen Wert für \(k\), für den die Deichhöhe \(11 \, m\) beträgt.
- Für jedes betrachtete \(k\) hat \(g_k\) im Intervall \(\left[0 \, ; \, 9 - \sqrt{5}\right]\) genau eine Wendestelle.
Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Wendepunkts.
\(\left[ \text{Kontrolle:} \quad \text{Die Wendestelle ist } \; 9 - \sqrt{5} \, \right]\)(3 P)
- Der Deich steigt seeseitig bis zu seinem höchsten Punkt an. Dabei verläuft das Deichprofil im Uferbereich zunächst flach, wird dann steiler und flacht zum höchsten Punkt hin wieder ab. Aus Stabilitätsgründen darf der maximale Steigungswinkel des Deichprofils seeseitig höchstens \(20^\circ\) betragen.
Untersuchen Sie, für welche \(k\) mit \(5 \leq k \leq 7\) diese Bedingung erfüllt ist.
(5 P)
Deichkrone
Für die weitere Planung wird der durch \(g_{5{,}8}\) modellierte Deich ausgewählt. Dieser soll einen begradigten Bereich (die sogenannte Deichkrone) erhalten.
- Ermitteln Sie rechnerisch die Höhe, in der der Deich begradigt werden müsste, damit die Deichkrone waagerecht und \(12 \, m\) breit ist.
(3 P)
Es wird entschieden, den Deich für \(6{,}0 \leq x \leq 7{,}2\) zu begradigen.
- Zeigen Sie, dass der Deich auf diese Weise nicht waagerecht begradigt wird.
Bestimmen Sie die Neigung des begradigten Bereichs in Prozent.
(3 P)
- Ein Abschnitt des geplanten Deich soll \(2 \, km\) lang werden.
Berechnen Sie die Menge des benötigten Materials in Kubikmetern.
(5 P)
Aufgaben zum Ausdrucken
Lösungen: Deich
Lösung : Funktion f
Aufgabe 1 - Punkt A
Wir definieren zunächst die Funktion \(f\).
Beachte: Der Mal-Punkt muss bei der Definition mitgeschrieben werden.
Die Höhe wird mit
berechnet. Die Höhe ist also \(5{,}77 \, m\). Für die Steigung im Punkt \(A\) die 1. Ableitung von \(f(x)\) benötigt. Dazu wählen wir das Ableitungswerkzeug
mit dem \(menu\) .
Die Ableitung wird wie folgt gebildet:
Die Steigung im Punkt \(A\) ist nun
Aufgabe 2 - Breite des Deiches
Für die Breite lösen wir die Gleichung
\( f(x) \; = \; 0{,}5 \)
und verwenden den Solve-Befehl:
mit
\( 8{,}2602 - 4{,}75525 \; \approx \; 3{,}50495 \)
Der Deich ist ungefähr \(35 \; m\) breit.
Aufgabe 3 - Deichhöhe
Die größte Höhe des Deiches liegt im Hochpunkt der Funktion \(f\).
notwendige Bedingung
\( f'(x)=0 \)
Wir lösen die Gleichung.
\(11{,}2361\) liegt außerhalb des Definitionsbereichs mit \(0 \leq x \leq 9\) und kommt als gesuchter \(x\)-Wert nicht infrage.
hinreichende Bedingung
\( f''(x) \not= 0 \)
Wir bilden zunächst die 2. Ableitung
und überprüfen dann \(x=6{,}76393\).
\(f''(6{,}76393) < 0\). Also liegt bei \(x=6{,}76393\) ein Hochpunkt vor.
Funktionswert
Die Deichhöhe beträgt \(9{,}68 \, m\).
Lösung : Schar von g
Aufgabe 1 - Element der Schar
Schreiben wir die Funktionsgleichungen
\( \begin{array}{ c c r } f(x) & = & -288 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \\[5pt] g_k(x) & = & -8 \cdot k^2 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - k} \\ \end{array} \)
untereinander, so fällt auf, dass sie sich nur an zwei Stellen unterscheiden. Setzen wir für \(k=6\) ein, so erhalten wir
\( \begin{array}{ r c l } g_6(x) & = & -8 \cdot 6^2 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \\[6pt] & = & -288 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \\[6pt] & = & f(x) \\ \end{array} \)
Damit ist \(f\) eine Funktion der Schar \(g_k\).
Aufgabe 2 - Nullstellen der Schar
Wir definieren
und berechnen die Nullstellen.
Da nach der Vorgabe \(k \not= 0\) ist, existiert für alle sonstigen \(k\) nur die Nullstelle bei \(x=9\).
Aufgabe 3 - Hochpunkt des Graphen
a) Deichhöhe von 11 Metern
Wir definieren eine Funktion \(h\) für die verschiedenen Höhen des Hochpunktes.
Wichtig dabei ist, die Taste \(e^x\) und nicht den Buchstaben \(e\) zu verwenden.
Für \(e\) schreiben wir \(e^1\)
Wir setzen die Funktionsvorschrift \(h(k)\) mit \(11\) Metern gleich.
Nach der Vorgabe ist nur \(5{,}80697\) eine zulässige Lösung.
b) maximale Deichhöhe
notwendige Bedingung
\( h'(k)=0 \)
Wir definieren die 1. Ableitung
und lösen die Gleichung.
Mit der
hinreichenden Bedingung
\( h''(k) \not= 0 \)
bestimmen wir das Maximum.
Mit \(h''(0)>0\) und \(h''(2)<0\) erhalten wir ein Minimum bei \(k=0\) und ein Maximum bei \(k=2\).
Da rechts vom Maximum die Höhe stetig abfällt ist im Intervall \(5 \leq k \leq 7\) bei \(k=5\) der Deich am höchsten.
Aufgabe 4 - Wendepunkt
notwendige Bedingung
\( g_k''(x)=0 \)
Die 2. Ableitung kann gebildet werden mit
Wir definieren die 2. Ableitung mit
und lösen die obige Gleichung.
Die einzige Lösung, die für
\( k \in [5 ; 7 ] \quad \text{und} \quad x \in \left[0 ; 9 - \sqrt{5} \right] \)
infrage kommt, ist \(x = 5{,}12702\).
hinreichenden Bedingung
\( g_k'''(x) \not= 0 \)
Wir überprüfen den \(x\)-Wert.
\(g'''(5{,}12702) \not= 0\). Damit existiert die Wendestelle.
Funktionswert
Der Wendepunkt lautet
\( W \left( 5{,}12702 \; \Bigl| \; 6{,}91345 \cdot k^2 \cdot e^{-k} \right) \)
Aufgabe 5 - maximaler Steigungswinkel
Die maximale Steigung ist seeseitig, also zwischen dem Tiefpunkt und dem Hochpunkt, im Wendepunkt. Das ist nach der Kontrolllösung bei \(x=9 - \sqrt{15}\).
Die Steigung wird berechnet mit der 1. Ableitung von \(g_k\) bei \(x=9 - \sqrt{15}\) und ist
Für den Steigungswinkel gilt
\( g_k'(x) \; = \; tan(\alpha) \)
Wir berechnen das gesuchte \(k\) mit
Für \(5 \leq k \leq 7\) ist \(k = 5{,}79845 \approx 5{,}8\) die einzige Lösung.
Lösung : Deichkrone
Aufgabe 1 - Höhe der Deichkrone
Für den Deich, der die Deichkrone erhalten soll, definieren wir eine Funktion \(d\) mit \(k = 5{,}8\).
Zunächst wird \(x\) berechnet.
Nur \(6{,}13674\) liegt innerhalb des Definitionsbereichs
\( \mathbb{D} \; = \; \{ x |0 \leq x \leq 9 \} \)
Ebenfalls liegt
\( 6{,}13674 + 1{,}2 \; = \; 7{,}33674 \)
innerhalb des Definitionsbereichs. Die gesuchte Höhe ergibt sich mit
Der Deich ist also \(10{,}28 \, m\) hoch.
Aufgabe 2 - Neigung des begradigten Bereichs
Die Neigung (von der Landseite aus gesehen) wird mit Hilfe des Steigungsdreiecks berechnet.
Es gilt für die Neigung
\( m \; = \; \frac{d(x_2) - d(x_1)}{x_2 - x_1} \)
Dazu berechnen wir die \(y\)-Werte der Punkte.
Es ergibt sich die prozentuale Neigung mit
\( \frac{1{,}06072 - 0{,}993789}{7{,}2 - 6} \cdot 100 \% \; = \; 5{,}58 \% \)
Aufgabe 3 - Menge des Materials
Das benötigte Material entspricht dem Volumen des Deiches und wird berechnet mit
\( V \; = \; \textit{Deichquerschnitt} \cdot \textit{Abschnittslänge} \)
Der Deichquerschnitt kann in drei Teilflächen unterteilt werden:
- der Integralfläche seeseitig bis zur Deichkrone
- der Integralfläche landseitig bis zur Deichkrone
- einem Rechteck unterhalb der Deichkrone mit aufgesetztem Steigungsdreieck
Bei der Querschnittsfläche ist zu beachten, dass sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung eine Einheit \(10 \, m\) sind und der Deichabschnitt in \(km\) angegeben ist. Die Rechnung lautet also
\( V \; = \; 4{,}01523 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2000 \; = \; 803046 \, m^3 \)