CAS 1 (Lösung für Ti-Nspire)

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben: Deich

Angesichts des vorhergesagten Anstiegs des Meeresspiegels wird an der Nordseeküste ein neuer Klimadeich geplant. Stellvertretend für den ganzen Deich wird ein ausgewählter Deichquerschnitt betrachtet, dessen obere Begrenzungslinie durch die Funktion \(f\) mit

\( f(x) \; = \; -288 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \quad \textit{und} \quad 0 \leq x \leq 9 \)

modelliert wird. Im Folgenden entspricht dabei eine Längeneinheit sowohl in \(x\)- als auch in \(y\)-Richtung stets \(10 \, m\) in der Wirklichkeit.

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\(A\) ist ein Bezugspunkt auf dem Deich, der zur Vermessung dient. \(H\) ist der höchste Punkt des Deiches.



Funktion f

  1. Bestimmen Sie die Höhe des Punktes \(A\) und die Steigung des Deiches im Punkt \(A\).

    (3 P)


  1. Berechnen Sie die Breite des Deiches in einer Höhe von \(5 \; m\).

    (3 P)


  1. Berechnen Sie die Deichhöhe.

    (4 P)





Schar von g

Im Folgenden wird die Schar der Funktionen \(g_k\) mit

\( g_k(x) \; = \; -8 \cdot k^2 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - k} \quad f\ddot{u}r \; k \in \mathbb{R} \; und \; 0 \leq x \leq 9 \)

betrachtet.

  1. Zeigen Sie, dass \(f\) ein Element dieser Schar ist.

    (2 P)


  1. Begründen Sie anhand des Funktionsterms:

    Für jedes \(k \not= 0\) hat \(g_k\) genau eine Nullstelle.

(2 P)

Ein Planungsbüro modelliert mit Hilfe der Funktionen \(g_k\) die obere Begrenzungslinie von weiteren Deichquerschnitten. Dazu werden im Folgenden ausschließlich die Parameterwerte \(k\) mit \(5 \leq k \leq 7\) betrachtet.

  1. Für jedes solches \(k\) ist

    \( H_k\left( 9 - \sqrt{5} \, \Bigl| \, 8 \cdot \sqrt{\frac{5}{e}} \cdot k^2 \cdot e^{-k} \right) \)

    der Hochpunkt des Graphen von \(g_k\). Die \(y\)-Koordinate von \(H_k\) entspricht der Deichhöhe.
    • Bestimmen Sie denjenigen Wert für \(k\), für den die Deichhöhe \(11 \, m\) beträgt.

      (2 P)

    • Berechnen Sie die Deichhöhe des höchsten Deiches, der mit Hilfe einer dieser Funktion \(g_k\) mit \(5 \leq k \leq 7\) modelliert werden kann.

      (5 P)


  1. Für jedes betrachtete \(k\) hat \(g_k\) im Intervall \(\left[0 \, ; \, 9 - \sqrt{5}\right]\) genau eine Wendestelle. Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Wendepunkts.

    \(\left[ \text{Kontrolle:} \quad \text{Die Wendestelle ist } \; 9 - \sqrt{5} \, \right]\)

    (3 P)


  1. Der Deich steigt seeseitig bis zu seinem höchsten Punkt an. Dabei verläuft das Deichprofil im Uferbereich zunächst flach, wird dann steiler und flacht zum höchsten Punkt hin wieder ab. Aus Stabilitätsgründen darf der maximale Steigungswinkel des Deichprofils seeseitig höchstens \(20^\circ\) betragen. Untersuchen Sie, für welche \(k\) mit \(5 \leq k \leq 7\) diese Bedingung erfüllt ist.

    (5 P)





Deichkrone

Für die weitere Planung wird der durch \(g_{5{,}8}\) modellierte Deich ausgewählt. Dieser soll einen begradigten Bereich (die sogenannte Deichkrone) erhalten.

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  1. Ermitteln Sie rechnerisch die Höhe, in der der Deich begradigt werden müsste, damit die Deichkrone waagerecht und \(12 \, m\) breit ist.

    (3 P)

Es wird entschieden, den Deich für \(6{,}0 \leq x \leq 7{,}2\) zu begradigen.

  1. Zeigen Sie, dass der Deich auf diese Weise nicht waagerecht begradigt wird. Bestimmen Sie die Neigung des begradigten Bereichs in Prozent.

    (3 P)


  1. Ein Abschnitt des geplanten Deich soll \(2 \, km\) lang werden. Berechnen Sie die Menge des benötigten Materials in Kubikmetern.

    (5 P)





Aufgaben zum Ausdrucken





Lösungen: Deich

Lösung : Funktion f

Aufgabe 1 - Punkt A

Wir definieren zunächst die Funktion \(f\).

Beachte: Der Mal-Punkt muss bei der Definition mitgeschrieben werden.

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Die Höhe wird mit

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berechnet. Die Höhe ist also \(5{,}77 \, m\). Für die Steigung im Punkt \(A\) die 1. Ableitung von \(f(x)\) benötigt. Dazu wählen wir das Ableitungswerkzeug

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mit dem \(menu\) .

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Die Ableitung wird wie folgt gebildet:

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Die Steigung im Punkt \(A\) ist nun

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Aufgabe 2 - Breite des Deiches

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Für die Breite lösen wir die Gleichung

\( f(x) \; = \; 0{,}5 \)


und verwenden den Solve-Befehl:

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mit

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\( 8{,}2602 - 4{,}75525 \; \approx \; 3{,}50495 \)

Der Deich ist ungefähr \(35 \; m\) breit.




Aufgabe 3 - Deichhöhe

Die größte Höhe des Deiches liegt im Hochpunkt der Funktion \(f\).

notwendige Bedingung

\( f'(x)=0 \)


Wir lösen die Gleichung.

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\(11{,}2361\) liegt außerhalb des Definitionsbereichs mit \(0 \leq x \leq 9\) und kommt als gesuchter \(x\)-Wert nicht infrage.


hinreichende Bedingung

\( f''(x) \not= 0 \)


Wir bilden zunächst die 2. Ableitung

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und überprüfen dann \(x=6{,}76393\).

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\(f''(6{,}76393) < 0\). Also liegt bei \(x=6{,}76393\) ein Hochpunkt vor.


Funktionswert

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Die Deichhöhe beträgt \(9{,}68 \, m\).










Lösung : Schar von g

Aufgabe 1 - Element der Schar

Schreiben wir die Funktionsgleichungen

\( \begin{array}{ c c r } f(x) & = & -288 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \\[5pt] g_k(x) & = & -8 \cdot k^2 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - k} \\ \end{array} \)


untereinander, so fällt auf, dass sie sich nur an zwei Stellen unterscheiden. Setzen wir für \(k=6\) ein, so erhalten wir

\( \begin{array}{ r c l } g_6(x) & = & -8 \cdot 6^2 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \\[6pt] & = & -288 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \\[6pt] & = & f(x) \\ \end{array} \)


Damit ist \(f\) eine Funktion der Schar \(g_k\).




Aufgabe 2 - Nullstellen der Schar

Wir definieren

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und berechnen die Nullstellen.

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Da nach der Vorgabe \(k \not= 0\) ist, existiert für alle sonstigen \(k\) nur die Nullstelle bei \(x=9\).




Aufgabe 3 - Hochpunkt des Graphen

a) Deichhöhe von 11 Metern

Wir definieren eine Funktion \(h\) für die verschiedenen Höhen des Hochpunktes.

Wichtig dabei ist, die Taste \(e^x\) und nicht den Buchstaben \(e\) zu verwenden.
Für \(e\) schreiben wir \(e^1\)

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Wir setzen die Funktionsvorschrift \(h(k)\) mit \(11\) Metern gleich.

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Nach der Vorgabe ist nur \(5{,}80697\) eine zulässige Lösung.




b) maximale Deichhöhe
notwendige Bedingung

\( h'(k)=0 \)


Wir definieren die 1. Ableitung

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und lösen die Gleichung.

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Mit der


hinreichenden Bedingung

\( h''(k) \not= 0 \)


bestimmen wir das Maximum.

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Mit \(h''(0)>0\) und \(h''(2)<0\) erhalten wir ein Minimum bei \(k=0\) und ein Maximum bei \(k=2\).

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Da rechts vom Maximum die Höhe stetig abfällt ist im Intervall \(5 \leq k \leq 7\) bei \(k=5\) der Deich am höchsten.




Aufgabe 4 - Wendepunkt
notwendige Bedingung

\( g_k''(x)=0 \)


Die 2. Ableitung kann gebildet werden mit

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Wir definieren die 2. Ableitung mit

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und lösen die obige Gleichung.

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Die einzige Lösung, die für

\( k \in [5 ; 7 ] \quad \text{und} \quad x \in \left[0 ; 9 - \sqrt{5} \right] \)


infrage kommt, ist \(x = 5{,}12702\).


hinreichenden Bedingung

\( g_k'''(x) \not= 0 \)

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Wir überprüfen den \(x\)-Wert.

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\(g'''(5{,}12702) \not= 0\). Damit existiert die Wendestelle.


Funktionswert

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Der Wendepunkt lautet

\( W \left( 5{,}12702 \; \Bigl| \; 6{,}91345 \cdot k^2 \cdot e^{-k} \right) \)




Aufgabe 5 - maximaler Steigungswinkel

Die maximale Steigung ist seeseitig, also zwischen dem Tiefpunkt und dem Hochpunkt, im Wendepunkt. Das ist nach der Kontrolllösung bei \(x=9 - \sqrt{15}\).

Die Steigung wird berechnet mit der 1. Ableitung von \(g_k\) bei \(x=9 - \sqrt{15}\) und ist

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Für den Steigungswinkel gilt

\( g_k'(x) \; = \; tan(\alpha) \)


Wir berechnen das gesuchte \(k\) mit

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Für \(5 \leq k \leq 7\) ist \(k = 5{,}79845 \approx 5{,}8\) die einzige Lösung.









Lösung : Deichkrone

Aufgabe 1 - Höhe der Deichkrone

Für den Deich, der die Deichkrone erhalten soll, definieren wir eine Funktion \(d\) mit \(k = 5{,}8\).

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Zunächst wird \(x\) berechnet.

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Nur \(6{,}13674\) liegt innerhalb des Definitionsbereichs

\( \mathbb{D} \; = \; \{ x |0 \leq x \leq 9 \} \)


Ebenfalls liegt

\( 6{,}13674 + 1{,}2 \; = \; 7{,}33674 \)


innerhalb des Definitionsbereichs. Die gesuchte Höhe ergibt sich mit

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Der Deich ist also \(10{,}28 \, m\) hoch.




Aufgabe 2 - Neigung des begradigten Bereichs

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Die Neigung (von der Landseite aus gesehen) wird mit Hilfe des Steigungsdreiecks berechnet.

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Es gilt für die Neigung

\( m \; = \; \frac{d(x_2) - d(x_1)}{x_2 - x_1} \)


Dazu berechnen wir die \(y\)-Werte der Punkte.

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Es ergibt sich die prozentuale Neigung mit

\( \frac{1{,}06072 - 0{,}993789}{7{,}2 - 6} \cdot 100 \% \; = \; 5{,}58 \% \)




Aufgabe 3 - Menge des Materials

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Das benötigte Material entspricht dem Volumen des Deiches und wird berechnet mit

\( V \; = \; \textit{Deichquerschnitt} \cdot \textit{Abschnittslänge} \)


Der Deichquerschnitt kann in drei Teilflächen unterteilt werden:

  • der Integralfläche seeseitig bis zur Deichkrone
  • der Integralfläche landseitig bis zur Deichkrone
  • einem Rechteck unterhalb der Deichkrone mit aufgesetztem Steigungsdreieck


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Bei der Querschnittsfläche ist zu beachten, dass sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung eine Einheit \(10 \, m\) sind und der Deichabschnitt in \(km\) angegeben ist. Die Rechnung lautet also

\( V \; = \; 4{,}01523 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2000 \; = \; 803046 \, m^3 \)