CAS 2 (Lösung für Classpad)
Inhaltsverzeichnis
Aufgaben: Surfbrett
Surfbretter können am Computer konstruiert und dann automatisch aus einem Styroporblock gefräst werden. Die folgende Abbildung zeigt die Draufsicht eines Surfbretts, das bezüglich der eingezeichneten \(x\)-Achse achsensymmetrisch ist.
Eine Längeneinheit entspricht einen Meter in der Wirklichkeit.
Shortboard
Eine Surferin wünscht sich ein wie in der Zeichnung dargestelltes Shortboard der Länge \(2 \, m\). Die größte Breite von \(0{,}5 \, m\) wird genau in der Mitte zwischen Bugspitze und dem Ende des Hecks erreicht. Am Ende des Hecks hat das Surfbrett eine Breite von \(0{,}2 \, m\). Der in Fahrtrichtung gesehen rechte Rand des Surfbretts (in der Abbildung der obere Teil) soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades modelliert werden.
- Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(f\).
\(\left[ \text{Kontrolle:} \quad f(x)=0{,}05 \cdot x^3 - 0{,}35 \cdot x^2 + 0{,}55 \cdot x \, \right]\)(4 P)
- Zum Vergleich verschiedener Surfbrett-Designs wird oft neben der größten Breite des Surfbretts die Breite des Bretts jeweils \(1\) Fuß \(\left( 30{,}48 \, cm \right)\) von der Spitze des Bugs und vom Ende des Hecks entfernt gemessen (siehe obige Abbildung).
Berechnen Sie die Bugbreite und die Heckbreite für das vorgegebene Modell.( 3 P)
- Es gibt zwei Stellen, an denen das Surfbrett eine Breite von \(40 \; cm\) aufweist.
Ermitteln Sie den Abstand dieser beiden Stellen voneinander.(3 P)
- Berechnen Sie den Öffnungswinkel \(\alpha\) an der Spitze des Surfbretts.
(3 P)
- Nehmen Sie vereinfachend an, dass das Surfbrett eben ist und eine einheitliche Dicke von \(5 \, cm\) hat.
Berechnen Sie das Volumen des Surfbretts und geben Sie dieses Volumen in Liter an.(4 P)
Funboard
Neben dem im ersten Aufgabenteil untersuchten Shortboard gibt es noch viele andere Bauformen von Surfbrettern. Der in Fahrtrichtung gesehen rechte Rand (in der folgenden Abbildung der obere Teil) eines Funboards wird vollständig durch den Graphen der Funktion \(g\) mit
\( g(x) \; = \; 0{,}3 \cdot \sqrt{1 - (x-1)^2} \)
zwischen den beiden Nullstellen beschrieben.
- Zeigen Sie, dass das Funboard eine Länge von \(2 \, m\) hat.
(2 P)
- Geben Sie das Verhalten von \(g'(x)\) für \(x \rightarrow 2\) an und interpretieren Sie dieses Verhalten im Sachzusammenhang.
(3 P)
- Ein Funboard gleicher Bauart soll - wie in der Abbildung dargestellt - teilweise farbig lackiert werden. Dabei soll der Punkt \(P(0{,}75|0)\) geradlinig mit den beiden zur \(x\)-Achse symmetrisch angeordneten Punkten \(Q(b|g(b))\) bzw. \(Q'\) verbunden sein. \(Q\) ist so zu platzieren, dass der Flächeninhalt des gefärbten Teils der Hälfte der Gesamtfläche entspricht. Stellen Sie eine Gleichung auf, die die Situation in Abhängigkeit von \(b\) beschreibt und bestimmen Sie die Koordinaten von \(Q\).
(5 P)
Schar von g
Für jedes solches \(k>0\) wird durch
\( g_k(x) \, = \, 0{,}15 \cdot k \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{2}{k} \cdot x - 1 \right)^2} \quad \text{mit} \; x \in [0;k] \)
eine Funktion \(g_k\) gegeben. Für geeignete \(k\) beschreibt der Graph von \(g_k\)erneut den in Fahrtrichtung gesehen rechten Rand eines Funboards.
- Es gibt ein \(k>0\), für das \(g_k = g\) gilt (mit \(g\) aus Teilaufgabe 2). Geben Sie den entsprechenden Wert für \(k\) an.
(1 P)
- Der Graph von \(g_k\) ist an jeder Stelle \(x\) mit \(0<x<k\) rechtsgekrümmt. Zeigen Sie, dass die größte Breite für das durch \(g_k\) modellierte Funboard an der Stelle \(x = \frac{k}{2}\) angenommen wird.
(3 P)
- Ein Surfer wünscht sich ein durch \(g_k\) modelliertes Funboard, das eine Länge von \(2{,}5\) Metern aufweist. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von \(k\) und ermitteln Sie die größte Breite dieses Funboards.
(4 P)
- Je größer das Verhältnis von größter Breite zur Länge ist, desto stabiler verhält sich ein Surfbrett im Wasser. Weisen Sie nach, dass sich alle durch \(g_k\) modellierten Funboards stabiler im Wasser verhalten als das Shortboard aus dem ersten Aufgabenteil.
(5 P)
Aufgaben zum Ausdrucken
Lösungen: Surfbrett
Lösung : Shortboard
Aufgabe 1 - Funktionsterm von f
Zuerst die allgemeine Definition der Funktion \(f\).
Beachte: Der Mal-Punkt muss bei der Definition mitgeschrieben werden.
Es gelten folgende Bedingungen:
\( \begin{array}{ r c c c l } \text{größte Breite} & : & H( 1|0{,}25 ) & \Rightarrow & \; f(1)=0{,}25 \\[6pt] & & & \Rightarrow & f'(1)=0 \\[6pt] \text{Heckbreite} & : & P( 2| 0{,}1 ) & \Rightarrow & \; f(2)=0{,}1 \\[6pt] \text{Bugspitze} & : & S( 0| 0 ) & \Rightarrow & \; f(0)=0 \\ \end{array} \)
In \(Math1\) verwenden wir das Werkzeug für Gleichungssysteme und drücken dreimal um vier Zeilen zu erhalten. Wir füllen es den obigen Gleichungen entsprechend aus.
Die gesuchte Funktion lautet
\( f(x)=0{,}05 \cdot x^3 - 0{,}35 \cdot x^2 + 0{,}55 \cdot x \)
Aufgabe 2 - Bugbreite und Heckbreite
Wir definieren Funktion \(f\) neu
und berechnen die Werte.
Die Breite beträgt am Bug \(27{,}30795567 \, cm\) und am Heck \(34{,}02780113 \, cm\).
Aufgabe 3 - Breite von 40 cm
Für die Breite gilt
\( f(x) \; = \; 0{,}2 \)
Um die obige Gleichung zu lösen, verwenden wir den \(solve\)-Befehl. Diesen finden wir in \(Math1\) oder auch in \(Math3\).
\(x=4{,}935432332\) liegt außerhalb des Definitionsbereichs. Damit ist die Breite
\( 1{,}537401577 - 0{,}527166091 \; \approx \; 1{,}01 \, m \)
Aufgabe 4 - Öffnungswinkel an der Bugspitze
Der halbe Öffnungswinkel befindet sich zwischen der \(x\)-Achse und der oberhalb liegenden Tangente. Für den Winkel \(\alpha\) gilt also
\( tan\left( \frac{\alpha}{2} \right) \; = \; m \)
Dabei ist \(m\) die Steigung dieser Tangente, die mit
\( m \; = \; f'(0) \)
berechnet wird. Für \(\alpha\) wählen wir die Variable \(a\) und berechnen diese. Hierbei ist zu beachten, dass der Classpad auf Grad, also 360° eingestellt ist.
Die Tangensfunktion ist eine periodische Funktion, so dass es unendlich viele Lösungen gibt. Mit einem geeigneten \(constn(1)\), in diesem Fall scheint \(constn(1)=0\) günstig zu sein, erhalten wir
\( \alpha \; = \; 360 \cdot 0 + 57{,}62158749 \; \approx \; 57{,}62^\circ \)
Aufgabe 5 - Volumen des Surfbretts
Das Volumen des Surfbretts wird berechnet mit
\( V \; = \; Fl\ddot{a}che \; der \; Oberseite \times H\ddot{o}he \; des \; Surfbretts \)
Dabei kann die Oberseite mit dem Integral berechnet werden.
Das Volumen beträgt \(0{,}03666666667 \, m^3 \cdot 1000 \frac{l}{m^3} \; \approx \; 36{,}67 \, l\).
Lösung : Funboard
Aufgabe 1 - Länge des Funboards
Die Definition der Funktion \(g\) lautet
Die Nullstellenstellen berechnen wir mit dem \(solve\)-Befehl.
Damit hat das Funboard eine Länge von \(2 \; m\).
Aufgabe 2 - Verhalten von x strebt gegen 2
Das Werkzeug für Grenzwerte finden wir unter \(Math2\).
Das Verhalten für \(x \rightarrow 2\) ist nicht definiert. Um das näher zu untersuchen, betrachten wir die 1. Ableitung von \(g\).
Den Nenner schreiben wir um.
\( \left(-x^2 + 2 \cdot x\right)^{0{,}5} \;= \; \sqrt{-x^2 + 2 \cdot x} \)
\(x=2\) eingesetzt in den Term ergibt für den Nenner
\( \sqrt{-2^2 + 2 \cdot 2} \;= \; \sqrt{-4 + 4} = 0 \)
\(x=2\) ergibt demnach einen Term in der Form
\( -\frac{0{,}15 \cdot (2 \cdot 2 - 2)}{0} \;= \; -\frac{0{,}3}{0} \)
Der Nenner ist hier Null, was nicht sein darf. Denn durch Null teilen ist nicht definiert. Als Grenzwert könnte die Schreibweise
\( \lim \limits_{x \to 0} \left(-\frac{0{,}3}{x}\right) \)
genommen werden. Geht x nun immer näher an Null heran, wird der der Betrag des Bruches immer größer. Es gilt also
\( \lim \limits_{x \to 0} \left(-\frac{0{,}3}{x}\right) = - \infty \)
Das bedeutet im Sachzusammenhang, dass die Tangente bei \(x=2\) lotrecht zur \(x\)-Achse liegt oder anders ausgedrückt, dass sie parallel zur \(y\)-Achse ist. Entsprechend wäre es für den Graphen unterhalb der \(x\)-Achse. Es entsteht also beim Übergang vom oberen Graphen zum unteren Graphen kein Knick. Das Surfbrett hat am rechten Ende eine perfekte Rundung. Das gleiche gilt für die linke Seite, denn der Term von \(g\) mit
\( 0{,}3 \cdot\sqrt{1 - (x-1)^2} \)
ist die Formel für eine vom Ursprung verschobenen Halbellipse. Das heißt, dass das Funboard sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung symmetrisch ist.
Aufgabe 3 - Hälfte der Gesamtfläche
Die obere Hälfte der gefärbten Fläche ist zusammengesetzt aus einem rechtwinkligen Dreieck und einer Fläche zwischen dem Graphen von \(g\) und der \(x\)-Achse. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks sind zum einen auf der \(x\)-Achse die Länge von \(0{,}75\) und \(b\) und zum anderen der Höhe mit \(g(b)\). Die andere Fläche kann mit dem Integral von \(b\) bis \(2\) berechnet werden.
Es gilt die Gleichung
\( \dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle{\int}_b^2 g(x) dx = \frac{(b-0{,}75) \cdot g(b)}{2} + \displaystyle{\int}_b^2 g(x) dx \)
Gleichungen mit mehreren Variablen \((b{,}x)\) müssen mit dem Classpad über ein Gleichungssystem gelöst werden, hier mit 2 Gleichungen bei 2 Unbekannten. Es wird eine wahre Aussage hinzugefügt.
Der \(y\)-Wert von \(Q\) ist
Es ergibt sich \(Q(1{,}240299792 \, | \, 0{,}2912096168)\)
Lösung : Schar von g
Aufgabe 1 - g als eine Funktion der Schar
Ist \(g\) eine Funktion von \(g_k\), so kann das zugehörige \(k\) durch gleichsetzen der Funktionen ermittelt werden. Zunächst wird \(g_k\) definiert.
Mit \(solve\) berechnen wir \(k\).
Es existiert ein eindeutiges \(k\) mit \(k>0\). Damit ist \(g\) eine Funktion der Schar \(g_k\).
Aufgabe 2 - größte Breite der Schar
Die größte Breite befindet sich dort, wo die Schar \(g_k\) ihren Hochpunkt hat. Es gilt \(g_k'(x)=0\). Wir lösen die Gleichung.
\( x = 0{,}5 \cdot k = \frac{k}{2} \)
ist eine mögliche Extremstelle. Da nach Voraussetzung der Graph an der Stelle \(\frac{k}{2}\) rechtsgekrümmt sein muss, ist \(g_k'\left(\frac{k}{2}\right) < 0\). Damit liegt bei \(\frac{k}{2}\) ein Hochpunkt des Graphen vor.
Aufgabe 3 - Länge von 2,5 Meter
Nach dem Eingangstext gibt \(k\) die Länge des Funboards an. Demnach muss \(k=2{,}5\) sein. Die dazu gehörige Funktion nennen wir \(g25\).
Das \(k=2{,}5\) wirklich der richtige Wert für \(k\) ist, können wir nachweisen, in dem wir die Nullstellen der Funktion berechnen.
Das Funboard hat tatsächlich eine Länge von \(2,5\) Meter. Nach der vorigen Aufgabe ist bei
\( \frac{k}{2} = \frac{2{,}5}{2} = 1{,}25 \)
das Funboard am breitesten. Diese Breite ermitteln wir mit
Das Funboard hat eine größte Breite von \(75 \, cm\).
Aufgabe 4 - stabile Lage im Wasser
Das Shortboard hat ein Verhältnis von
\( \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25 \)
Für das Funboard ermitteln wir die Breite an der Stelle \(\frac{k}{2}\).
\( \frac{0{,}3 \cdot k}{k} = 0{,}3 \)
Damit liegen alle Funboards stabiler im Wasser als das Shortboard.