Stochastik

Inhaltsverzeichnis

Aufgaben: Bogenschützen

Eine Gruppe von Bogenschützen schießt im Training regelmäßig auf die hier

dargestellte Scheibe.

Es soll angenommen werden, dass für jedes Mitglied der Gruppe die Anzahl der Treffer ins Zentrum durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann.

Binomialverteilung

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nike in einer Serie von \(20\) Schüssen das Zentrum
   • genau \(14\)-mal trifft;
     
   • mindestens \(10\)-mal trifft;
     
   • mit mehr als \(60\%\) und weniger als \(80\%\) ihrer Schüsse trifft.

     (7 P)

2. Bestimmen Sie - beispielsweise durch systematisches Probieren - die Anzahl an Schüssen, die Nike mindestens abgeben muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(99\%\) mindestens zweimal zu treffen.

   (4 P)

LÖSUNG

Vierfeldertafel

Nike und Victor trainieren oft gemeinsam. Die Wahrscheinlichkeiten in der abgebildeten Vierfeldertafel beruhen auf ihren Trainingsergebnissen. Beschrieben wird eine Situation, in der beide jeweils einen Schuss abgeben.

V : "Victor trifft ins Zentrum.''
N : "Nike trifft ins Zentrum.''

1. Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel.

   (3 P)

2. Zum Trainingsauftakt schießen die beiden jeweils einen Pfeil ab. Nur einer der beiden Pfeile landet im Zentrum. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Pfeil von Nike abgeschossen wurde.

   (4 P)

3. Für das Spiel "Treffer gewinnt'' vereinbaren Nike und Victor folgende Regel:
   
   Sie schießen abwechselnd, wobei Victor beginnt.
   Wer zuerst das Zentrum trifft, gewinnt. Das Spiel ist damit sofort beendet. Sollten beide jeweils dreimal am Zentrum vorbeischießen, so endet das Spiel ebenfalls und Victor ist Sieger.
   
   Untersuchen Sie, wer von beiden bei diesem Spiel die besseren Gewinnchancen hat.

   (4 P)

LÖSUNG

Hypothesentest

Für die Teilnahme an einem Wettbewerb testet Nike einen neuen Bogen. Nach einer ausreichenden Eingewöhnungsphase hat sie die Vermutung, mit dem neuen Bogen ihre bisherige Trefferquote ins Zentrum auf mehr als \(70\%\) verbessern zu können.

1. Erstellen Sie für eine Serie von \(150\) Schüssen, die Nike mit dem neuen Bogen abgibt, einen Hypothesentest, der geeignet ist, ihre Vermutung auf einem Signifikanzniveau von \(10\%\) zu stützen.
   
   Geben Sie die entsprechende Entscheidungsregel an.

   (8 P)

2. Beschreiben Sie den Fehler zweiter Art im Sachzusammenhang.
   
   Bestimmen Sie dessen Wahrscheinlichkeit unter der Annahme, dass Nikes Trefferquote ins Zentrum mit dem neuen Bogen tatsächlich auf \(75\%\) gestiegen ist.

   (4 P)

LÖSUNG

farbige Federn

In ihrem Köcher hat Nike \(20\) Pfeile, von denen \(17\) Pfeile rote Federn und zwei Pfeile blaue Federn haben. Einer der Pfeile hat goldene Federn.
Nike schießt eine Serie von \(10\) Pfeilen. Dabei zieht sie vor jedem Schuss ohne hinzusehen einen Pfeil aus ihrem Köcher und schießt diesen ab.

1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Serie alle Pfeile rote Federn haben.

   (3 P)

2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Serie mindestens einen Pfeil jeder Federnfarbe enthält.

   (3 P)

LÖSUNG

Aufgaben zum Ausdrucken

Lösungen: Bogenschützen

Lösung : Binomialverteilung

Aufgabe 1 - Treffer bei 20 Schüssen

a) genau 14

Wir berechnen die Binomialverteilung mit der Bernoullikette

\(\quad P(x = k) = \displaystyle{\binom{n}{k}} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

Wir benötigen also \(n\), \(p\) und \(k\) und wählen

\(\quad \begin{array}{ r c c } n & = & 20 \\[6pt] p & = & 0{,}7 \\[6pt] k & = & 14 \\ \end{array} \)

Mit \(P_{n;p}(x=k)\) ist also \(P_{20;0{,}7}(x = 14)\) zu berechnen.

Möglich ist die Berechnung auf dreierlei Arten:

• mit der Bernoullikette
• mit den Tabellenwerken
• mit der Taschenrechnerfunktion für Verteilungen

i. Bernoullikette

Wir setzen \(n=20\), \(p=0{,}7\) und \(k=14\) in die Bernoulliformel ein.

\(\quad P(x = 14) = \displaystyle{\binom{20}{14}} \cdot 0{,}7^k \cdot (1-0{,}7)^{20-14} \; = \; 0{,}1916 \)

ii. Tabelle für Einzelwerte

Bei Einzelwerten verwenden wir \(B_{n;p}(k)\) oder auch \(B(n;p;k)\) mit \(n=20\), \(p=0{,}7\) und \(k=14\) .

Wir wählen die Tabelle mit \(n=20\) .

Da \(p=0{,}7>0{,}5\) ist, lesen wir von unten und rechts (grau unterlegt) die Wahrscheinlichkeit

\(\quad P(x = 14) \; = \; 0{,}1916 \)

ab.

iii. Taschenrechnerfunktion für Einzelwerte

Wer einen Taschenrechner mit den Funktionen für \textit{Verteilungen} hat oder aber über den Bereich dist für distribution verfügt, kann auf einfache Weise den Wert berechnen.

Mit beispielsweise dem CASIO fx-991DE X CLASSWIZ gehen wir auf \(MENU\) und mit den Pfeiltasten nach rechts bis

erscheint. Wir bestätigen mit \(=\) .

Wir wählen die Binomial-Dichte mit \(4\)

und danach die \(2\) .

Wir geben die Werte ein,

wobei wir jede Eingabe mit \(=\) bestätigen. Das Ergebnis erhalten wir mit noch einmal \(=\) .

b) mindestens 10

In diesem Fall ist die Anzahl der Treffer \(k \geq 10\), als Histogramm also

Wir berechnen den Bereich von 10 bis 20 über das Gegenereignis mit

\(\quad P(x \geq 10) \; = \; 1 - P(x \leq 9) \)

und können dies auf zweierlei Arten machen:

• mit den Tabellenwerken
• mit der Taschenrechnerfunktion für Verteilungen

i. Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Bei Bereichen verwenden wir \(F_{n;p}(k)\) oder auch \(F(n;p;k)\) mit \(n=20\), \(p=0{,}7\) und \(k=9\).

Wir wählen die Tabelle mit \(n=20\).

Da \(p=0{,}7>0{,}5\) ist, lesen wir von unten und rechts (grau unterlegt) die Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}9829\) ab. Der so abgelesene Wert (von unten und rechts) muss bei den Summenverteilungen von \(1\) abgezogen werden. Es ergibt sich

\(\quad P(x \leq 9) \; = \; 1 - 0{,}9829 \)

Die Wahrscheinlichkeit für \(x \geq 10\) ist also

\(\quad \begin{array}{ r c l } P(x \geq 10) & = & 1 - P(x \leq 9) \\[6pt] & = & 1 - (1 - 0{,}9829) \\[6pt] & = & 1 - 1 + 0{,}9829 \\[6pt] & = & 0{,}9829 \\[6pt] & = & 98{,}29 \% \\ \end{array} \)

ii. Taschenrechnerfunktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Für \(P(x \leq 9)\) nutzen wir die kumulierte Binomialverteilung des CASIO fx-991DE X CLASSWIZ und gehen auf \(Menu\) \(7\) und mit den Pfeiltasten nach unten.

Wir wählen \(1\)

und dann \(2\) .

Wir geben die Werte ein und bestätigen jeweils mit \(=\) .

Anschließend noch einmal \(=\) .

Wir berechnen die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit

\(\quad \begin{array}{ r c l } P(x \geq 10) & = & 1 - P(x \leq 9) \\[6pt] & = & 1 - 0{,}0171 \\[6pt] & = & 0{,}9829 \\[6pt] & = & 98{,}29 \% \\ \end{array} \)

c) mehr als 60% und weniger als 80%

Zunächst müssen wir feststellen, was 60% und 80% der Schüsse sind, was wir mit \(n \cdot p\) ermitteln.

\(\quad \begin{array}{ r c l } 20 \cdot 0{,}6 & = & 12 \\[6pt] 20 \cdot 0{,}8 & = & 16 \\ \end{array} \)

Mit \(12<k<16\) handelt es sich lediglich um die \(x\)-Werte \(13\), \(14\) und \(15\).

Die Wahrscheinlichkeiten können bei nur 3 Werten einzeln berechnet und dann aufaddiert werden oder aber über die kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Ich wähle hier den zweiten Weg. Es ist

\(\quad \begin{array}{ r c c c l } P(x=k) & = & P(12 < x < 16) & = & P(x \leq 15) - P(x \leq 12) \\ \end{array} \)

Hier haben wir wieder zwei Optionen:

• mit den Tabellenwerken
• mit der Taschenrechnerfunktion für Verteilungen

i. Bereich mit der Tabelle ermitteln

Bei Bereichen verwenden wir \(F_{n;p}(k)\) oder auch \(F(n;p;k)\) mit \(n=20\) und \(p=0{,}7\) .

Damit ist

\(\quad \begin{array}{ r c c c l } P(12 < x < 16) & = & (1-0{,}2375) - (1-0{,}7723) & = & 0{,}5348 \\ \end{array} \)

ii. Taschenrechnerfunktion bei Bereichen

Mit dem CASIO fx-991DE X CLASSWIZ können wir mit einer Liste arbeiten. Wir gehen auf \(Menu\) \(7\) und mit den Pfeiltasten nach unten.

Wir wählen \(1\)

und noch einmal die \(1\) .

Wir geben die Werte ein und bestätigen jeweils mit \(=\) .

Anschließend noch einmal \(=\) drücken.

Wir bestätigen die Eingaben jeweils mit \(=\) und drücken wieder \(=\) .

Damit ist

\(\quad \begin{array}{ r c c c l } P(12 < x < 16) & = & 0{,}7624 - 0{,}2277 & = & 0{,}5347 \\ \end{array} \)

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Aufgabe 2 - Mindestanzahl an Schüssen

Die Trefferwahrscheinlichkeit ist auch hier \(p=0{,}7\). Wie verhält sich nun die Wahrscheinlichkeit bei steigender Anzahl an Schüssen? Dazu 2 Beispiele:

Es ist zu erkennen, dass bei steigender Anzahl an Schüssen die rechte Fläche prozentual im weiter anwächst. Denn bei größer werdenden \(n\) verschiebt sich die Kurve immer weiter nach rechts, so dass die Fläche links von \(x=2\) prozentual immer kleiner wird.

Es gilt Folgendes:

\(\quad \begin{array}{ r c r l } P(x \geq 2) & > & 0{,}99 \\[6pt] 1 - P(x \leq 1) & > & 0{,}99 & | - 1 \\[6pt] -P(x \leq 1) & > & -0{,}01 & | \cdot (-1) \\[6pt] P(x \leq 1) & < & 0{,}01 \\[6pt] \end{array} \)

Wir formen \(P(x \leq 1)\) in einen Term um.

\(\quad \begin{array}{ r c l } P(x \leq 1) & = & P(x = 0) + P(x = 1) \\[6pt] P(x \leq 1) & = & \displaystyle{\binom{n}{0}} \cdot 0{,}7^0 \cdot 0{,}3^{n} +\displaystyle{\binom{n}{1}} \cdot 0{,}7^1 \cdot 0{,}3^{n-1} \\ \end{array} \)

Da nun \(\displaystyle{\binom{n}{0}}=1\), \(\displaystyle{\binom{n}{1}}=n\) und \(0{,}7^0=1\) ist, erhalten wir die vereinfachte Gleichung

\(\quad \begin{array}{ r c l } P(x \leq 1) & = & 0{,}3^{n} + n \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3^{n-1} \\ \end{array} \)

Mit der Tabellenfunktion des Taschenrechners lassen sich nun schnell die Wahrscheinlichkeiten von \(P(x \leq 1)\) aufsteigend anzeigen bei \(n=2\) beginnend. Mit dem CASIO fx-991DE X CLASSWIZ wählen wir zum Beispiel den Bereich von \(2\) bis \(10\) . Dazu wählen wir \(Menu\) \(9\) und geben den Term mit \(x\) statt \(n\) ein.

Wir bestätigen zweimal mit \(=\) .

Es erscheinen folgende Werte:

Mit \(n=7\) ist

\(\quad P(x \geq 2) \; = \; 1 - 0{,}0038 \; = \; 0{,}9962 \; = \; 99{,}62\% \)

Nike muss mindestens \(7\) Schüsse abgeben, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(99\%\) mindestens zweimal ins Zentrum zu treffen.

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Lösung : Vierfeldertafel

Aufgabe 1 - vollständige Vierfeldertafel

Aufgabe 2 - ein Pfeil landet im Zentrum

Hier handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, denn die Voraussetzung ist, dass Nike trifft oder Victor trifft. In der Mengenschreibweise wäre das

\(\quad \left(N \cap \overline{V}\right) \cup \left(\overline{N} \cap V\right) \)

Wir berechnen die bedingte Wahrscheinlichkeit mit

\(\quad \begin{array}{ r c l } P_{\text{einer trifft}}( \text{Nike trifft} ) & = & \frac{P(\text{einer trifft}) \; \cap \; P(\text{Nike trifft}) }{P(\text{einer trifft})} \\ \end{array} \)

Da ≫Nike trifft≪ eine Teilmenge von ≫einer trifft≪ ist gilt

\(\quad \begin{array}{ r c l } P_{\text{einer trifft}}( \text{Nike trifft} ) & = & \frac{P(\text{Nike trifft}) }{P(\text{einer trifft})} \\[8pt] & = & \frac{P(N \; \cap \; \overline{V}) } {P\left((N \; \cap \; \overline{V}) \; \cup \; (\overline{N} \; \cap \; V)\right)} \\[8pt] & = & \frac{P(N \; \cap \; \overline{V}) }{P(N \; \cap \; \overline{V}) \; + \; P(\overline{N} \; \cap \; V)} \\[8pt] & = & \frac{0{,}42 }{0{,}42 \; + \; 0{,}12} \\[8pt] & = & 0{,}7 \\[6pt] & = & 70\% \\ \end{array} \)

Aufgabe 3 - Treffer gewinnt

Der Wahrscheinlichkeitsbaum des Spiels stellt sich folgendermaßen dar.

Die Ereignismenge dafür, dass Victor gewinnt ist

\(\quad E_V \; = \; \left\{ (V) \; , \; (\overline{V} , \overline{N} , V) \; , \; (\overline{V} , \overline{N} , \overline{V} , \overline{N} , V) \; , \; (\overline{V} , \overline{N} , \overline{V} , \overline{N} , \overline{V} , \overline{N}) \right\} \)

Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit

\(\quad \begin{array}{ r c l } P \left( E_V \right) & = & 0{,}4 \\[5pt] & & + \; 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}4 \\[5pt] & & + \; 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}4 \\[5pt] & & + \; 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}3 \\[8pt] & = & 0{,}490792 \\[6pt] & = & 49{,}0792\% \\ \end{array} \)

Die restlichen Prozente müssten auf Nike entfallen. Zur Kontrolle, was aber nicht notwendig wäre, berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für Nike. Zunächst die Ereignismenge:

\(\quad E_N \; = \; \left\{(\overline{V} , N) \; , \; (\overline{V} , \overline{N} , \overline{V} , N) \; , \; (\overline{V} , \overline{N} , \overline{V} , \overline{N} , \overline{V} , N) \right\} \)

Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit

\(\quad \begin{array}{ r c l } P\left( E_V \right) & = & 0{,}6 \cdot 0{,}7 \\[5pt] & & + \; 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}7 \\[5pt] & & + \; 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}7 \\[8pt] & = & 0{,}509208 \\[6pt] & = & 50{,}9208\% \\ \end{array} \)

Damit hat Nike die besseren Gewinnchancen.

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Lösung : Hypothesentest

Aufgabe 1 - Signifikanztest

\(x\) beschreibt die Anzahl der der Schüsse mit dem neuen Bogen, die ins Zentrum treffen und ist binomialverteilt mit \(n=150\).

Im Grunde arbeiten wir wie bei einem Alternativtest mit 2 Hypothesen, die wir gegeneinander abwägen. Die Vermutung von Nike stellt dabei die Hypothese \(h_1\) dar. Da beim Signifikanztest dies die einzige Hypothese ist, konstruieren wir eine Gegenhypothese, die Hypothese \(h_0\).

\( \begin{array}{ r l l } h_1 : & p_1 > 0{,}7 & \textit{als zu beweisende Hypothese} \\[6pt] h_0 : & p_0 \leq 0{,}7 & \textit{als Nullhypothese} \\ \end{array} \)

Laut Aufgabenstellung sollen wir eine Entscheidungsregel dafür aufstellen, wann die Vermutung von Nike als richtig gilt. Das erreichen wir dadurch, indem wir feststellen, wann die Gegenhypothese nicht eintreten kann.

Der Verwerfungsbereich enthält nun die Anzahl an Treffern, bei denen wir die Hypothese \(h_0\) ablehnen und damit die Hypothese \(h_1\) annehmen würden. Entsprechend gibt der Annahmebereich die Anzahl an Treffern an, bei denen wir die Hypothese \(h_0\) befürworten würden.

Es gilt

\(\quad \begin{array}{ r c l } V & = & [k ; 150] \\[6pt] A & = & [0 ; k-1] \\ \end{array} \)

Der kritische Wert \(k\) bezeichnet die Grenze, die auch \(g\) genannt wird, zwischen dem Annahmebereich und dem Verwerfungsbereich (Ablehnungsbereich). Dabei wird \(k\) dem Verwerfungsbereich zuordnet. In diesem Fall ist \(k\) die Grenze \(g_r\), denn die Grenze liegt auf der rechten Seite von \(h_0\). Es handelt sich hier um einen rechtsseitigen Signifikanztest, denn \(h_0\) wird nach rechts gegen \(h_1\) abgegrenzt.

Das Signifikanzniveau von \(5\%\) gibt die Größe des Verwerfungsbereiches an und ist zugleich ein Synonym für den Fehler 1. Art.

Wir berechnen \(k\) ausgehend von \(n=150\) und \(0{,}7\) mit der Gleichung

\(\quad P(x \geq k) \leq 0{,}1 \)

Von links gelesen ist das

\(\quad P(x \leq k) \geq 0{,}9 \)

Das \(k\) kann nun auf verschiedene Weise bestimmt werden. Ich nenne hier nun 4 übliche Möglichkeiten:

• Bestimmung von \(k\) mithilfe der Tabellen für kumulierte Binomialverteilungen
• Bestimmung von \(k\) über Probieren
• Bestimmung von \(k\) mithilfe der \(\sigma\)-Umgebung
• Bestimmung von \(k\) mithilfe der Taschenrechnerfunktion für die Normalverteilung

a) k bestimmen mit kumulierten Binomialverteilungen

i. k mit Tabellen ermitteln

Wir wählen die Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen mit \(n=150\).

Da wir mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}7> 0{,}5\) arbeiten, müssen wir von unten und von rechts ablesen. Das bedeutet, dass wir

\(\quad P(x \leq k)=0{,}9 \)

umrechnen müssen in der Art

\(\quad P(y \leq k) \; = \; 1 - 0{,}9 \; = \; 0{,}1 \)

Da wir einen Wert benötigen für \(P(x \leq k)>0{,}9\) suchen wir entsprechend den Wert für \(P(y \leq k)<0{,}1\).

Wir erhalten den Annahme- und Verwerfungsbereich mit

\(\quad V=[112 , 150] \quad \text{und} \quad A=[0 ; 111] \)

Entscheidungsregel:

Landet Nike bei \(150\) Schüssen \(112\) oder mehr Treffer, so können wir davon ausgehen, dass sie mit dem neuen Bogen ihre Trefferquote verbessern kann.

ii. Probieren mit dem Taschenrechner

Wie wir hier sehen können,

kommen die meisten \(x\)-Werte für \(k\) nicht infrage. Eine gute Methode ist, das \(k\) rechts vom Erwartungswert, also der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit, zu suchen.

Der Erwartungswert ist

\(\quad \mu \; = \; n \cdot p \; = \; 150 \cdot 0{,}7 \; = \; 105 \)

Bis zum Erwartungswert haben wir nahezu \(50\%\) der Fläche. Von dort an fallen die Wahrscheinlichkeiten meist schnell ab.

Um festzustellen, wann \(90\%\) überschritten wird, wählen wir zunächst die ersten \(10\) \(x\)-Werte rechts von \(\mu\).

Mit dem Casio fx-DE X gehen wir mit \(Menu\) \(7\) ▼ zu den kumulierten Binomialverteilungen.

Wir wählen \(1\)

und tragen für \(k\) die Zahlen von \(206\) bis \(115\) ein. Jede Eingabe wird mit \(=\) bestätigt.

Nach der letzten Eingabe betätigen wir zweimal \(=\) .

Nach der letzten Eingabe betätigen wir wieder zweimal \(=\) .

Mit den Pfeiltasten bewegen wir uns nach unten.

Wir sehen, dass bei \(112\) Treffern die \(90\%\) erstmals überschritten wird.

Wir erhalten den Annahme- und Verwerfungsbereich mit

\(\quad V=[112 , 150] \quad \text{und} \quad A=[0 ; 111] \)

Entscheidungsregel:

Landet Nike bei \(150\) Schüssen \(112\) oder mehr Treffer, so können wir davon ausgehen, dass sie mit dem neuen Bogen ihre Trefferquote verbessern kann.

b) k bestimmen mit der Normalverteilung

Rechnerisch kann die Stelle \(g\), also die Grenze zwischen den blauen und den grauen Streifen, durch die Berechnung der Fläche mithilfe des Integrals einer Funktion ermittelt werden.

Das Problem dabei ist, das es sich bei der Binomialververteilung aber nicht um eine stetige Funktion, sondern um eine diskrete Funktion handelt. Das bedeutet, dass nur ganzzahlige \(x\)-Werte vorkommen und wir es mit einer Punktmenge zu tun haben.

Die Integralrechnung lässt sich hier nicht anwenden. Was machen wir jetzt?

Die Lösung ist, die Binomialverteilung in eine stetige Funktion zu transformieren.
Und dabei bietet sich die Normalverteilung an, die näherungsweise dem Verlauf der Binomialverteilung wiedergibt.

Bitte weiterlesen bei der Sigma-Umgebung oder der Taschenrechnerfunktion für die Normalverteilung.

i. Sigma-Umgebung

Bei der Normalverteilung ist jede Flächengröße einem Radius \(z\) zugeordnet, so dass wir uns nicht um das Integral der Funktion \(\varphi(z)\) kümmern müssen. Betrachten wir jetzt den Radius.

Der Radius ist ein Maß für die \(\sigma\)-Umgebung der Binomialverteilung und steht im direkten Zusammenhang zur Flächengröße.

In der Normalverteilung, bei der \(\sigma=1\) ist, ist \(z\), hier bei \(z_0\), der Wert auf der \(z\)-Achse. Da der Radius in der \(\sigma\)-Umgebung die Abweichung vom Erwartungswert sowohl nach links als auch nach rechts angibt, müssen wir mit einer \(\sigma\)-Umgebung von 80\% ausgehen.

In den Tabellenwerken befinden sich alle Radien bis \(z=3\) auf zwei Kommastellen genau mit der zugehörigen \(\sigma\)-Umgebung.

Bei der 80\%igen \(\sigma\)-Umgebung erhalten wir \(z_0=1{,}28\). Mit der Umrechnung

\(\quad g_r = \mu + z_0 \cdot \sigma \)

können wir das \(k\) der Binomialverteilung ermitteln. Wir rechnen mit

\(\quad \mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}7 = 105 \)

und

\(\quad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0{,}7 \cdot (1-0{,}7)} = 5{,}61 > 3 \)

Die LaPlace-Bedingung \(\sigma > 3\) gewährleistet, dass wir die Normalverteilung als gute Näherung der Binomialverteilung verwenden dürfen.

\(\quad g_r = 105 + 1{,}28 \cdot 5{,}61 = 112{,}1808 \)

\(g_r\) liegt am Ende des letzten Streifens. Den richtigen Wert erhalten wir mit

\(\quad g_r - 0{,}5 = 112{,}1808 - 0{,}5 = 111{,}6808 \)

Wir erhalten den Annahme- und Verwerfungsbereich mit

\(\quad A=[0 ; 111] \quad \text{und} \quad V=[112 , 150] \)

Entscheidungsregel:

Landet Nike bei \(150\) Schüssen \(112\) oder mehr Treffer, so können wir davon ausgehen, dass sie mit dem neuen Bogen ihre Trefferquote verbessern kann.

ii. Taschenrechnerfunktion für die Normalverteilung

Der Taschenrechner bedient sich der Integralrechnung mit

Dabei soll nun gelten, dass die Stammfunktion

\(\quad \Phi (z_0) = 0{,}9 \)

ist. Um \(z_0\) direkt in das \(k\) der Binomialverteilung

umzurechnen wird mit

\(\quad \Phi \left( \frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma} \right) \)

gearbeitet. Dabei ist

\(\quad \mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}7 = 105 \)

und

\(\quad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0{,}7 \cdot (1-0{,}7)} = 5{,}61 \)

Mit der Umkehrfunktion (inverse Funktion)

\(\quad k + \, 0{,}5 = \Phi_{\mu ; \sigma}^{-1}(0{,}9) = \Phi_{105 ; 5{,}61}^{-1}(0{,}9) \)

berechnen wir das \(k\). Bei dem Casio fx-DE X geben wir \(Menu\) \(7\) ein.

Wir wählen die inverse Normalverteilung mit \(3\) und geben folgende Werte ein.

Dabei bestätigen wir jede Eingabe mit \(=\) und drücken anschließend noch einmal \(=\) .

Wir erhalten

\(\quad \begin{array}{ r c l l } k + 0{,}5 & = & 112{,}1895047 & | - 0{,}5 \\[6pt] k & = & 111{,}6895047 \\ \end{array} \)

Damit lautet der Annahme- und Verwerfungsbereich

\(\quad A=[0 ; 111] \quad \text{und} \quad V=[112 , 150] \)

Entscheidungsregel:

Landet Nike bei \(150\) Schüssen \(112\) oder mehr Treffer, so können wir davon ausgehen, dass sie mit dem neuen Bogen ihre Trefferquote verbessern kann.

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Aufgabe 2 - Fehler 2. Art

Der Fehler 2. Art besagt, dass eine falsche Hypothese nicht verworfen wird.

Im Sachzusammenhang bedeutet dies folgendes:
Durch den neuen Bogen verbessert sich die Trefferquote von Nike tatsächlich. Es ist \(p>0{,}7\) also richtig.

Angenommen Nike erzielt mit dem neuen Bogen bei den 150 Schüssen nur 110 Treffer. Sie würde die Entscheidung fällen, dass sie mit dem neuen Bogen auch nur eine Trefferquote von 70\% oder eventuell sogar noch weniger hat.

Dieses Risiko eine falsche Entscheidung zu fällen beschreibt der Fehler 2. Art.

Der Fehler 2. Art, der \(\beta\)-Fehler, ist also das Risiko sich für die Hypothese \(p \leq 0{,}7\) aufgrund der Stichprobenergebnisses zu entscheiden, obwohl dieses die falsche Hypothese ist.

Für die Berechnung bleiben die Grenzen die gleichen wie zuvor. Nur sind jetzt der Annahme und Verwerfungsbereich vertauscht.

\(\quad V=[0 ; 111] \quad \text{und} \quad A=[112 , 150] \)

Wir rechnen dieses Mal mit \(p = 0{,}75\) die kumulierte Wahrscheinlichkeit aus.

\(\quad \beta \; =\; P_{150 ; 0{,}75}(x \leq 111) \; =\; 0{,}4193 \; =\; 41{,}93 \% \)

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INHALTSVERZEICHNIS

Lösung : farbige Federn

Aufgabe 1 - 10 rote Federn

Es ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitskette:

\(\quad \begin{array}{ r c l } P(x=10) & =& \dfrac{17}{20} \cdot \dfrac{16}{19} \cdot \dfrac{15}{18} \cdot \dfrac{14}{17} \cdot \dfrac{13}{16} \cdot \dfrac{12}{15} \cdot \dfrac{11}{14} \cdot \dfrac{10}{13} \cdot \dfrac{9}{12} \cdot \dfrac{8}{11} \\[10pt] & =& \dfrac{ \color{#CC0000}{17} \cdot \color{#CC0000}{16} \cdot \color{#CC0000}{15} \cdot \color{#CC0000}{14} \cdot \color{#CC0000}{13} \cdot \color{#CC0000}{12} \cdot \color{#CC0000}{11} \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 } { 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot \color{#CC0000}{17} \cdot \color{#CC0000}{16} \cdot \color{#CC0000}{15} \cdot \color{#CC0000}{14} \cdot \color{#CC0000}{13} \cdot \color{#CC0000}{12} \cdot \color{#CC0000}{11} } \\[10pt] & =& \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{20 \cdot 19 \cdot 18} \\[10pt] & =& \dfrac{2}{19} \; \approx \; 0{,}1053 \\ \end{array} \)

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Aufgabe 2 - mindestens einen Pfeil jeder Federnfarbe

Hier verwenden wir die hypergeometrische Verteilung mit den Bezeichnungen

in folgender Notation:

\(\quad \displaystyle{P(E) \; =\; \dfrac{\binom{R}{r} \cdot \binom{B}{b} \cdot \binom{G}{g}}{\binom{N}{n}} } \)

Für das Ereignis \(E\) sind nur 2 Fälle möglich:

• 8 rote, 1 blauer und 1 goldener Pfeil
• 7 rote, 2 blaue und 1 goldener Pfeil

\(\quad \displaystyle{P(E) \; =\; \dfrac{\binom{17}{8} \cdot \binom{2}{1} \cdot \binom{1}{1}}{\binom{20}{10}} \; +\; \dfrac{\binom{17}{7} \cdot \binom{2}{2} \cdot \binom{1}{1}}{\binom{20}{10}} \; =\; \dfrac{7}{19} \; \approx \; 0{,}3684 } \)

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