Hilfsmittelfreie Aufgaben

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Inhaltsverzeichnis



Aufgaben

 

HMF 1 - Analysis (Pool 1)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit

\(\quad f(x) = 4x^3 - 12x \)


  1. Zeigen Sie, dass \(x = 1\) eine lokale Minimalstelle von \(f\) ist.
    (3 P)


  1. Geben Sie einen Funktionsterm einer Stammfunktion \(F\) von \(f\) mit \(F(0) \not= 0\).
    (2 P)




HMF 2 - Analysis (Pool 1)

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f\) mit

\(\quad f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x \)

dargestellt.


(FAQ beachten)


Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P(3|6)\) heißt \(t_P\), diejenige im Punkt \(Q(0|0)\) heißt \(t_Q\).


  1. Es ist \(f'(3) = -\frac{5}{2}\).

    Ermitteln Sie zeichnerisch die Nullstelle der Tangente \(t_P\).
    (2 P)


  1. Prüfen Sie rechnerisch, ob die Tangente \(t_Q\) durch \(P\) verläuft.
    (3 P)




HMF 3 - Analysis (Pool 1)

Es gibt Funktionen \(f\) mit den folgenden Eigenschaften:

  • \(\; f(0) = 2\)
  • \(\; f'(-1) = 0 \;\) und \(\; f''(-1) < 0\)


  1. Zeichnen Sie den Graphen einer Funktion mit diesen Eigenschaften in das abgebildete Koordinatensystem.


    (2 P)


  1. Eine der Funktionen mit den obigen Eigenschaften hat den Funktionsterm

    \(\quad -0{,}5x^4 + bx + c \)

    Bestimmen Sie die Werte von \(b\) und \(c\).
    (3 P)




HMF 4 - Analysis (Pool 2)

Die Abbildung zeigt Graphen der Funktion \(f\) mit

\(\quad f(x) = (2x + 3) e^{-0{,}5x} \)


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  1. Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) mit

    \(\quad F(x) = ( -4x - 14) e^{-0{,}5x} \)

    eine Stammfunktion von \(f\) ist.
    (2 P)


  1. Untersuchen Sie, ob für jede reelle Zahl \(k > 0\) gilt:

    \(\quad \displaystyle{\int}_0^k f(x) < 14 \)

    (3 P)




HMF 5 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben ist die Ebene \(E\) mit

\(\quad E : x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6 \)


Die Schnittpunkte der Ebene \(E\) mit den Koordinatenachsen sind die sogenannten Spurpunkte der Ebene \(E\). So ist \(S_1(6|0|0)\) ein Spurpunkt der Ebene \(E\).


  1. Geben Sie die Koordinaten der anderen beiden Spurpunkte \(S_2\) und \(S_3\) der Ebene \(E\) an und zeichnen Sie das Dreieck \(S_1S_2S_3\) in das Koordinatensystem ein.
    (3 P)


  1. Es gibt unendlich viele Geraden, die parallel zu \(E\) sind und durch den Punkt \(P(2|5|7)\) verlaufen.
    Bestimmen Sie eine Gleichung einer solchen Geraden \(g\).
    (2 P)




HMF 6 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben ist die Ebene \(E\) mit

\(\quad E : 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \)


  1. Geben Sie diejenige Zahl \(a\) an, für die der Punkt \(A(a|0|-1)\) in der Ebene \(E\) liegt.
    (1 P)


  1. Der Punkt \(S\) ist der Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der Geraden \(g\), die senkrecht auf \(E\) steht und durch den Punkt \(B(1|3|4)\) verläuft.
    Bestimmen Sie die Koordinaten von \(S\).
    (4 P)




HMF 7 - Analytische Geometrie (Pool 2)

Für alle reellen Zahlen \(a\) ist sowohl eine Ebene \(E_a\) mit

\(\quad E_a : x_1 + 2x_2 + ax_3 = 5 \)


als auch eine Gerade \(g_a\) mit

\(\quad \begin{array}{ r c l l} g_a: \vec{x} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 + a \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)

gegeben.


  1. Zeigen Sie, dass es keine Zahl \(a\) gibt, für die \(g_a\) orthogonal zu \(E_a\) verläuft.
    (2 P)


  1. Untersuchen Sie, ob es einen Wert für \(a\) gibt, so dass die Gerade \(g_a\) und die Ebene \(E_a\) keinen gemeinsamen Punkt haben.
    (3 P)




HMF 8 - Stochastik (Pool 1)

  1. Vervollständigen Sie das folgende Baumdiagramm.


    (3 P)


  1. Bestimmen Sie für das folgende Baumdiagramm denjenigen Wert für \(x\), für den \(P(D) = 0{,}6\) ist.

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    (2 P)




HMF 9 - Stochastik (Pool 1)

Ein sechsseitiger Spielwürfel wird fünfmal geworfen.

  1. Ordnen Sie durch Anklicken des Kästchens jedem Ereignis denjenigen Term zu, dessen Wert die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist.

    • Es werden genau zwei Sechsen geworfen.



    • Es wird mindestens eine Sechs geworfen.




    • Es werden genau zwei Sechsen geworfen, wobei die zweite Sechs erst im letzten Wurf fällt.



      (3 P)


  1. Geben Sie ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit

    \(\quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 +\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1 \)
    an.
    (2 P)




HMF 10 - Stochastik (Pool 2)

Eine Urne enthält weiße und rote Kugeln. Es wird fünfmal mit Zurücklegen gezogen.


  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, keine rote Kugel zu ziehen, falls sich in der Urne eine weiße und neun rote Kugeln befinden.
    (2 P)


  1. Es ist \(p\) die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Zug eine rote Kugel zu ziehen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.
    Bestimmen Sie alle Werte für \(p\), für die

    \(\quad P(X = 0) = P( X = 1) \)

    gilt.
    (3 P)





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Lösungen

Lösung : HMF 1 - Analysis

Aufgabe 1 - Minimalstelle

Für eine lokales Minimum gilt \(f'(x)=0\) und \(f''(x)>0\).

Dabei sind \(f\) und ihre Ableitungen

\(\quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & 4x^3 -12x \\[6pt] f'(x) & = & 12x^2 -12 \\[6pt] f''(x) & = & 24x \\ \end{array} \)


Mit der 1. Bedingung ergeben sich mögliche Minimalstellen.

\(\quad \begin{array}{ r c c l } 12x^2 -12 & = & 0 & | \; + 12 \\[6pt] 12x^2 & = & 12 & | \; : 12 \\[6pt] x^2 & = & 1 & | \; \sqrt{\dots} \\[6pt] x_1 & = & 1 \\[6pt] x_2 & = & -1 \\ \end{array} \)


Wir überprüfen die Werte mit der 2. Bedingung auf die Art des Extremums :

\(\quad \begin{array}{ r c c c r c c l } f''(1) & = & 24 \cdot 1 & = & 24 & > & 0 & \Rightarrow \; \text{Minimum} \\[6pt] f''(-1) & = & 24 \cdot (-1) & = & -24 & < & 0 & \Rightarrow \; \text{Maximum} \\ \end{array} \)


Bei \(x = 1\) ist eine lokale Minimalstelle von \(f\).







Aufgabe 2 - Funktionsterm einer Stammfunktion


\(\quad \begin{array}{ r c l } F(x) & = & \displaystyle{\int} f(x)dx + C \\[6pt] & = & \displaystyle{\int} \left(4x^3 -12x\right)dx + C \\[6pt] & = & x^4 - 6x^2 + C \\ \end{array} \)


Es gilt

\(\quad \begin{array}{ r c l } F(0) & = & 0^4 - 6 \cdot 0^2 + C \\[6pt] F(0) & = & C \\ \end{array} \)


Nach Voraussetzung muss \(C \not= 0\) sein. Ein möglicher Funktionsterm wäre

\(\quad x^4 - 6x^2 + 1 \)


 



Lösung : HMF 2 - Analysis

Aufgabe 1 - Nullstelle der Tangente

Mit der Steigung \(-\frac{5}{2}\) sieht die Tangente wie folgt aus.


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Die Nullstelle von \(t_P\) liegt bei \(x = 5{,}4\).




Aufgabe 2 - Tangente durch P ?

Die Tangente \(t_Q\), die durch den Punkt \(Q(0|0)\) verläuft, ist eine Ursprungsgerade und von der Form

\(\quad t_Q(x) = mx \)


Die Steigung \(m\) der Tangente wird mit der 1. Ableitung von \(f\) berechnet. Es gilt

\(\quad f'(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 3x + 2 \)


An der Stelle Null erhalten wir

\(\quad m = f'(0) = -\frac{3}{2} \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 2 \)


Es ergibt sich

\(\quad t_Q(x) = 2x \)


Die Punktprobe mit \(P(3|6)\) ergibt

\(\quad \begin{array}{ r c l } 6 & = & 2 \cdot 3 \\[6pt] 6 & = & 6 \\ \end{array} \)



Die Gleichung ist wahr. Folglich liegt \(P\) auf der Tangente \(t_Q\).




 



Lösung : HMF 3 - Analysis

Aufgabe 1 - Graph einzeichnen

Nach den Voraussetzungen haben wir einen Punkt bei \((0|2)\) und einen Hochpunkt bei \(x=-1\). Wir können zum Beispiel den Hochpunkt \(H(-1|3)\) nehmen.

Der einfachste Graph wäre wohl eine nach unten geöffnete Parabel.


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Aufgabe 2 - Wert b und c

Bei der 2. Ableitung haben wir keine konkrete Zuweisung eines Werte, bei der 1. Ableitung allerdings schon. Wir arbeiten also mit

\(\quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & -0{,}5x^3 + bx + c \\[6pt] f'(x) & = & -1{,}5x^2 + b \\ \end{array} \)


Es gilt

\(\quad \begin{array}{ r c l } \textrm{I} & f(0) & = & 2 \\[6pt] \textrm{II} & f'(-1) & = & 0 \\ \end{array} \)


Diese Bedingungen in die oberen Gleichungen eingesetzt ergibt

\(\quad \begin{array}{ r c l } \textrm{I} & 2 & = & -0{,}5 \cdot 0^3 + b \cdot 0 + c \\[6pt] \textrm{II} & 0 & = & -1{,}5 \cdot (-1)^2 + b \\[20pt] \textrm{I} & 2 & = & c \\[6pt] \textrm{II} & 0 & = & -1{,}5 + b & | + 1{,}5 \\[20pt] \textrm{I} & 2 & = & c \\[6pt] \textrm{II} & 1{,}5 & = & b \\ \end{array} \)







Lösung : HMF 4 - Analysis

Aufgabe 1 - Stammfunktion

Ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), so muss \(F'(x) = f(x)\) sein. Wir überprüfen das.

\(\quad F(x) \; = \; ( -4x - 14) e^{-0{,}5x} \; = \; u \cdot v \)



Mit der Produkt- und Kettenregel gilt

\(\quad \begin{array}{ c l } F'(x) & = \; u' \cdot v \; + \; u \cdot v' \\[15pt] & \textit{Nebenrechnung 1 } \\[6pt] & u \; = \; -4x - 14 \\[6pt] & u' \; = \; -4 \\[6pt] & v \; = \; e^{-0{,}5x} \; = \; g\Big(h(x)\Big) \\[15pt] & \; \qquad \textit{Nebenrechnung 2 } \\[6pt] & \; \qquad h(x) \; = \; -0{,}5x \\[6pt] & \; \qquad h'(x) \; = \; -0{,}5 \\[6pt] & \; \qquad g(x) \; = \; e^x \\[6pt] & \; \qquad g'(x) \; = \; e^x \\[6pt] & \; \qquad g'\Big(h(x)\Big) \; = \; e^{-0{,}5x} \\[15pt] & v' \; = \; h'(x) \cdot g'\Big(h(x)\Big) \; = \; -0{,}5 \cdot e^{-0{,}5x} \\[15pt] F'(x) & = \; -4 \cdot e^{-0{,}5x} + ( -4x - 14) \cdot \left( -0{,}5 \cdot e^{-0{,}5x}\right) \\[8pt] F'(x) & = \; -4 \cdot e^{-0{,}5x} + ( 2x + 7) \cdot \left( e^{-0{,}5x}\right) \\[8pt] F'(x) & = \; (-4 + 2x + 7) \cdot \left( e^{-0{,}5x}\right) \\[6pt] F'(x) & = \; (2x + 3) \cdot \left( e^{-0{,}5x}\right) \\[6pt] F'(x) & = \; f(x) \\ \end{array} \)




Aufgabe 2 - Zahl k

Wir bestimmen zunächst das Integral.

\(\quad \begin{array}{ r c l } \displaystyle{\int}_0^k f(x) dx & = & \displaystyle{\int}_0^k (2x+3)e^{-0{,}5x}dx \\[8pt] & = & \Big[ (-4x - 14)e^{-0{,}5x} \Big]_0^k \\[8pt] & = & (-4k - 14)e^{-0{,}5k} - (-4 \cdot 0 - 14)e^{-0{,}5 \cdot 0} \\[8pt] & = & (-4k - 14) \cdot \dfrac{1}{e^{0{,}5k}} - (- 14) \cdot e^0 \\[8pt] & = & \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}} - (- 14) \cdot 1 \\[8pt] & = & \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}} + 14 \\ \end{array} \)


\(f(x)\) ist für alle positiven \(x\)-Werte stets positiv, denn sowohl \(2x+3\) als auch \(e^{-0{,}5x}\) sind für alle positiven \(x\)-Werte stets positiv. Folglich bleibt der Graph rechts von der \(y\)-Achse immer oberhalb der \(x\)-Achse und die Fläche unter dem Graphen, und damit auch der Term

\(\quad \displaystyle{\int}_0^k f(x) dx \)


wird maximal, wenn \(k \to \infty\) geht.

\(\quad \begin{array}{ r c l l } \lim \limits_{k \to \infty} \bigg( \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}} + 14 \bigg) & = & \lim \limits_{k \to \infty} \bigg( \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}}\bigg) + \lim \limits_{k \to \infty}\big(14 \big) \\[12pt] & = & \lim \limits_{k \to \infty} \bigg( \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}}\bigg) + 14 \\ \end{array} \)


Nach meinen Ausführungen über das Verhalten im Unendlichen bei zusammengesetzten Funktionen ist

\(\quad \lim \limits_{k \to \infty} \bigg( \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}}\bigg) = 0 \)


Damit ergibt

\(\quad \lim \limits_{k \to \infty} \displaystyle{\int}_0^k f(x) dx = 14 \)


Anschaulich bedeutet das nun, dass das Integral im Unendlichen den Wert \(14\) annimmt.

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Da \(k\) eine reelle Zahl ist und reelle Zahlen stets kleiner als \(\infty\) sind, gilt für alle \(k\), dass

\(\quad \displaystyle{\int}_0^k f(x) dx < 14 \)

ist.







Lösung : HMF 5 - Analytische Geometrie

Aufgabe 1 - Spurpunkte

Für den Spurpunkt \(S_2\) ist \(x_1=0\) und \(x_3=0\). Eingesetzt in \(E\) erhalten wir

\(\quad \begin{array}{ r c l l } 3x_2 & = & 6 & | :3 \\[6pt] x_2 & = & 2 & \\ \end{array} \)


Damit ist \(S_2(0|2|0)\).

Entsprechend gilt für \(S_3\), dass \(x_1=0\) und \(x_2=0\) ist.

\(\quad \begin{array}{ r c l l } 2x_3 & = & 6 & | :2 \\[6pt] x_3 & = & 3 & \\ \end{array} \)


Der dritte Spurpunkt ist \(S_3(0|0|3)\).


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Aufgabe 2 - Gerade durch Punkt P

Eine Gerade, die parallel zu der Ebene \(E\) verläuft, hätte zum Beispiel den Richtungsvektor \(\vec{S_3S_1}\).


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\(\quad \begin{array}{ r c l l} g: \vec{x} & = & \vec{OP} + t \cdot \vec{S_3S_1} \\[8pt] & = & \vec{OP} + t \cdot \left(\vec{OS_1} - \vec{OS_3} \right) \\[8pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right]\\[8pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 6 \\ 0 \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)







Lösung : HMF 6 - Analytische Geometrie

Aufgabe 1 - Zahl a

Um die Zahl \(a\) zu bestimmen, setzen wir den Punkt \(P\) in die Ebene \(E\) ein:

\(\quad \begin{array}{ r c l l } 2a + 2 \cdot 0 -1 & = & 3 \\[6pt] 2a -1 & = & 3 & | + 1 \\[6pt] 2a & = & 4 & | : 2 \\[6pt] a & = & 2 \\ \end{array} \)




Aufgabe 2 - Schnittpunkt S

Die Gerade \(g\) wird bestimmt mit dem Punkt \(B\) und dem Normalenvektor der Ebene \(E\).

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\(\quad \begin{array}{ r c l l } g: \; \vec{x} & = & \vec{b} + t \cdot \vec{n} \\[10pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)


Aus der Geradengleichung erhalten wir die einzelnen Komponenten

\(\quad \begin{array}{ r c l l } x_1 & = & 1 + 2 t \\[6pt] x_2 & = & 3 + 2 t \\[6pt] x_3 & = & 4 + \; t \\ \end{array} \)

Zur Schnittpunktberechnung mit der Ebene setzen wir diese in die Ebene \(E\) ein.

\(\quad \begin{array}{ r c l l } 2 \cdot (1 + 2 t) + 2 \cdot (3 + 2 t) + 4 + t & = & 3 \\[6pt] 2 + 4t + 6 + 4t + 4 + t & = & 3 \\[6pt] 9t + 12 & = & 3 & | - 12\\[6pt] 9t & = & -9 & | : 9 \\[6pt] t & = & - 1 \\ \end{array} \)

\(t\) eingesetzt in die Gerade \(g\) ergibt den Ortsvektor vom Schnittpunkt \(S\).

\(\quad \begin{array}{ r c l c l } \vec{s} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix}\\ \end{array} \)

Der Schnittpunkt lautet also \(S(-1|1|3)\).




 



Lösung : HMF 7 - Analytische Geometrie

Aufgabe 1 - orthogonal zur Ebene

Damit die Gerade \(g_a\) orthogonal zur Ebene \(E_a\) verläuft, muss der Richtungsvektor \(\vec{v}\) der Geraden parallel zum Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene liegen. Das wäre der Fall, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors wäre. Es gilt dann

\(\quad \begin{array}{ r c l } \vec{v} & = & k \cdot \vec{n} \\[10pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{rc} 1 \\ 2 + a \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & k \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{rc} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)



Daraus ergibt sich das Gleichungssystem

\(\quad \begin{array}{ r c c r } \textrm{I} \quad & 1 & = & k \\[6pt] \textrm{II} \quad & 2 + a & = & 2 k \\[6pt] \textrm{III} \quad & -3 & = & k \\ \end{array} \)



Gleichung \(\textrm{I}\) und Gleichung \(\textrm{III}\) stehen im Widerspruch zueinander, denn \(k\) kann nicht gleichzeitig \(1\) und \(-3\) sein. Folglich gibt es keine Zahl \(a\) dafür, dass die Gerade \(g_a\) orthogonal zur Ebene \(E_a\) verläuft.





Aufgabe 2 - gemeinsamer Punkt

Verläuft die Gerade \(g_a\) parallel zur Ebene \(E_a\), so ergeben sich keine gemeinsamen Punkte.

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Zu überprüfen ist zum einen, ob Punkt \(Z\) in der Ebene liegt und zum anderen ist ein Richtungsvektor \(\vec{u}\) zu bestimmen, sofern \(Z\) nicht in der Ebene liegt, der orthogonal zum Normalenvektor \(\vec{n}\) ist.

Punktprobe :

\(\quad \begin{array}{ r c l l } 1 + 2 \cdot 0 + a \cdot 0 & = & 5 \\[6pt] 1 & = & 5 \\ \end{array} \)



Die Gleichung ist falsch. Damit ist der \(Z\) kein Punkt der Ebene \(E_a\).


Orthogonalität :

Sind die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{n}\) orthogonal zueinander, so muss ihr Skalarprodukt Null ergeben.

\(\quad \begin{array}{ r c l l } \vec{u} \circ \vec{n} & = & 0 \\[10pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 + a \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ a \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[25pt] 1 \cdot 1 + (2 + a) \cdot 2 - 3 \cdot a & = & 0 \\[6pt] 1 + 4 + 2a - 3a & = & 0 \\[6pt] 5 - a & = & 0 & | + a \\[6pt] 5 & = & a \\ \end{array} \)


Mit dem Wert \(a = 5\) gibt es keinen gemeinsamen Punkt der Geraden \(g_a\) und der Ebene \(E_a\).






Lösung : HMF 8 - Stochastik

Aufgabe 1 - vollständiges Baumdiagramm


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Aufgabe 2 - Wert von x

\(\quad \begin{array}{ r c l l } P(D) & = & P(C) \cdot P_C(D) + P(\overline{C}) \cdot P_{\overline{C}}(D) \\[10pt] 0{,}6 & = & x \cdot 0{,}2 + (1 - x) \cdot 0{,}7 \\[10pt] 0{,}6 & = & 0{,}2x + 0{,}7 - 0{,}7x \\[10pt] 0{,}6 & = & 0{,}7 - 0{,}5x & | \; + 0{,}5x \\[10pt] 0{,}5x + 0{,}6 & = & 0{,}7 & | - 0{,}6 \\[10pt] 0{,}5x & = & 0{,}1 & | : 0{,}5 \\[10pt] x & = & \frac{1}{5} \\ \end{array} \)





 



Lösung : HMF 9 - Analytische Geometrie

Aufgabe 1 - Ereignisse zuordnen

  • Es werden genau zwei Sechsen geworfen.

    \( \rightarrow \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \)


  • Es wird mindestens eine Sechs geworfen.

    \( \rightarrow \; 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^5 \)


  • Es werden genau zwei Sechsen geworfen, wobei die zweite Sechs erst im letzten Wurf fällt.

    \( \rightarrow \; 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \cdot \frac{1}{6} \)








Aufgabe 2 - Ereignis angeben

Von 5 Würfen des Spielwürfels fallen 3 oder 4 Sechsen.









Lösung : HMF 10 - Stochastik

Aufgabe 1 - keine rote Kugel

Es werden keine rote Kugel, also \(5\) weiße Kugeln, gezogen.

\(\quad P\left(\text{keine rote Kugel}\right) \; = \; \left(\frac{1}{10}\right)^5 \; = \; \frac{1}{100000} \)








Aufgabe 2 - alle Werte von p

Hier ist die Wahrscheinlichkeit von rot \(p\) und von weiß \(1-p\) . Bei einmal rot kann die rote Kugel fünf mögliche Positionen haben:

\( \quad E = \{ \color{#CC0000}{r}wwww \, , \; w\color{#CC0000}{r}www \, , \; ww\color{#CC0000}{r}ww \, , \; www\color{#CC0000}{r}w \, , \; wwww\color{#CC0000}{r} \} \)

Es ergibt sich der Lösungsansatz:

\(\quad \begin{array}{ r c l l } P(X = 1) & = & P(X = 0) \\[8pt] 5 \cdot p \cdot (1 - p)^4 & = & (1 - p)^5 & | : (1 -p)^4 \\[8pt] 5p & = & 1 - p & | + p \\[8pt] 6p & = & 1 & | :6 \\[8pt] p & = & \frac{1}{6} \\ \end{array} \)