begrenztes Wachstum





Das begrenzte Wachstum (oder beschränktes Wachstum) kann durch Veränderung des Funktionsterms e^x gebildet werden und geht aus dem gespiegelten Term -e^{-x} hervor, indem dieser Term entsprechend verschoben und gestaucht/gestreckt wird.

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Der Term

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beschreibt das Wachstum einer Pflanze, wobei t in Monaten und die Höhe h(t) der Pflanze in Metern angegeben ist. Der Startwert beträgt 0.8 m.

 
Generell hat das begrenzte Wachstum die Formel

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Ist S ausgeklammert, so wird das begrenzte Wachstum beschrieben mit

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Wie sieht die Umformung von e^t nach S \cdot (1-d) \cdot e^{-kt} nun im Einzelnen aus?





 

Spiegelung

Zunächst wird e^t um beide Achsen gespiegelt. Wir erhalten -e^{-t} .

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Verschiebung

Weiter wird -e^{-t} um 8 Einheiten nach oben verschoben.

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Streckung in y-Richtung

Der Funktionsterm wird nun in y-Richtung gestreckt, so dass der Graph durch den Startpunkt verläuft.

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in der Formel für begrenztes Wachstum

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ist

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Streckung in x-Richtung

Durch die Streckung in y-Richtung ist der Anstieg des Graphen zu steil geworden. um dies zu korrigieren, muss der Term in x-Richtung gestaucht werden.

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Wir erhalten die Funktion

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Durch ausklammern der 8 ergibt sich

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