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Substitution

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Um die Gleichung

\(\quad 0 = x^4 - 13x^2 + 36 \)

zu lösen, wird ein Ausdruck ersetzt (substituiert).



biquadratische Gleichung

\(\quad \begin{array}{ r c l } z & = & x^2 \\[6pt] 0 & = & z^2- 13z+ 36 \\ \end{array} \)


Weiter geht es mit der PQ-Formel :

\(\quad \b...

Nullstellen ganzrationaler Funktionen höheren Grades

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Ganzrationale Funktionen n-ten Grades liegen in der Form

\(\quad f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \)


vor. Da in der gymnasialen Oberstufe meist nicht über Funktionen 5. Grades hinaus gegangen wir...

Ausklammern

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Besteht ein Funktionsterm aus der Summe von Termen, die alle ein \(x\) enthalten, so wird bei der Nullstellenberechnung \(x\) ausgeklammert.

\(\quad \begin{array}{ r c l } 0 & = & x^3 + 4x^2 - 5x \\[6pt] 0 & = & x \cdot \left(x^2 + 4x - 5\right) \\ \end{array} \)



Nach dem N...

Lineare Gleichungssysteme lösen

\(\quad \begin{array}{ r*{9}{r} } \textrm{I} && -x & - & 2y & + & 4z & = & 6 \\[5pt] \textrm{II} && 2x & + & y & + & 3z & = & 5 \\[5pt] \textrm{III} && 3x & + & 3y & - & 2z & = & -2 \\ \end{array} \)

Inhaltsverzeichnis

Nullstellen zusammengesetzter Funktionen

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Inhaltsverzeichnis

Regula falsi

Regula falsi ist ein Sekantenverfahren. Das heißt, dass hier eine Gerade durch 2 Punkte geht, wobei ein Punkt oberhalb und ein Punkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Zwischen den beiden Punkte wird die \(x\)-Achse von der Sekante geschnitten. Diese Eigenschaft wird genutzt, um e...

Horner-Schema

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Das Horner-Schema arbeitet wie auch die Polynomdivision mit dem Abspalten eines Linearfaktors. Das Horner-Schema ist aber wesentlich übersichtlicher und damit auch nicht so anfällig für Fehler.

Wir lösen die Gleichung

\(\quad 0 = 2x^3 - 18 x^2 + 28x + 4 \)



Die ersten...

Abspalten von Linearfaktoren

Ähnlich wie beim Satzes von Viëta, kann das Polynom

\(\quad f(x)=ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} + dx^{n-3}+ \dots \)


in der Linearfaktordarstellung geschrieben werden als

\(\quad f(x)=a \cdot \left(x - x_1\right) \cdot \left(x - x_2\right) \cdot \left(x - x_3\ri...

Newton-Verfahren

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Das Newtonsche Näherungsverfahren ist ein Tangentenverfahren. Das heißt, dass wir uns mithilfe von Tangenten der Nullstelle immer weiter annähern.

Als Beispiel nehme ich aus einer Aufgabe des Abiturs 2019 die Funktion :

\(\quad d(x) = 5x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} - 5 \cdot...

Definition von Nullstellen

Als Nullstellen bezeichnet man die Punkte einer Funktion, die auf der \(x\)-Achse liegen.

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Daraus ergibt sich die Bedingung für Nullstellen:

\(\quad f(x) = 0 \)



Abhängige und unabhängige Variable

Beschreibung der Variablen

Beispiel:

Ein Taxiunternehmen berechnet den Preis einer Taxifahrt mit 1,50 € pro km und einer Grundgebühr von 3 €.

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Der Preis einer Taxifahrt wird berechnet mit

\(\quad f(x) = 1{,}5x + 3 \)


Dabei bezeichnen wir \(x\) al...