Definitionsmenge

my image

Inhalt


 

Definitionsmenge und Wertemenge

Wichtige Mengen in der Analysis sind die Definitionsmenge (Definitionsbereich) und die Wertemenge (Wertebereich). Dabei bezeichnet, wie hier mit einer Funktion \(f\) dargestellt, die von 1 bis 7 definiert ist,

my image

der Definitionsbereich die Menge aller für die Funktion zulässigen \(x\)-Werte.



Entsprechend ist der Wertebereich die Menge aller für die Funktion zulässigen \(y\)-Werte.



Im obigen Beispiel handelt es sich um eine Funktion mit eingeschränkten Definitionsbereich. Meist haben wir es aber bei ganzrationalen Funktionen, also mit Funktionen von der Form



zu tun mit Funktionen, die über den ganzen Bereich der reellen Zahlen definiert sind. Zum Beispiel



Es gibt jedoch Funktionen, die von Natur aus nicht über den ganzen Bereich der reellen Zahlen definiert sind. Dabei sind vor allem zu nennen die

  • gebrochen-rationalen Funktionen
  • Wurzelfunktionen
  • Logarithmusfunktionen



Nenner ist Null

Das Teilen durch Null ist nicht definiert.Das heißt, dass in einem Bruch der Nenner nicht den Wert Null annehmen darf.

Betrachten wir die folgende gebrochen-rationale Funktionsgleichung :



Wie bestimmen wir hier den Definitionsbereich? Dazu setzen wir den Nenner gleich Null.


my image

Wir sehen also, dass die gebrochen-rationale Funktion bei \(x=-2\) und \(x=3\) nicht vorkommt und erhalten den Definitionsbereich





Wurzelfunktionen

Bei der Wurzelfunktion



darf die Diskriminante, also der Wurzelinhalt, nicht negativ sein. Wir berechnen das, was gelten darf mit



und erhalten den Definitionsbereich



Um sich diesen Sachverhalt bildlich zu veranschaulichen, bilden wir die Umkehrfunktion der obigen Wurzelfunktion.



Umkehrfunktion

Wir nehmen die Wurzelfunktion



und gehen folgendermaßen vor:

  1. Tausch der Variablen


  2. Auflösen nach der Umkehrfunktion \(y^{-1}\)



Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Parabel (und umgekehrt). Das heisst, dass der Graph der Wurzelfunktion der gespiegelte Graph von der Parabel an der Winkelhalbierende von der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse ist.

Wir können den Graphen der Wurzelfunktion also skizzieren, indem wir den Graphen der Parabel zeichnen und diese um die grüne Winkelhalbierende spiegeln.

my image

Es lässt sich hier leicht nachvollziehen, dass für \(f(x)\) alle \(x \geq 2\) sein müssen.



Logarithmusfunktionen

Genauso ist


my image

die Umkehrfunktion von der \(e\)-Funktion.

Das heisst: Ebenso wie die \(e\)-Funktion nie die \(x\)-Achse erreicht, erreicht die Logarithmusfunktion



nie die \(y\)-Achse und es gilt dann für den Definitionsbereich: