Definitionsmenge

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Definitionsmenge und Wertemenge

Wichtige Mengen in der Analysis sind die Definitionsmenge (Definitionsbereich) und die Wertemenge (Wertebereich). Dabei bezeichnet, wie hier mit einer Funktion \(f\) dargestellt, die von 1 bis 7 definiert ist,

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der Definitionsbereich die Menge aller für die Funktion zulässigen \(x\)-Werte.

\(\quad \mathbb{D} \; = \; \bigl\{ x \, \big| \, 1 \leq x \leq 7 \; , \; x \in \mathbb{R} \bigr\} \)


Entsprechend ist der Wertebereich die Menge aller für die Funktion zulässigen \(y\)-Werte.

\(\quad \mathbb{W} \; = \; \bigl\{ y \, \big| \, 0{,}5 \leq y \leq 6{,}5 \; , \; x \in \mathbb{R} \bigr\} \)


Im obigen Beispiel handelt es sich um eine Funktion mit eingeschränkten Definitionsbereich. Meist haben wir es aber bei ganzrationalen Funktionen, also mit Funktionen von der Form

\(\quad f(x) \; = \; a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \)


zu tun mit Funktionen, die über den ganzen Bereich der reellen Zahlen definiert sind. Zum Beispiel

\(\quad f(x) \; = \; 2x^3 + 7x^2 - 4x + 9 \; \text{ mit } \; \mathbb{D} = \mathbb{R} \)


Es gibt jedoch Funktionen, die von Natur aus nicht über den ganzen Bereich der reellen Zahlen definiert sind. Dabei sind vor allem zu nennen die

  • gebrochen-rationalen Funktionen
  • Wurzelfunktionen
  • Logarithmusfunktionen



Nenner ist Null

Das Teilen durch Null ist nicht definiert.Das heißt, dass in einem Bruch der Nenner nicht den Wert Null annehmen darf.

Betrachten wir die folgende gebrochen-rationale Funktionsgleichung :

\(\quad f(x) \; = \; \frac{x - 1}{x^2-x-6} \)


Wie bestimmen wir hier den Definitionsbereich? Dazu setzen wir den Nenner gleich Null.

\(\quad \begin{array}{ r c l } 0 & = & x^2 - x- 6 \\[16pt] x_{1,2} & = & - \frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[8pt] x_{1,2} & = & - \frac{-1}{2}\pm \sqrt{\left( -\frac{1}{2}\right)^2-(-6)} \\[8pt] x_{1,2} & = & \frac{1}{2}\pm \frac{5}{2} \\[16pt] x_{1} & = & 3 \\[6pt] x_{1} & = & -2 \\ \end{array} \)


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Wir sehen also, dass die gebrochen-rationale Funktion bei \(x=-2\) und \(x=3\) nicht vorkommt und erhalten den Definitionsbereich

\(\quad \mathbb{D} \; = \; \mathbb{R} \setminus \{-2, 3 \} \)



Wurzelfunktionen

Bei der Wurzelfunktion

\(\quad f(x) = \sqrt{x-2} \)


darf die Diskriminante, also der Wurzelinhalt, nicht negativ sein. Wir berechnen das, was gelten darf mit

\(\quad \begin{array}{ r c l l } x - 2 & \geq & 0 & | +2 \\[6pt] x & \geq & 2 \end{array} \)


und erhalten den Definitionsbereich

\(\quad \mathbb{D} = \{ x | x \geq 2 \; , \; x \in \mathbb{R} \} \)


Um sich diesen Sachverhalt bildlich zu veranschaulichen, bilden wir die Umkehrfunktion der obigen Wurzelfunktion.



Umkehrfunktion

Wir nehmen die Wurzelfunktion

\(\quad \begin{array}{ r c l l } f(x) & \geq & \sqrt{x-2} \\[6pt] y & \geq & \sqrt{x-2} \end{array} \)


und gehen folgendermaßen vor:

  1. Tausch der Variablen

    \(\quad x = \sqrt{y-2} \)
  2. Auflösen nach der Umkehrfunktion \(y^{-1}\)

    \(\quad \begin{array}{ r c l l } x & = & \sqrt{y^{-1}-2} &; | (\dots)^2 \\[6pt] x^2 & = & y^{-1}-2 & | +2 \\[6pt] x^2 +2 & = & y^{-1} & \\[6pt] y^{-1} & = & x^2 +2 & \\ \end{array} \)


Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Parabel. Das heisst, dass der Graph der Wurzelfunktion der gespiegelte Graph von der Parabel an der Winkelhalbierende von der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse ist. Dabei darf aber nur der Teil der Parabel mit positiven \(x\)-Werten einschließlich der Null verwendet werden. Es muss folgende Einschränkung gemacht werden.

\(\quad \begin{array}{ r c l l } y^{-1} & = & x^2 +2 & \textit{mit} \quad x \geq 0 \\ \end{array} \)


Wir können den Graphen der Wurzelfunktion also skizzieren, indem wir den Graphen der Parabel zeichnen und diese um die grüne Winkelhalbierende spiegeln.

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Es lässt sich hier leicht nachvollziehen, dass für \(f(x)\) alle \(x \geq 2\) sein müssen.



Logarithmusfunktionen

Genauso ist

\(\quad f(x) = ln(x) \, \rightarrow \text{ logarithmus naturalis } \)


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die Umkehrfunktion von der \(e\)-Funktion.

Das heisst: Ebenso wie die \(e\)-Funktion nie die \(x\)-Achse erreicht, erreicht die Logarithmusfunktion

\(\quad f(x) = ln(x) \)


nie die \(y\)-Achse und es gilt dann für den Definitionsbereich:

\(\quad \mathbb{D} = \bigl\{ x \bigl{|} x \leq 0 \} \)