Definitionsmenge

Inhaltsverzeichnis



 

Definitionsmenge und Wertemenge

Wichtige Mengen in der Analysis sind die Definitionsmenge (Definitionsbereich) und die Wertemenge (Wertebereich). Dabei bezeichnet, wie hier mit einer Funktion dargestellt, die von 1 bis 7 definiert ist,

Rendered by QuickLaTeX.com

der Definitionsbereich die Menge aller für die Funktion zulässigen x-Werte.

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{\mathbbmss{D} = \bigl{\{} x \, \bigl{|} \, 1 \leq x \leq 7 \, , \, x\in\mathbbm{R} \bigr{\}}} \, } \end{equation*}

Entsprechend ist der Wertebereich die Menge aller für die Funktion zulässigen y-Werte.

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{\mathbbmss{W} = \bigl{\{} y \, \bigl{|} \, 0.5 \leq y \leq 6.5 \, , \, y\in\mathbbm{R} \bigr{\}}} \, } \end{equation*}

Natürlich ist dies eine grobe Vereinfachung der Beschreibung der beiden Mengen, soll aber zum einfachen Gebrauch in der gymnasialen Oberstufe vorerst genügen.

Im obigen Beispiel handelt es sich um eine Funktion mit eingeschränkten Definitionsbereich. Meist haben wir es aber bei ganzrationalen Funktionen, also mit Funktionen von der Form

    \begin{equation*} \mathlarger{f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 } \end{equation*}

zu tun mit Funktionen, die über den ganzen Bereich der reellen Zahlen definiert sind. Zum Beispiel

    \begin{equation*} \mathlarger{f(x) = 2x^3 + 7x^2 - 4x + 9 \; \textit{ und es gilt: } \; \mathbbmss{D}} = \mathbbmss{R}} \end{equation*}

Es gibt jedoch Funktionen, die von Natur aus nicht über den ganzen Bereich der reellen Zahlen definiert sind. Dabei sind vor allem zu nennen die

  • gebrochen-rationalen Funktionen
  • Wurzelfunktionen
  • Logarithmusfunktionen


 

 

gebrochen-rationale Funktionen

Nehmen wir folgendes Beispiel:

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{f(x) = } \frac{x - 1}{x^2-x-6}} \end{equation*}

Wie bestimmen wir hier den Definitionsbereich? Dort nutzen wir die Eigenschaften ganz-rationaler Funktionen.

Frei nach dem Zitat:

Schließe das aus was nicht sein kann. Dann muss das, was übrig bleibt, das Gesuchte sein.

Sherlock Holmes (London, Baker Street)

Was darf also nicht sein?

Wir wissen, dass wir nie durch Null teilen dürfen, also der Teiler nicht Null sein darf. Der Nenner des Bruches ist unser Teiler.

Wann wäre der Nenner Null?

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{2.4} \begin{array}{ r c l } 0 & = & x^2 - x- 6 \\ x_{1,2} & = & - \frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\ x_{1,2} & = & - \frac{-1}{2}\pm \sqrt{\left( -\frac{1}{2}\right)^2-(-6)} \\ x_{1,2} & = & \frac{1}{2}\pm \frac{5}{2} \\ x_{1} & = & 3 \\ x_{1} & = & -2 \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \end{equation*}

Rendered by QuickLaTeX.com

Wir sehen also, dass die gebrochen-rationale Funktion bei x=-2 und x=3 nicht vorkommt und erhalten den Definitionsbereich

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.3} \begin{array}{ l } \mathlarger{\mathbbmss{D} = \mathbbmss{R} \setminus \{-2, 3 \}}\\ \mathlarger{\textit{ gesprochen:}} \\ \mathlarger{\textit{ die Menge der reellen Zahlen ohne die Menge,}} \\ \mathlarger{\textit{ die die} -2 \textit{ und die } 3 \textit{ enth}\ddot{a}\textit{lt}} \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \end{equation*}

 
 
zurück zum Inhaltsverzeichnis


 

Wurzelfunktionen

Bei der Wurzelfunktion

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{f(x) = \sqrt{x-2}}} \end{equation*}

darf die Diskriminante, also der Wurzelinhalt, nicht negativ sein. Wir berechnen das, was gelten darf mit:

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{array}{ r c l l } x - 2 & \geq & 0 & | +2 \\ x & \geq & 2 \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \end{equation*}

Wir erhalten den Definitionsbereich

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{\mathbbmss{D} = \{ \, x \, | \, x \geq 2 \, , \, x\in\mathbbm{R} \}}} \end{equation*}

Um sich diesen Sachverhalt bildlich zu veranschaulichen, bilden wir die Umkehrfunktion der obigen Wurzelfunktion.

 

Umkehrfunktion

Wir nehmen die Wurzelfunktion

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{array}{ r c l } f(x) & = & \sqrt{x-2} \\ y & = & \sqrt{x-2} \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \end{equation*}

und gehen folgendermaßen vor:

    1. Tausch der Variablen

          \begin{equation*} x & = & \sqrt{y-2} \end{equation*}

 

  1. Auflösen nach der Umkehrfunktion y^{-1}

        \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{array}{ r c l l } x & = & \sqrt{y^{-1}-2} & | (\dots)^2\\ x^2 & = & y^{-1}-2 & | +2\\ x^2 +2 & = & y^{-1} & \\ y^{-1} & = & x^2 +2 & \\ \end{array} \renewcommand\arraystretch{1} \end{equation*}

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Parabel (und umgekehrt). Das heisst, dass der Graph der Wurzelfunktion der gespiegelte Graph von der Parabel an der Winkelhalbierende von der x-Achse und der y-Achse ist.

Rendered by QuickLaTeX.com

 
 
zurück zum Inhaltsverzeichnis


 

Logarithmusfunktionen

Genauso ist

    \begin{equation*} \mathlarger{f(x) = ln(x) \, : \textit{ logarithmus naturalis } , } \end{equation*}

Rendered by QuickLaTeX.com

die Umkehrfunktion von der e-Funktion.

Das heisst:
Ebenso wie die e-Funktion nie die x-Achse erreicht, erreicht die Logarithmusfunktion

    \begin{equation*} \mathlarger{f(x) = ln(x) } \end{equation*}

nie die y-Achse und es gilt dann für den Definitionsbereich:

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{\mathbbmss{D} = \bigl{\{} x \, \bigl{|} \, x > 0 \}}} \end{equation*}

 
 
zurück zum Inhaltsverzeichnis


 

 

Quiz

Wähle eine Antwort oder mehrere Antworten aus.

  • rundes Symbol: single choice (nur eine Antwort ist möglich)
  • quadratisches Symbol: multiple choice (mehrere Antworten sind möglich)

 

Definitionsmenge

1.

Für welche Funktion ist x=0 nicht definiert?

 

Frage 1 von 10

Definitionsmenge

2.

Wie lautet der Definitionsbereich von

    \begin{equation*} \sqrt{0.25x^3 - 0.5x^2 - 2x} \end{equation*}

Dazu betrachten wir zunächst einmal die Voraussetzungen.
Was muss hier gelten?

 

Frage 2 von 10

Definitionsmenge

3.


Berechne zunächst

    \[ 0.25x^3 - 0.5x^2 - 2x = 0 \]

ohne Taschenrechner.
Welches ist die richtige Vorgehensweise?

 

Frage 3 von 10

Definitionsmenge

4.  

Wie sieht die Gleichung nach dem Ausklammern aus?

 

Frage 4 von 10

Definitionsmenge

5. Mit welcher Annahme wird weiter gerechnet?

 

Frage 5 von 10

Definitionsmenge

6.

Eine Nullstelle liegt also bei Null. Die weiteren Nullstellen werden mit der PQ-Formel berechnet, wobei von der Normalform

    \[ x^2 + px + q = 0 \]

ausgegangen wird.

Sind bei der Gleichung

    \[ 0.25x^2 - 0.5x - 2 = 0 \]

    \[ p = -0.5 \quad \textit{und} \quad  q = -2 ? \]

Frage 6 von 10

Definitionsmenge

7.

Natürlich muss bei

    \[ 0.25x^2 - 0.5x - 2 = 0 \]

die 0.25 noch verschwinden. Wir rechnen also

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{ r c l l} 0.25x^2 - 0.5x - 2 & = & 0 & | \cdot 4 \\ x^2 - 2x - 8 & = & 0 &  \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Wie lauten für die Normalform

    \[ x^2 + px + q = 0 \]

die Werte für p und q?

Frage 7 von 10

Definitionsmenge

8.

Eingesetzt in die PQ-Formel

    \[ x_{1,2} & = - \frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \]

erhalten wir

    \[ x_{1,2} & = - \frac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-8)} \]

Wie lautet die Gleichung weiter aufgelöst

Frage 8 von 10

Definitionsmenge

9.

Bei

    \begin{equation*} x_{2,3} & = & 1\pm \sqrt{1+8} \end{equation*}

lauten die Nullstellen

    \begin{equation*} N_1 \, \textit{ und } \, N_2 \end{equation*}

Frage 9 von 10

Definitionsmenge

10.

Mit

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{array}{ r r r c r l } N_2 & ( & 4 & | & 0 & ) \\ N_3 & ( & -2 & | & 0 & ) \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

sind die beiden folgenden Graphen denkbar:

Rendered by QuickLaTeX.com

und

Rendered by QuickLaTeX.com

Wie lautet nun der Definitionsbereich?

Frage 10 von 10


 

 
 
zurück zum Inhaltsverzeichnis

Menü