Ganzrationale Funktionen

Inhaltsverzeichnis

 

Potenzfunktionen

Ganzrationale Funktionen gehen aus den Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten hervor. Dessen Graphen können nun in den folgenden 4 Gestalten auftreten:

  • gerade Exponenten
    • positives Vorzeichen
    • negatives Vorzeichen
  • ungerades Exponenten
    • positives Vorzeichen
    • negatives Vorzeichen

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten

Positive Potenzfunktionen mit geraden Exponenten

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Negative Potenzfunktionen mit geraden Exponenten

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Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

Positive Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

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Negative Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

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Randverhalten

Die Verläufe der Potenzfunktionen lassen sich gut über ihr Verhalten am linken und rechten Rand der Funktionsgraphen charakterisieren. Dazu sehen wir uns die folgenden 2 Beschreibungsmethoden an.

 

Quartale des Koordinatensystems

Das Koordinatenkreuz lässt sich in 4 Bereiche aufteilen:

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Das Ganze graphisch:

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Bei der Funktion f(x)=x^3 verläuft der Graph,

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von links nach rechts gesehen, von dem III. Quadranten in den I. Quadranten.

 

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Grenzwerte des Randverhaltens

Wir können auch sagen, dass der Graph, wenn wir an der linken Rand gehen, dann geht der Graph zum unteren Rand hin und wenn wir an den rechten Rand gehen, so geht der Graph zum oberen Rand hin.

 
Da es nun aber keinen Rand gibt, und der Graph in alle Richtungen ins nahezu Unendliche (Unendlich selbst ist für den Zahlenbereich der reellen Zahlen nicht definiert) geht, drücken wir es wie folgt aus:

 
Strebt x gegen -\infty , so geht f(x) auch gegen -\infty.

 
geschrieben:

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Und in die andere Richtung gilt:

 
Strebt x gegen \infty , so geht f(x) auch gegen \infty.

 
geschrieben:

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Randverhalten von Potenzfunktionen

Zusammengefasst ergeben sich folgende Verlaufsformen für Potenzfunktionen:

Übersicht der Verläufe von Potenzfunktionen tabellarisch

 
 
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Polynomfunktionen

Ganzrationale Funktionen, auch Polynomfunktionen oder Polynome genannt, sind eine Summe von Potenzfunktionen. Beispielsweise besteht die Polynomfunktion

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aus den Potenzfunktionen

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Dabei können die Potenzfunktionen, ebenso wie quadratische Funktionen, in gestreckter/gestauchter Form vorliegen.

 
Wie sieht nun der

 

Graph der Polynomfunktion

aus?

 
Das können wir uns anhand einer Wertetabelle deutlich machen:

Wertetabelle von mehrere Potenzfunktion, die summiert eine Polynomfunktion ergeben

 
Durch die Überlagerung, oder besser gesagt Addition der Graphen der Potenzfunktionen, ergibt sich der Verlauf des Graphen f.

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Typische Verläufe der ganzrationale Funktionen

Ebenso wie Potenzfunktionen haben auch Polynome einen charakteristischen Kurvenverlauf, der durch den Grad, also dem Exponenten der Potenzfunktion des Polynoms mit dem höchsten Exponenten, bestimmt wird.

 

Positive gerade Funktionen

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Negative gerade Funktionen

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Positive ungerade Funktionen

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Negative ungerade Funktionen

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Eigenschaften der Polynomfunktionen

Eigenschaften von Polynomen, auch Polynomfunktionen oder ganzrationale Funktionen genannt, in tabellarischer Form

 
 
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