Lineare Gleichungssysteme lösen

\(\quad \begin{array}{ r*{9}{r} } \textrm{I} && -x & - & 2y & + & 4z & = & 6 \\[5pt] \textrm{II} && 2x & + & y & + & 3z & = & 5 \\[5pt] \textrm{III} && 3x & + & 3y & - & 2z & = & -2 \\ \end{array} \)

Inhaltsverzeichnis





Lösungsverfahren von Linearen Gleichungssystemen

Zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen stehen uns 3 Verfahren zur Verfügung, das


Diese Verfahren dienen zur Berechnung der Lösungsmenge von mehreren linearen Gleichungen, lässt sich aber auch gut auf andere Anwendungsbereiche übertragen.

Diese Lösungsverfahren können für vielfältige Anwendungsbereiche genutzt werden, die da zum Beispiel wären:

  1. die Berechnung von Schnittpunkten mehrerer Geraden
  2. das Lösen von Vektorgleichungen, zum Beispiel die Berechnung von Schnittpunkten einer Geraden mit einer Ebene
  3. das Lösen von Steckbriefaufgaben


Eine Weiterführung des Additionsverfahrens ist das Gaußverfahren, das in einem gesonderten Beitrag behandelt wird.
Dieses wird in der Regel verwendet, wenn das Lineare Gleichungssystem als Matrizengleichung oder als erweiterte Koeffizientenmatrix dargestellt ist.



Was ist ein Lineares Gleichungssystem?

Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) bestehend aus 2 Gleichungen mit 2 Variablen kann modellhaft als ein System von 2 Geradengleichungen aufgefasst werden.

my image

Es ergibt sich hier ein Gleichungssystem mit dem Geradengleichungen

\(\quad \begin{array}{ r*{6}{r} } \textrm{I} && y & = & \frac{1}{2}x & + & 1 \\[6pt] \textrm{II} && y & = & -\frac{1}{4}x & + & 4 \\ \end{array} \)

Die Lösung des Gleichungssystems berechnet den Schnittpunkt beider Geraden.



Gleichsetzungsverfahren

my image

Im Schnittpunkt gilt nun, dass der \(x\)-Wert und der \(y\)-Wert beider Geraden gleich ist. Für das Gleichungssystem

\(\quad \begin{array}{ r*{6}{r} } \textrm{I} && y & = & \frac{1}{2}x & + & 1 \\[6pt] \textrm{II} && y & = & -\frac{1}{4}x & + & 4 \\ \end{array} \)

bedeutet dies nun:

Ist \(y_g = y_h\), so muss \(x_g = x_h\) sein. Im Folgenden werden die Indizes von \(x\) und \(y\) der Übersicht halber weggelassen.
Für die Berechnung des Schnittpunktes setzen wir die \(y\)-Werte zunächst gleich.

\(\quad \begin{array}{ c*{7}{c} } && y & = & y \\[6pt] \frac{1}{2}x & + & 1 & = & -\frac{1}{4}x & + & 4 \\ \end{array} \)

Da die \(x\)-Werte für den Schnittpunkt identisch sein müssen, können wir die Gleichung einfach nach \(x\) auflösen.

\(\quad \begin{array}{ c*{7}{c} l } \frac{1}{2}x & + & 1 & = & -\frac{1}{4}x & + & 4 && \bigr| +\frac{1}{4}x \\[6pt] \frac{3}{4}x & + & 1 & = & 4 &&&& \bigr| -1 \\[6pt] && \frac{3}{4}x & = & 3 &&&& \bigr| \cdot \frac{4}{3} \\[6pt] && x & = & 4 &&& \\ \end{array} \)

\(x\) wird nun eingesetzt um \(y\) zu ermitteln. Dabei ist es egal, ob \(x\) in Gleichung \(\textrm{I}\) oder \(\textrm{II}\) eingesetzt wird, da die beiden \(y\)-Werte ja gleich sind. Wir wählen zum Beispiel Gleichung \(\textrm{I}\) :

\(\quad \begin{array}{ c*{4}{c} } y & = & \frac{1}{2} \cdot 4 & + & 1 \\[6pt] y & = & 2 & + & 1 \\[6pt] y & = & 3 \\ \end{array} \)

Zur Überprüfung der Werte können \(x\) und \(y\) in die andere Gleichung eingesetzt werden.

Probe in \(\textrm{II}\) :

\(\quad \begin{array}{ c*{4}{c} } 3 & = & -\frac{1}{4} \cdot 4 & + & 4 \\[6pt] 3 & = & - 1 & + & 4 \\[6pt] 3 & = & 3 \\ \end{array} \)

Wir erhalten ein wahre Aussage. Damit sind die beiden Werte richtig.

Die Lösungsmenge

\(\quad \mathbb{L} = \{ \dots \} \)

wird in geschweiften Klammern geschrieben und ist eine Aufzählung der Elementen in willkürlicher Reihenfolge. Üblich ist jedoch die Elemente der Größe nach zu sortieren.

In diesem Fall besteht die Lösung aus einem Element, das durch einen n-Tupel gebildet wird. Ein n-Tupel ist ein Element, das wiederum aus mehreren geordneten Elementen gebildet wird und in runden Klammern geschrieben wird. Hier haben wir einen 2-Tupel, der auch Dupel heißt. Die Lösungsmenge lautet also

\(\quad \mathbb{L} = \{ (4 | 3) \} \)


Es folgen nun 3 weitere Beispiele, um auf einige Besonderheiten hinzuweisen.

Beispiel 1

\(\quad \begin{array}{ r*{6}{r} } \textrm{I} && -3x & + & y & = & -4 \\[6pt] \textrm{II} && x & - & 2y & = & -8 \\ \end{array} \)


Liegen die Geradengleichungen in dieser Art vor, so müssen beide Gleichungen zunächst nach \(y\) aufgelöst werden.

\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r l } \textrm{I} && -3x & + & y & = & -4 && | +3x \\[6pt] \textrm{II} && -x & - & 2y & = & -6 && | +x \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r l } \textrm{I} && y & = & 3x & - & 4 & \\[6pt] \textrm{II} && -2y & = & x & - & 6 && | : (-2) \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r*{6}{r}} \textrm{I} && y & = & 3x & - & 4 \\[6pt] \textrm{II} && y & = & -\frac{1}{2}x & + & 3 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ c*{3}{c} } \textrm{I} & = & \textrm{II} \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ r r c r c r r r l } 3x & - & 4 & = & -\frac{1}{2}x & + & 3 && \bigr| +4 \\[6pt] && 3x & = & -\frac{1}{2}x & + & 7 && \bigr| +\frac{1}{2}x \\[6pt] && \frac{7}{2}x & = & 7 &&&& \bigr| \cdot \frac{2}{7} \\[6pt] && x & = & 2 & \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ c*{3}{c} } x & in & \textrm{I} \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ c*{6}{c}} y & = & 3 \cdot 2 & - & 4 & \\[5pt] y & = & 6 & - & 4 & \\[5pt] y & = & 2 & \\ \end{array} \)


Auf die Probe sei hier und im Folgenden verzichtet.

\(\quad \mathbb{L} = \{ (2 | 2) \} \)



Beispiel 2

\(\quad \begin{array}{ r*{6}{r} } \textrm{I} && x & + & 3y & = & 12 \\[5pt] \textrm{II} && -x & - & 2y & = & -2 \\ \end{array} \)

Mitunter ist es einfacher, die beiden Gleichungen zunächst nach \(x\) aufzulösen. Das ist natürlich auch möglich, da beide \(x\)-Werte ja auch gleich sind.

\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r l } \textrm{I} && x & + & 3y & = & 12 && \bigr| -3y \\[5pt] \textrm{II} && -x & - & 2y & = & -2 && \bigr| +2y \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r l } \textrm{I} && x & = & 12 & - & 3y && \\[5pt] \textrm{II} && -x & = & -2 & + & 2y && \bigr| \cdot (-1) \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r l } \textrm{I} && x & = & 12 & - & 3y && \\[5pt] \textrm{II} && x & = & 2 & - & 2y && \\ \end{array} \)



\(\quad \begin{array}{ c*{3}{c} } \textrm{II} & = & \textrm{I} \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ c*{7}{c} l } 2 & - & 2y & = & 12 & - & 3y && \bigr| +3y \\[5pt] 2 & + & y & = & 12 &&&& \bigr| -2 \\[5pt] && y & = & 10 & \\ \end{array} \)

Zum Einsetzen kann nun auch die umgeformte Gleichung verwendet werden.

\(\quad \begin{array}{ c*{3}{c} } y & in & \textrm{I} \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ c*{6}{c}} x & = & 12 & - & 3 \cdot 10 & \\[5pt] x & = & 12 & - & 30 & \\[5pt] x & = & -18 & \\ \end{array} \)


\(\quad \mathbb{L} = \{ (-18 | 10) \} \)



Beispiel 3

\(\quad \begin{array}{ r*{6}{r} } \textrm{I} && 4x & + & 3y & = & 30 \\[5pt] \textrm{II} && -3x & + & 3y & = & -12 \\ \end{array} \)

Sind zwei Terme gleich, wie hier die \(3y\), so können die Gleichungen auch danach um gestellt werden.

\(\quad \begin{array}{ r*{8}{r} } \textrm{I} && 4x & + & 3y & = & 30 && \bigr| -4x \\[5pt] \textrm{II} && -3x & + & 3y & = & -12 && \bigr| +3x \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r*{6}{r} } \textrm{I} && 3y & = & 30 & - & 4x \\[5pt] \textrm{II} && 3y & = & 3x & - & 12 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ c*{3}{c} } \textrm{II} & = & \textrm{I} \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ c c c c c c c c l } 3x & - & 12 & = & 30 & - & 4x && \bigr| +4x \\[5pt] 7x & - & 12 & = & 30 &&&& \bigr| +12 \\[5pt] && 7x & = & 42 &&&& \bigr| :7 \\[5pt] && x & = & 6 &&&& \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ c*{3}{c} } x & in & \textrm{I} \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ c c c c c l } 3y & = & 30 & - & 4 \cdot 6 & \\[5pt] 3y & = & 6 &&&& \bigr| :3 \\[5pt] y & = & 2 & \\ \end{array} \)


\(\quad \mathbb{L} = \{ (6 | 2) \} \)



Einsetzungsverfahren

Alternativ zum Gleichsetzungsverfahren kann das Einsetzungsverfahren verwendet werden.

\(\quad \begin{array}{ c*{6}{c} } \textrm{I} && -5x & + & y & = & -7 \\[6pt] \textrm{II} && y & = & 4 & - & \frac{1}{2}x \\ \end{array} \)


Für \(y\) kann nach Gleichung \(\textrm{II}\) auch \(4 - \frac{1}{2}x\) geschrieben werden. Wir setzen dieses also einfach inGleichung \(\textrm{I}\) ein.

\(\quad \begin{array}{ c*{3}{c} } \textrm{II} & in & \textrm{I} \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ c c c c c r r r l } -5x & + & 4 & - & \frac{1}{2}x & = & -7 && \bigr| -4 \\[6pt] &&&& -\frac{11}{2}x & = & -11 && \bigr| \cdot \left( -\frac{2}{11} \right) \\[6pt] &&&& x & = & 2 && \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ c*{3}{c} } x & in & \textrm{II} \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ r*{6}{r} } y & = & 4 & - & \frac{1}{2} \cdot 2 \\[6pt] y & = & 3 && \\ \end{array} \)


\(\quad \mathbb{L} = \{ (2 | 3) \} \)


Im Gegensatz zum Gleichsetzungsverfahren brauchen wir beim Einsetzungsverfahren nur eine Gleichung nach der Variablen oder dem Term auflösen.

Beispiel 1

\(\quad \begin{array}{ r*{9}{r} } \textrm{I} && 2x & + & 3y & = & 16 && | -2x \\[5pt] \textrm{II} && 5x & - & 3y & = & -2 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r*{8}{r} } \textrm{I} &&&& 3y & = & 16 & - & 2x \\[5pt] \textrm{II} && 5x & - & 3y & = & -2 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ c*{3}{c} } \textrm{I} & in & \textrm{II} \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ c c c c r r r r l } 5x & - & (16 & - & 2x) & = & -2 && \\[5pt] 5x & - & 16 & + & 2x & = & -2 \\[5pt] && 7x & - & 16 & = & -2 && \bigr| +16 \\[5pt] &&&& 7x & = & 14 && \bigr| : 7 \\[5pt] &&&& x & = & 2 && \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ c*{3}{c} } x & in & \textrm{I} \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ r*{8}{r} } 3y & = & 16 & - & 2 \cdot 2 \\[5pt] 3y & = & 12 && | : 3 \\[5pt] y & = & 4 \\ \end{array} \)


\(\quad \mathbb{L} = \{ (2 | 4) \} \)


Ein Lineares Gleichungssystem kann auch mehr als 2 Gleichungen und 2 Variablen haben.

Beispiel 2

\(\quad \begin{array}{ r*{9}{r} } \textrm{I} && -x & - & 2y & + & 4z & = & 6 \\[5pt] \textrm{II} && 2x & + & y & + & 3z & = & 5 \\[5pt] \textrm{III} && 3x & + & 3y & - & 2z & = & -2 \\ \end{array} \)

In einem solchen Fall wird zunächst eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst. Es bietet sich hier an Gleichung \(\textrm{II}\) nach \(y\) aufzulösen.

\(\quad \begin{array}{ r*{10}{r} } \textrm{I} && -x & - & 2y & + & 4z & = & 6 \\[5pt] \textrm{II} && 2x & + & y & + & 3z & = & 5 && \bigr| -2x \\[5pt] \textrm{III} && 3x & + & 3y & - & 2z & = & -2 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r*{12}{r} } \textrm{I} && -x & - & 2y & + & 4z & = & 6 \\[5pt] \textrm{II} && && y & + & 3z & = & 5 & - & 2x && \bigr| -3z \\[5pt] \textrm{III} && 3x & + & 3y & - & 2z & = & -2 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r*{12}{r} } \textrm{I} && -x & - & 2y & + & 4z & = & 6 \\[5pt] \textrm{II} && &&&& y & = & 5 & - & 2x & - & 3z \\[5pt] \textrm{III} && 3x & + & 3y & - & 2z & = & -2 \\ \end{array} \)


Wird \(y\) nun eingesetzt, so verbleiben zwei Variablen. Um weiter eine Variable zu berechnen, brauchen wir ein Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen. Es wird also \(y\) sowohl in Gleichung \(\textrm{I}\) als auch in Gleichung \(\textrm{III}\) eingesetzt.

\(\quad \begin{array}{ c c c c c r r r r r r r r r r r r } y & in & \textrm{I} & = & \textrm{Ia} && -x & - & 2 \cdot (5 & - & 2x & - & 3z) & + & 4z & = & 6 \\[5pt] y & in & \textrm{III} & = & \textrm{IIIa} && 3x & + & 3 \cdot (5 & - & 2x & - & 3z) & - & 2z & = & -2 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r*{12}{r} } \textrm{Ia} && -x & - & 10 & + & 4x & + & 6z & + & 4z & = & 6 \\[5pt] \textrm{IIIa} && 3x & + & 15 & - & 6x & - & 9z & - & 2z & = & -2 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r*{12}{r} } \textrm{Ia} && 3x & + & 10z & - & 10 & = & 6 \\[5pt] \textrm{IIIa} && -3x & - & 11z & + & 15 & = & -2 \\ \end{array} \)

Gleichung \(\textrm{I}\) kann nach \(3x\) aufgelöst und in Gleichung \(\textrm{III}\) eingesetzt werden.

\(\quad \begin{array}{ r*{12}{r} } \textrm{Ia} && 3x & + & 10z & - & 10 & = & 6 && \bigr| -10z \\[5pt] \textrm{IIIa} && -3x & - & 11z & + & 15 & = & -2 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r*{12}{r} } \textrm{Ia} &&&& 3x & - & 10 & = & 6 & - & 10z && \bigr| +10 \\[5pt] \textrm{IIIa} && -3x & - & 11z & + & 15 & = & -2 \\ \end{array} \)

\(\quad \begin{array}{ r*{12}{r} } \textrm{Ia} &&&&&& 3x & = & 16 & - & 10z \\[5pt] \textrm{IIIa} && -3x & - & 11z & + & 15 & = & -2 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ c c c c c r r r r r r r r r r} \textrm{Ia} & in & \textrm{IIIa} & = & \textrm{IIIb} && -(16 & - & 10z) & - & 11z & + & 15 & = & -2 \\[5pt] &&&&&& -16 & + & 10z & - & 11z & + & 15 & = & -2 \\[5pt] &&&&&&&&&& -z & - & 1 & = & -2 && \bigr| +1 \\[5pt] &&&&&&&&&&&& -z & = & -1 && \bigr| \cdot (-1) \\[5pt] &&&&&&&&&&&& z & = & 1 \\ \end{array} \)

\(z\) wird nun in Gleichung \(\textrm{Ia}\) eingesetzt und zu \(\textrm{Ib}\).

\(\quad \begin{array}{ r*{12}{r} } \textrm{Ib} && 3x & = & 16 & - & 10 \cdot 1 \\[6pt] && 3x & = & 6 &&&& \bigr| : 3 \\[6pt] && x & = & 2 &&&& \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ c c c r r r r r r r r r r } x,z & in & \textrm{II} && y & = & 5 & - & 2 \cdot 2 & - & 3 \cdot 1 \\[6pt] && y & = & -2 \\ \end{array} \)

\(\quad \mathbb{L} = \{ (2 | -2 | 1) \} \)

Das Einsetzungsverfahren mit 3 Gleichungen ist relativ unübersichtlich und wird mit 4 Gleichungen und 4 Variablen recht undurchschaubar. In solchen Fällen ist es meist ratsam, das Additionsverfahren oder gar das Gaußverfahren zu verwenden.



Additionsverfahren

Dieses Verfahren hat eine ganz andere Vorgehensweise als die beiden zuvor genannten Verfahren.

\(\quad \begin{array}{ r*{6}{r} } \textrm{I} && 4x & + & 6y & = & -2 \\[5pt] \textrm{II} && 9x & - & 6y & = & 54 \\ \end{array} \)

Beim Additionsverfahren ist es wichtig, dass die \(x\)-Werte, die \(y\)-Werte und die alleinstehenden Zahlen übereinander stehen. Denn diese Terme werden wie bei einer schriftlichen Addition zusammengezählt.

\(\quad \left. \begin{array}{ r*{6}{r} } \textrm{I} && 4x & + & 6y & = & -2 \\[5pt] \textrm{II} && 9x & - & 6y & = & 54 \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(II a)}}^+ \)

Durch das Aufaddieren heben sich die \(y\)-Werte auf, was auch gewollt ist. Nun entsteht eine Gleichung, die leicht aufzulösen ist.

\(\quad \begin{array}{ r*{7}{r} } \textrm{IIa} &&& 13x & = & 52 && \bigr| : 13 \\[5pt] &&& x & = & 4 \\ \end{array} \)

Weiter geht's mit der Vorgehensweise, die wir aus den anderen beiden Verfahren schon kennen.

\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r r l } x & in & \textrm{I} && 4 \cdot 4 & + & 6y & = & -2 \\[5pt] &&&& 16 & + & 6y & = & -2 && \bigr| -16 \\[5pt] &&&&&& 6y & = & -18 && \bigr| : 6 \\[5pt] &&&&&& y & = & -3 \\ \end{array} \)


\(\quad \mathbb{L} = \{ (4 | -3) \} \)


In der Regel lässt sich das Gleichungssystem aber nicht so leicht lösen, da zumeist unterschiedliche Anzahlen der \(x\) und \(y\) vorliegen.

Beispiel 1

\(\quad \begin{array}{ r*{6}{r} } \textrm{I} && 28x & - & 16y & = & 20 \\[5pt] \textrm{II} && 21x & - & 15y & = & -60 \\ \end{array} \)

Es werden bei beiden Gleichungen das \(x\) oder das \(y\) durch Vervielfachen auf die gleiche Anzahl gebracht, was hier beim \(x\) leichter zu bewerkstelligen scheint. Dafür wird das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von \(28\) und \(21\) gesucht. Eine Methode dafür ist der Vergleich der Vielfachenmengen.

\(\quad \begin{array}{ r c l } V_{21} & = & \{21 \, , \; 42, \; 63 \, , \; \color{blue}{84} \, , \; 105 \, , \dots \} \\[6pt] V_{28} & = & \{28 \, , \; 56 \, , \; \color{blue}{84} \, , \; 102 \, , \dots \} \\ \end{array} \)

Eine andere Methode ist die Primfaktorenzerlegung.

\(\quad \begin{array}{ r c l } 21 & = & 3 \cdot 7 \\[5pt] 28 & = & 2 \cdot 2 \cdot 7 \\ \end{array} \)

Jede Primzahl der beiden Zerlegungen muss im kgV vorkommen. Wir brauchen also zweimal die \(2\) und und je einmal die \(3\) und die \(7\).

\(\quad \begin{array}{ r c l c l } kgV(21,28) & = & 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 & = & \color{blue}{84} \\ \end{array} \)

Das \(x\) muss in beiden Gleichungen also die Anzahl von \(84\) erhalten, wobei der eine Wert positiv und der andere negativ sein muss, damit sich die Werte bei der Addition aufheben. Wie an den Primfaktoren abzulesen ist, müssen die Gleichungen mit \(3\) bzw. \(4\) multipliziert werden.

\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r l } \textrm{I} && 28x & - & 16y & = & 20 && \bigr| \cdot 3 \\[5pt] \textrm{II} && 21x & - & 15y & = & -60 && \bigr| \cdot (-4) \\ \end{array} \)


\(\quad \left. \begin{array}{ r*{7}{r} l } \textrm{I} & 84x & - & 48y & = & 60 \\[5pt] \textrm{II} & -84x & + & 60y & = & 240 \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(IIa)}}^+ \)


\(\quad \begin{array}{ r*{10}{r} } \textrm{IIa} &&&&&& 12y & = & 300 && \bigr| : 12 \\[5pt] &&&&&& y & = & 25 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r l } y & in & \textrm{II} && 21x & - & 15 \cdot 25 & = & -60 \\[5pt] &&&& 21x & - & 375 & = & -60 && \bigr| +375 \\[5pt] &&&&&& 21x & = & 315 && \bigr| :21 \\[5pt] &&&&&& x & = & 15 \\ \end{array} \)


\(\quad \mathbb{L} = \{ (15 | 25) \} \)


Mit 3 Variablen können wir erkennen, wie ein strukturiertes Auflösen mit dem Additionsverfahren vonstatten geht.

Beispiel 2

\(\quad \begin{array}{ r*{9}{r} } \textrm{I} && x & - & 2 y & + & 3 z & = & -5 \\[5pt] \textrm{II} && 3 x & + & 2 y & - & z & = & 13 \\[5pt] \textrm{III} && -x & + & 4 y & + & 5 z & = & -9 \\ \end{array} \)

Um eine Variable zu berechnen muss zunächst eine Variable eliminiert werden. Betrachtet wir die kgV der einzelnen Variablen, so sehen wir, dass wir für \(x\) und \(y\) einen kleinen kgV erhalten. Wählen wir \(y\), so brauchen wir Gleichung \(\textrm{I}\) und \(\textrm{II}\) nur mit \(2\) multiplizieren, um auf den kgV zu kommen.

Wird \(y\) eliminiert, so verbleiben zwei Variablen. Wir benötigen also ein Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen, um das ursprüngliche Gleichungssystem auf eine Variable reduzieren zu können.

Mit dem Additionsverfahren können jeweils nur zwei Gleichungen miteinander kombiniert werden. Wir wählen als erste Kombination Gleichung \(\textrm{I}\) und \(\textrm{II}\) und für die zweite Kombination Gleichung \(\textrm{I}\) und \(\textrm{III}\).

Es ist üblich, die Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor und die anschließende Addition der beiden Gleichung in einem Schritt zu vollziehen, wie es im Folgenden gezeigt wird.

\(\quad \left. \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ c r*{8}{r} l } \textrm{I} && x & - & 2 y & + & 3 z & = & -5 && \\[3pt] \textrm{II} && 3 x & + & 2 y & - & z & = & 13 && \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(IIa)}}^+ \begin{array}{ l } | \cdot 2 \quad \\[3pt] \\[3pt] \end{array} \\ \begin{array}{ r*{9}{r} l } \textrm{III} & \; -x & + & 4 y & + & 5 z & = & -9 && \\ \end{array} \end{array} \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(IIIa)}}^+ \)

Weiter geht es mit der Elimination von \(x\).

\(\quad \left. \begin{array}{ c r r r r r r r r r r l } \textrm{IIa} &&&&& 4 x & + & 2 z & = & 8 && \\[3pt] \textrm{IIIa} &&&&& x & + & 11 z & = & -19 && | \cdot (-4) \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(III b)}}^+ \)


\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r r r r r l } \textrm{IIIb} &&&&&&&& \, -42 z & = & 84 && | : (-42) \\[3pt] &&&&&&&& \, z & = & -2 && \\ \end{array} \)

Wie bei den anderen Verfahren auch wird nun wieder eingesetzt, wobei wir in das vorherige System gehen.

\(\quad \begin{array}{ c r r r r r r r r l } z & in & \textrm{IIIa} && x & + & 11 \cdot (-2) & = & -19 \\[5pt] &&&& x & - & 22 & = & -19 && \bigr| +22 \\[5pt] &&&&&& x & = & 3 \\ \end{array} \)


Wieder wird eingesetzt, dieses Mal im ersten Gleichungssystem.

\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r r r r r l } x,z & in & \textrm{II} && 3 \cdot 3 & - & 2y & - & (-2) & = & 13 \\[5pt] &&&&&& 2y & + & 11 & = & 13 && \bigr| -11 \\[5pt] &&&&&&&& 2y & = & 2 && \bigr| :2 \\[5pt] &&&&&&&& y & = & 1 \\ \end{array} \)


\(\quad \mathbb{L} = \{ (3 | 1 | -2) \} \)


Ist eine Variable in einer Gleichung nicht vorhanden, so lässt sich das neue Gleichungssystem einfacher erstellen.

Beispiel 3

\(\quad \begin{array}{ r*{9}{r} r } \textrm{I} && x & + & 3 y & + & 2 z & = & 7 \\[5pt] \textrm{II} && 2 x & - & y & - & 4 z & = & -1 \\[5pt] \textrm{III} && 3 x & + & 4 y & & & = & 9 \\ \end{array} \)

Eine Gleichung des neuen Gleichungssystems wird Gleichung \(\textrm{III}\). Die andere Gleichung erhalten wir, indem wir \(z\) mit der Kombination aus Gleichung \(\textrm{I}\) und Gleichung \(\textrm{II}\) eliminieren.

\(\quad \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ c r r r r r r r r r r l } \textrm{I} && x & + & 3 y & + & 2 z & = & 7 && | \cdot 2\\[5pt] \textrm{II} && 2 x & - & y & - & 4 z & = & -1 && \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(II a)}}^+ \\ \begin{array}{ r*{11}{r} } \textrm{III} & \; \; 3 x & + & 4 y & & & & & = & \; \; \, 9 && \\ \end{array} \end{array} \)


\(\quad \left. \begin{array}{ r r r r r r r r r r r l } \textrm{IIa} &&&&& \; \; 4 x & - & 5 y & = & 13 && | \cdot (-3)\\[5pt] \textrm{III} &&&&& \; \; 3 x & + & 4 y & = & 9 && | \cdot 4 \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(IIIa)}}^+ \)


\(\quad \begin{array}{ r*{1}{r} } \textrm{IIIa} &&&&&&&&& y & = & -3 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r r r l } y & in & \textrm{III} && 3x & + & 4 \cdot (-3) & = & 9 \\[5pt] &&&& 3x & - & 12 & = & 9 && \bigr| +12 \\[5pt] &&&&&& 3x & = & 21 && \bigr| :3 \\[5pt] &&&&&& x & = & 7 \\ \end{array} \)


\(\quad \begin{array}{ r r r r r r r r r r l } x,y & in & \textrm{I} && 7 & + & 3 \cdot (-3) & + & 2z & = & 7 \\[5pt] &&&&&& -2 & + & 2z & = & 7 && \bigr| +2 \\[5pt] &&&&&&&& 2z & = & 9 && \bigr| :2 \\[5pt] &&&&&&&& z & = & 4{,}5 \\ \end{array} \)


\(\quad \mathbb{L} = \{ (7 | -3 | 4{,}5) \} \)