Lineare Unabhängigkeit

Inhaltsverzeichnis

Linearkombination

Mit den Regeln der Vektoraddition ergibt die Summe mehrerer Vektoren einen neuen Vektor.

Das gleiche gilt auch für Vielfache (oder Bruchteile) der einzelnen Summanden.

Es ergibt sich der Vektor \(\vec{d}\) mit

\( \vec{d} \; = \; r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} \)

Der Term

\( r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} \)

wird eine Linearkombination der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) genannt.

Mit einem inhomogenen Gleichungssystem kann überprüft werden, ob mehrere Vektoren eine Linearkombination bilden können.

Aufgaben zu Linearkombinationen

1. Vektor \(\vec{c}\) kann als Linearkombination der anderen beiden Vektoren gebildet werden.
   
   
   Wie kann das zeichnerisch dargestellt werden und wie lauten dann die Skalare \(r\) und \(s\)?
   Hinweis: Vektoren sind nicht an einem Ort gebunden und sind frei verschiebbar.

2. Die Linearkombination der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) mit
   
   \(\quad \vec{a} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{b} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{c} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
   ergibt den Vektor
   
   \(\quad \vec{d} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -5 \\ 13 \\ -9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
   Die Skalare \(r\), \(s\) und \(t\) sind rechnerisch mit Hilfe eines Gleichungssystems zu ermitteln.

Lösungen zu Linearkombinationen

1. Vektor \(\vec{b}\) wird so verschoben, dass er auf den Zielpunkt von Vektor \(\vec{c}\) trifft. Durch Verlängerung der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ergibt sich eine geschlossene Vektorkette.
   
   
   
   Die Skalare ergeben sich dadurch, dass nun geschaut wird, wie oft die Vektoren in diese Vektorkette passen.
   
   
   
   Es ergibt sich
   
   \(\quad \vec{c} \; = \; r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} \)
   
   mit \(r=3\) und \(s=2\).

2. Die Gleichung
   
   \(\quad \begin{array}{ c*{7}{c} } r \; \cdot \; \vec{a} & + & s \; \cdot \; \vec{b} & + & t \; \cdot \; \vec{c} & = & \vec{d} \\[8pt] r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & + & s \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & + & t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -5 \\ 13 \\ -9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \\ \)
   
   wird als ein lineares Gleichungssystem aufgestellt und zum Beispiel mit dem Additionsverfahren gelöst.
   
   \(\quad \left. \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ c r*{8}{r} r } \textrm{I} && r & - & 2 s & + & 3 t & = & -5 && | \cdot (-3) \\[3pt] \textrm{II} && 3 r & + & 2 s & - & t & = & 13 && \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(IV)}}^+ \\ \begin{array}{ r*{9}{r} l } \textrm{III} & \; -r & + & 4 s & + & 5 t & = & -9 && \\ \end{array} \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(V)}}^+ \\ \)
   
   
   \(\quad \left. \begin{array}{ c r*{9}{r} r } \textrm{IV} &&&& & 8 s & - & 10 t & = & 28 && \\[3pt] \textrm{V} &&&& & 2 s & + & 8 t & = & -14 && | \cdot (-4) \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(VI)}}^+ \\ \)
   
   
   \(\quad \begin{array}{ c r*{10}{r} r } \textrm{VI} &&&&&&&& -42 t & = & 84 && | : (-42) \\[3pt] &&&&&&&& t & = & -2 && \\ \end{array} \)
   
   
   \(t\) wird nun in \(\textrm{IV}\) eingesetzt:
   
   \(\quad \begin{array}{ c c*{6}{c} r } \textrm{IV} & & 8 s & - & 10 \cdot (-2) & = & 28 && \\[3pt] & & 8 s & + & 20 & = & 28 && | -20 \\[3pt] & & & & 8 s & = & 8 && | : 8 \\[3pt] & & & & s & = & 1 && \\ \end{array} \)
   
   
   \(s\) und \(t\) können in \(\textrm{I}\) eingesetzt werden:
   
   \(\quad \begin{array}{ c r*{9}{r} l } \textrm{I} && r & - & 2 \cdot 1 & + & 3 \cdot (-2) & = & -5 && \\[3pt] &&&&&& r - 8 & = & -5 && | + 8\\[3pt] &&&&&& r & = & 3 && \\ \end{array} \)
   
   
   Es ergibt sich für Vektor \(\vec{d}\):
   
   \(\quad 3 \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + 1 \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -2 \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -5 \\ 13 \\ -9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Kann ein Vektor als Linearkombination von Vektoren ausgedrückt werden, so nennt man diese Vektoren linear abhängig voneinander.
Hier sind als Beispiel noch einmal die Vektoren aus Aufgabe 1 der Linearkombinationen dargestellt.

Mit dem Gegenvektor von \(\vec{c}\)

ergibt sich eine Vektorkette, die in einem Punkt startet und ebenfalls endet. Die Vektoraddition drückt den Nullvektor aus, in diesem Fall

\(\quad 3 \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +2 \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 7 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

Allgemein gilt:

\(\quad r_1 \cdot \vec{a_1} + r_2 \cdot \vec{a_2} + r_3 \cdot \vec{a_3} + \dots + r_n \cdot \vec{a_n} \; = \; 0 \)

Die Null kann für die Zahl 0 oder für den Nullvektor stehen. In diesem Zusammenhang ist der Nullvektor gemeint.

Wie sieht es nun mit linear unabhängigen Vektoren aus?

Vektor \(\vec{c}\) lässt sich nun nicht als Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ausdrücken. Jedoch gilt hier auch die Vektorkette

\(\quad r_1 \cdot \vec{a_1} + r_2 \cdot \vec{a_2} + r_3 \cdot \vec{a_3} + \dots + r_n \cdot \vec{a_n} \; = \; 0 \)

mit

\(\quad r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} \; = \; 0 \)

und

\(\quad r=0 \, , \; s=0 \, , \; t=0 \)

Denn mit

\(\quad 0 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b} + 0 \cdot \vec{c} \; = \; 0 + 0 + 0 \; = \; 0 \)

ist der Startpunkt der Vektorkette mit deren Endpunkt identisch. Es ergibt sich der Nullvektor und

\(\quad r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} \; = \; 0 \)

ist erfüllt.

Definition der Linearen Unabhängigkeit

Die Überprüfung der Linearen Abhängigkeit/Unabhängigkeit erfolgt mit einem homogenen Gleichungssystem.

Aufgaben zur Linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit

1. Zeige mit
   
   \(\quad r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} \; = \; 0 \; , \)
   
   dass die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) mit
   
   \(\quad \vec{a} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{b} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{c} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 7 \\ -5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
   linear abhängig voneinander sind.
   Gib eine Linearkombination des Vektors \(\vec{c}\) mit Hilfe der anderen beiden Vektoren an.

2. Sind die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) mit
   
   \(\quad \vec{a} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{b} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{c} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
   und
   
   \( \quad r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} \; = \; 0 \)
   
   linear abhängig oder unabhängig?

Lösungen zur Linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit

1. Es gilt
   
   \(\quad \begin{array}{ c*{7}{c} } r \; \cdot \; \vec{a} & + & s \; \cdot \; \vec{b} & + & t \; \cdot \; \vec{c} & = & \vec{0} \\[8pt] r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & + & s \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & + & t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 7 \\ -5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \\ \)
   
   
   Es wird das Gleichungssystem aufgestellt.
   
   \(\quad \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ l } \begin{array}{ c r*{8}{r} l } \; \; \textrm{I} && \quad 3 r & + & 2 s & + & 4 t & = & 0 && \\[3pt] \end{array} \\ \left. \begin{array}{ c r*{9}{r} } \textrm{II} && r & - & 5 s & + & 7 t & = & 0 && \\[3pt] \textrm{III} && -2 r & + & s & - & 5 t & = & 0 && | \cdot 5 \\[3pt] \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(IV)}}^+ \begin{array}{ l } \\[3pt] \quad | \cdot (-2) \quad \end{array} \\ \end{array} \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(V)}}^+ \\ \\ \\ \left. \begin{array}{ c r*{7}{r} } \quad \textrm{IV} && \qquad -9 r & - & 18 t & = & 0 && | : 9 \\[3pt] \quad \textrm{V} && \qquad 7 r & + & 14 t & = & 0 && | : 7 \\[3pt] \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(VI)}}^+ \\ \\ \\ \begin{array}{ c r*{12}{r} } \quad \textrm{VI} &&&&&&&&& 0 & = & 0 && \\ \end{array} \end{array} \)
   
   In Gleichung \(\textrm{VI}\) ergibt sich eine wahre Aussage. Damit gibt es unendlich viele Lösungen. Eine Lösung ist, wenn \(t=1\) ist. Eingesetzt in Gleichung \(\textrm{V}\) ergibt
   
   
   \(\quad \begin{array}{ r*{5}{r} l } 7 r & + & 14 \cdot 1 & = & 0 && | - 14 \\[3pt] & & 7 r & = & - 14 && | : 7 \\[3pt] & & r & = & - 2 && \\ \end{array} \)
   
   \(r\) und \(t\) eingesetzt in Gleichung \(\textrm{III}\) ergibt
   
   \(\quad \begin{array}{ r*{7}{r} l } -2 \cdot (-2) & + & s & - & 5 \cdot 1 & = & 0 && \\[3pt] & & s & - & 1 & = & 0 && | + 1 \\[3pt] & & & & s & = & 1 && \\ \end{array} \)
   
   Damit ist
   
   \(\quad \begin{array}{ c*{7}{c} } -2 \cdot \vec{a} & + & \vec{b} & + & \vec{c} & = & 0 \\ \end{array} \)
   
   Umgestellt ist Vektor
   
   \(\quad \begin{array}{ c*{5}{c} } \vec{c} & = & 2 \vec{a} & - & \vec{b} \\ \end{array} \)

2. Hier gilt
   
   \(\quad \begin{array}{ c*{7}{c} } r \; \cdot \; \vec{a} & + & s \; \cdot \; \vec{b} & + & t \; \cdot \; \vec{c} & = & \vec{0} \\[8pt] r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & + & s \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & + & t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \renewcommand{\arraystretch}{0.9} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \\ \)
   
   Es wird das Gleichungssystem aufgestellt.
   
   \(\quad \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ c r*{8}{r} r } \textrm{I} && \quad r & + & 3 s & + & t & = & 0 && \\[3pt] \textrm{II} && r & - & 2 s & + & 3 t & = & 0 && | \cdot (-1) \\[3pt] \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(IV)}}^+ \begin{array}{ l } \quad | \cdot 2 \quad \\[3pt] \\[3pt] \end{array} \\ \begin{array}{ c r*{8}{r} r } \textrm{III} && -2 r & + & s & + & 4 t & = & 0 && \end{array} \end{array} \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(V)}}^+ \\ \\ \\ \left. \begin{array}{ c r*{8}{r} l } \; \; \textrm{IV} &&&& \qquad 5 s & - & 2 t & = & 0 && | \cdot 3 \\[3pt] \; \; \textrm{V} &&&& \qquad 7 s & + & 6 t & = & 0 && \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(VI)}}^+ \\ \\ \\ \begin{array}{ c r*{11}{r} r } \quad \textrm{VI} &&&&&&&&& 22 s & = & 0 && | : 22 \\[3pt] &&&&&&&&& s & = & 0 && \\ \end{array} \end{array} \)
   
   \(s\) eingesetzt in Gleichung \(\textrm{V}\) ergibt
   
   \(\qquad \begin{array}{ c r*{8}{r} r } \textrm{V} &&&& \quad 7 \cdot 0 & + & 6 t & = & 0 && \\[3pt] &&&&&& 6 t & = & 0 && | : 6 \\[3pt] &&&&&& t & = & 0 && \\ \end{array} \)
   
   \(s\) und \(t\) eingesetzt in Gleichung \(\textrm{I}\) ergibt
   
   \(\qquad \begin{array}{ c r*{8}{r} l } \textrm{I} && r & + & 3 \cdot 0 & + & 0 & = & 0 && \\[3pt] &&&&&& r & = & 0 && \\ \end{array} \)
   
   Es existiert nur die Lösung \(r=s=t=0\). Also sind die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) linear unabhängig.
   

Lineare Abhängigkeit in der Analytischen Geometrie

Kollinearität

Sind 2 Vektoren parallel zueinander,

so kann ein Vektor als Linearkombination des anderen Vektors aus gedrückt werden.

\(\quad \vec{b} \; = \; t \cdot \vec{a} \)

Die Vektoren sind dann kollinear zueinander.

Komplanarität

Befinden sich 3 nicht kollineare Vektoren in der gleichen Ebene, so spricht man von komplanaren Vektoren.

Es gilt für die Komplanarität die Linearkombination

\(\quad \vec{c} \; = \; r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} \)

oder auch der Ansatz der Linearen Abhängigkeit mit

\( \quad r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} \; = \; 0 \)

Aufgaben zur Linearen Abhängigkeit in der Analytischen Geometrie

1. Sind die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) mit
   
   (a) \(\quad \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -9 \\ -3 \\ 6 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
   (b) \( \quad \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
   kollinear?

2. Sind die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) mit
   
   (a) \(\quad \vec{a} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{b} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{c} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ -5 \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
   (b) \(\quad \vec{a} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{b} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -1 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{c} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
   (c) \( \quad \vec{a} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{b} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -3 \\ -6 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \quad \vec{c} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
   komplanar? Falls ja, wie lautet dann die Linearkombination für den Vektor \(\vec{c}\)?

Lösungen zur Linearen Abhängigkeit in der Analytischen Geometrie

1. Für die Kollinearität gilt \(\vec{b} = t \cdot \vec{a}\).
   
   (a) Damit ist \(\quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -9 \\ -3 \\ 6 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
       Als Gleichungssystem ergibt sich
   
   \(\quad \begin{array}{ c r*{4}{r} l } \textrm{I} && - 9 & = & 3 t && | : 3 \\[3pt] \textrm{II} && - 3 & = & t && \\[3pt] \textrm{III} && 6 & = & - 2 t && | : (-2) \\ \end{array} \)
   
   
   \(\quad \begin{array}{ c r*{4}{r} l } \textrm{I} && - 3 & = & t && \\[3pt] \textrm{II} && - 3 & = & t && \\[3pt] \textrm{III} && - 3 & = & t && \\ \end{array} \)
   
       Es existiert ein eindeutiges \(t\). Vektor \(\vec{b}\) kann durch \(\vec{a}\) ausgedrückt werden mit \(\vec{b}=-3 \vec{a}\). Also sind die beiden Vektoren kollinear.
   
   
   (b) Hier ist \(\quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
       Als Gleichungssystem ergibt sich
   
   \(\quad \begin{array}{ c r*{4}{r} l } \textrm{I} && 3 & = & t && \\[3pt] \textrm{II} && 2 & = & t && \\[3pt] \textrm{III} && 6 & = & 2 t && | : 2 \\ \end{array} \)
   
   \(\quad \begin{array}{ c r*{4}{r} l } \textrm{I} && 3 & = & t && \\[3pt] \textrm{II} && 2 & = & t && \\[3pt] \textrm{III} && 3 & = & t && \\ \end{array} \)
   
       Es existiert kein eindeutiges \(t\). Also sind die beiden Vektoren nicht kollinear.

2. Für die Komplanarität gilt die Linearkombination \(\vec{c} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}\).
   
   (a) Damit ist \(\quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ -5 \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + s \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
       Als Gleichungssystem ergibt sich
   
   \(\quad \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ c r*{6}{r} l } \textrm{I} && 2 & = & \; r & + & 5 s && \\[3pt] \textrm{II} && -5 & = & \; r & - & 2 s && | \cdot (-1) \\[3pt] \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(IV)}}^+ \\ \begin{array}{ c r*{5}{r} l } \textrm{III} & \; \; -3 & = & 2 r & + & 3 s && \\ \end{array} \\ \end{array} \)
   
   
   \(\quad \begin{array}{ c r*{4}{r} r } \textrm{IV} && \; \, 7 & = & 7 s && | : 7 \\[3pt] && \; \, 1 & = & s && \\ \end{array}% \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(VI)}}^+ \\ \)
   
   
   \(\quad \begin{array}{ c r*{6}{r} l } s \; \textrm{in I} : & 2 & = & r & + & 5 \cdot 1 && | - 5 \\[3pt] & - 3 & = & r &&& \\ \end{array} \)
   
   
   \(\quad \begin{array}{ c l*{6}{l} l } \textrm{Probe mit III} : & -3 & = & 2 \cdot (-3) & + & 3 \cdot 1 && \\[3pt] & - 3 & = & -3 &&& \\ \end{array} \)
   
       Für alle 3 Gleichungen existiert eine Lösung mit \(r=-3\) und \(s=1\). Also sind die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) komplanar.
       Die Linearkombination von Vektor \(\vec{c}\) lautet
   
   \(\quad \vec{c} = -3 \vec{a} + \vec{b} \) .
   
   
   (b) Hier ist \(\quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \renewcommand{\arraystretch}{0.9} \begin{array}{r} 4 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + s \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -1 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
       Als Gleichungssystem ergibt sich
   
   \(\quad \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ c r*{6}{r} l } \textrm{I} && 2 & = & \; 4 r & - & s && | \cdot 5 \\[3pt] \textrm{II} && 3 & = & \; r & + & 5 s && \\[3pt] \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(IV)}}^+ \\ \begin{array}{ c r*{5}{r} l } \textrm{III} & \; \; 5 & = & \; 3 r & + & 2 s && \\ \end{array} \\ \end{array} \)
   
   
   \(\quad \begin{array}{ c r*{4}{r} } \textrm{IV} & 13 & = & 21 s && | : 21 \\[3pt] & \frac{13}{21} & = & s && \\ \end{array}% \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(VI)}}^+ \\ \)
   
   
   \(\quad \begin{array}{ c r c l*{5}{l} } s \; \textrm{in II} : & 3 & = & r & + & 5 \cdot \frac{13}{21} && \\[3pt] & 3 & = & r & + & \frac{65}{21} && | - \frac{65}{21} \\[3pt] & - \frac{2}{21} & = & r &&& \\ \end{array} \)
   
   
   \(\quad \begin{array}{ c r*{6}{r} r } \textrm{Probe mit III} & 5 & = & 3 \cdot \left(-\frac{2}{21}\right) & + & 2 \cdot \frac{65}{21} && \\[5pt] & 5 & = & \frac{124}{21} &&& \\ \end{array} \)
   
       Die Probe mit Gleichung \(\textrm{III}\) führt zu einem Widerspruch. Also sind die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) nicht komplanar.
   
   
   (c) Es gilt
   
   \(\quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + s \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -3 \\ -6 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
   
      Als Gleichungssystem ergibt sich
   
   \(\quad \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ c r*{6}{r} l } \textrm{I} && 2 & = & \; 2 r & - & 3 s && | \cdot (-2) \\[3pt] \textrm{II} && 0 & = & \; 4 r & - & 6 s && \\[3pt] \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{(IV)}}^+ \\ \begin{array}{ c r*{5}{r} l } \textrm{III} & - 3 & = & \; 8 r & + & 5 s && \\ \end{array} \\ \end{array} \)
   
   \(\quad \begin{array}{ c r l*{3}{l} } \; \textrm{IV} & \; -4 & = & 0 && \\ \end{array} \)
   
       In diesem Fall ergibt sich gleich zu Beginn ein Widerspruch. Auch hier sind die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) nicht komplanar.

Lösungsmöglichkeiten von Linearen Gleichungssystemen

Ein Gleichungssystem kann als inhomogenes Gleichungssystem oder als homogenes Gleichungssystem vorliegen. Die Lösungsmöglichkeiten sind je nach Art des Gleichungssystems unterschiedlich.

Inhomogenes Gleichungssystem

Ein Gleichungssystem, dass sich unter anderem aus dem Ansatz für eine Linearkombination ergibt und von der Art

\(\quad \begin{array}{ c*{11}{c} } a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & a_{13}x_3 & + & \cdots & + & a_{1n}x_n & = & b_1 \\[3pt] a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & a_{23}x_3 & + & \cdots & + & a_{2n}x_n & = & b_2 \\[3pt] a_{31}x_1 & + & a_{32}x_2 & + & a_{33}x_3 & + & \cdots & + & a_{3n}x_n & = & b_3 \\[3pt] \vdots & & \vdots & & \vdots & & \cdots & & \vdots & & \vdots \\[3pt] a_{m1}x_1 & + & a_{m2}x_2 & + & a_{m3}x_3 & + & \cdots & + & a_{mn}x_n & = & b_m \\ \end{array} \)

ist, heißt ein inhomogenes Gleichungssystem. Möglich dabei sind

• keine Lösung,
• genau eine Lösung,
• unendlich viele Lösungen.

Dazu folgen 3 Beispiele.


Beispiel 1

Das Gleichungssystem

\(\quad \begin{array}{ c r*{8}{r} } \textrm{I} && r & - & 2 s & + & 3 t & = & -5 \\[5pt] \textrm{II} && 3 r & + & 2 s & - & t & = & 13 \\[5pt] \textrm{III} && -r & + & 4 s & + & 5 t & = & -9 \\ \end{array} \)

hat genau eine Lösung mit

\(\quad \begin{array}{ r*{3}{r} } r & = & 3 \\[3pt] s & = & 1 \\[3pt] t & = & -2 \\ \end{array} \)

Es liegt also eine lineare Abhängigkeit vor.

Beispiel 2

Das Gleichungssystem

\(\quad \begin{array}{ c r*{8}{r} } \textrm{I} && 2 r & - & 3 s & - & 2 t & = & 10 \\[5pt] \textrm{II} && - r & - & s & + & 2 t & = & 6 \\[5pt] \textrm{III} && 3 r & - & 2 s & - & 4 t & = & 4 \\ \end{array} \)

kann umgeformt werden in

\(\quad \begin{array}{ c r*{8}{r} } \textrm{I} && 2 r & - & 3 s & - & 2 t & = & 10 \\[5pt] \textrm{II} && r & - & 4 s & & & = & 16 \\[5pt] \textrm{III} && & & & & 0 & = & 0 \\ \end{array} \)

Es ergibt sich die wahre Aussage \(0 = 0\). Das bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Damit sind auch dieseGleichungen linear abhängig voneinander.

Beispiel 3

Bei diesem Beispiel führt das Gleichungssystem

\(\quad \begin{array}{ c r*{8}{r} } \textrm{I} && -r & + & 7 s & + & 2 t & = & 13 \\[5pt] \textrm{II} && 4 r & - & 3 s & + & 17 t & = & -9 \\[5pt] \textrm{III} && r & - & 2 s & + & 3 t & = & -5 \\ \end{array} \)

zu einem Widerspruch in der letzten Zeile.

\(\quad \begin{array}{ c r*{8}{r} } \textrm{I} && -r & + & 7 s & + & 2 t & = & 13 \\[5pt] \textrm{II} && & & 25 s & + & 25 t & = & 43 \\[5pt] \textrm{III} && & & & & 0 & = & 3 \\ \end{array} \)

Das heißt, dass es hier keine Lösung gibt. Diese Gleichungen sind damit linear unabhängig voneinander.

Homogenes Gleichungssystem

Ein Gleichungssystem, dass sich unter anderem aus dem Ansatz für die lineare Unabhängigkeit ergibt, heißt ein homogenes Gleichungssystem. Hier ist der Vektor \(\vec{b}\) der Nullvektor. Dieses Gleichungssystem ist also von der Art

\(\quad \begin{array}{ c*{11}{c} } a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & a_{13}x_3 & + & \cdots & + & a_{1n}x_n & = & 0 \\[3pt] a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & a_{23}x_3 & + & \cdots & + & a_{2n}x_n & = & 0 \\[3pt] a_{31}x_1 & + & a_{32}x_2 & + & a_{33}x_3 & + & \cdots & + & a_{3n}x_n & = & 0 \\[3pt] \vdots & & \vdots & & \vdots & & \cdots & & \vdots & & \vdots \\[3pt] a_{m1}x_1 & + & a_{m2}x_2 & + & a_{m3}x_3 & + & \cdots & + & a_{mn}x_n & = & 0 \\ \end{array} \)

und stets lösbar. Es kann genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen enthalten.

Es folgen 2 Beispiele.

Beispiel 1

Das Gleichungssystem

\(\quad \begin{array}{ c r*{8}{r} } \textrm{I} && r & + & 3 s & + & t & = & 0 \\[5pt] \textrm{II} && r & - & 2 s & + & 3 t & = & 0 \\[5pt] \textrm{III} && -2 r & + & s & + & 4 t & = & 0 \\ \end{array} \)

führt zu der Lösung

\(\quad \begin{array}{ c*{5}{c} } \textrm{I} && r & = & 0 \\[3pt] \textrm{II} && s & = & 0 \\[3pt] \textrm{III} && t & = & 0 \\ \end{array} \)

Dies ist der einzige Fall genau eine Lösung zu erhalten und bedeutet, dass die Gleichungen linear unabhängig voneinander sind.

Beispiel 2

Das Gleichungssystem

\(\quad \begin{array}{ c r*{8}{r} } \textrm{I} && 3 r & + & 2 s & + & 4 t & = & 0 \\[5pt] \textrm{II} && r & - & 5 s & + & 7 t & = & 0 \\[5pt] \textrm{III} && -2 r & + & s & - & 5 t & = & 0 \\ \end{array} \)

kann umgeformt werden in

\(\quad \begin{array}{ c r*{8}{r} } \textrm{I} && 3 r & + & 2 s & + & 4 t & = & 0 \\[5pt] \textrm{II} && & & 17 s & - & 17 t & = & 0 \\[5pt] \textrm{III} && & & & & 0 & = & 0 \\ \end{array} \)

Es entsteht die wahre Aussage \(0 = 0\). Durch weiteres Umformen ergibt sich

\(\quad \begin{array}{ r*{3}{r} } r & = & -2t \\[3pt] s & = & t \\ \end{array} \)

\(t\) kann unendlich viele Werte annehmen, woraus sich unendlich viele Lösungen ergeben. Das heißt, dass dieses Gleichungssystem linear abhängig ist.

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