Mengen

 

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Mengen

In meinen Blogbeiträgen über Mengen beschränke ich mich auf die in der gymnasialen Oberstufe für die Analysis relevanten Bereiche. Dabei ist mein persönliches Anliegen, die Sachverhalte leicht und verständlich darzulegen.

Insgesamt ist mein Blog an Schüler gerichtet, was aber nicht bedeuten soll, dass auch Studenten hier einen Einstieg zu dem jeweiligen Thema finden.

 

Definition

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Elementen, die beliebig sein können. Oft haben die Elemente einer Menge aber eine gemeinsame Eigenschaft, wie es zum Beispiel bei den Zahlenbereichen der Fall ist.

Beispiele der Elemente einer Menge:

Städtenamen, Buchstaben, Farben, Zahlen, abstrakte Symbole, usw.

 

 

Schreibweise

Eine Menge wird durch einen fettgedruckten Großbuchstaben dargestellt.

Bei den Zahlenbereichen sowie der Definitionsmenge und Wertemenge ist die Schreibweise eines Großbuchstabens mit doppelten Strich üblich, wie zum Beispiel

    \begin{equation*} \mathbbm{R}\mathlarger{: \textsf{Menge der reellen Zahlen}} \end{equation*}

 
 
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Beschreibung von Mengen

Eine Menge wird in einer geschwungenen Klammer geschrieben in der Art

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{M} = \{\dots \}} \end{equation*}

 

Menge als Aufzählung

Mengen können als Aufzählung der einzelnen Elemente in der Art

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{M} = \{1,2,3,4,5,6}\} \end{equation*}

geschrieben werden. Dabei ist die Reihenfolge der Elemente nicht wichtig. So ist die Menge

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{A} = \{\textsf{rot}, \textsf{gelb}, \textsf{blau}}\} \end{equation*}

gleich der Menge

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{B} = \{\textsf{gelb}, \textsf{blau} , \textsf{rot}}\} \end{equation*}

Dennoch ist sinnvoll eine Menge von ganzen Zahlen als Folge aufzuschreiben. Zum einen sind die Zahlen dann besser lesbar, und zum anderen besteht die Möglichkeit, bei vielen Elementen die Folge in der Art

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{M} = \{1,2,\dots,100}\} \end{equation*}

aufzuschreiben. Hier also die natürlichen Zahlen von 1 bis 100. Ein weiteres Beispiel wäre die Menge der geraden Zahlen von 2 bis 100:

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{N} = \{2,4,\dots,100}\} \end{equation*}

In dieser Schreibweise muss das Bildungsgesetz der Folge eindeutig sein.

 

Beschreibung durch Eigenschaften der Menge

Statt die Elemente aufzuzählen, kann eine Menge auch durch die gemeinsamen Eigenschaften der Elemente dieser Menge dargestellt werden in der Form

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{M} = \{x \, | \dots} \} \end{equation*}

Der senkrechte Strich leitet eine oder mehrere Bedingungen ein und wird gesprochen:
„für die gilt“

Die ganze Mengenklammer

    \begin{equation*} \mathlarger{\{x \, | \dots} \}} \end{equation*}

wird gesprochen: „ist die Menge aller x für die gilt, …“

 

Im Folgendender betrachten wir die Mengen

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{array}{ l } \renewcommand\arraystretch{1.0} \mathlarger{\mathbf{A} = \{ \textit{x} \, | \, \textit{x ist die Augenzahl beim Wurf mit einem W}\ddot{u}\textit{rfel} \}} \\ \mathlarger{\mathbf{B} = \{ 1,2,3,4,5,6 \}} \\ \mathlarger{\mathbf{C} = \{x \, | \, 1 \leq x \leq 6, x \in \mathbbm{Z} \}} \\ \mathlarger{\mathbf{D} = \{x \, | \, x \leq 6, x \in \mathbbm{N} \}} \\ \end{array} \end{equation*}

Beginnen wir mit

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{A} = \{ \textit{x} \, | \, \textit{x ist die Augenzahl beim Wurf mit einem W}\ddot{u}\textit{rfel} \}} \end{equation*}

Diese ist gleich der Menge

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{B} = \{ 1,2,3,4,5,6 \}} \end{equation*}

Wie verhält es sich nun mit

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{C} = \{x \, | \, 1 \leq x \leq 6, x \in \mathbbm{Z} \} \textsf{ ?}} \end{equation*}

Der Ausdruck

    \begin{equation*} \mathlarger{1 \leq x \leq 6} \end{equation*}

besteht aus 2 Teilen:

Zum einen aus

    \begin{equation*} \mathlarger{1 \leq x}, \end{equation*}

was soviel heisst wie, 1 ist gleich x oder 1 ist kleiner als x. Das ist gleichbedeutend mit x ist mindestens 1.

Der 2. Teil

    \begin{equation*} \mathlarger{x \leq 6} \end{equation*}

bedeutet, dass x gleich 6 ist oder x ist kleiner als 6. Heisst also, x ist höchstens 6.

Der gesamte Ausdruck

    \begin{equation*} \mathlarger{1 \leq x \leq 6} \end{equation*}

bedeutet demnach, dass x eine Zahl aus dem Bereich von 1 bis 6 ist.

Ferner gilt

    \begin{equation*} x \in \mathbbm{Z} \mathlarger{\textit{ , gesprochen: x ist ein Element der ganzen Zahlen}} \end{equation*}

Es kommen als nur die >ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 infrage.

Durch das letzte Beispiel

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{D} = \{x \, | \, x \leq 6, x \in \mathbbm{N} \}} \end{equation*}

lässt sich der Sachverhalt einfacher ausdrücken. Da die natürlichen Zahlen bei 1 beginnen, brauchen wir keine untere Grenze angeben.

Zusammenfassend ist also

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{A} = \mathbf{B} = \mathbf{C} = \mathbf{D}} \end{equation*}

mit

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{array}{ l } \renewcommand\arraystretch{1.0} \mathlarger{\mathbf{A} = \{ \textit{x} | \textit{ x ist die Augenzahl beim Wurf mit einem W}\ddot{u}\textit{rfel} \}} \\ \mathlarger{\mathbf{B} = \{ 1,2,3,4,5,6 \}} \\ \mathlarger{\mathbf{C} = \{x \, | \, 1 \leq x \leq 6, x \in \mathbbm{Z} \}} \\ \mathlarger{\mathbf{D} = \{x \, | \, x \leq 6, x \in \mathbbm{N} \}} \\ \end{array} \end{equation*}

 
 
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Leere Menge

Eine Menge kann auch keine Elemente enthalten. Eine solche Menge nennt man die leere Menge. Diese wird notiert durch

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{M} = \{ \, \}} \end{equation*}

oder

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{M} = \varnothing} \end{equation*}

 
 
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Mengenlehre

2 Mengen können miteinander operieren. Daraus können dann wieder neue Mengen entstehen, wie Die Schnittmenge, die Vereinigungsmenge, die Differenzmenge und das Komplement. Darauf gehe ich in einem gesonderten Beitrag ein.

 
 
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Testfrage

Mehrere Antworten sind möglich.

 

Mengen

Welche Mengen sind gleich?

 


 

 
 
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