Mengenlehre

 

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Mengenlehre

 

 

Mengenoperationen

Verknüpfen wir 2 oder auch mehr Mengen, so bilden sie wieder neue Mengen von der Art

für die wir die Mengenoperatoren

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{2.1} \begin{array}{ l } \renewcommand\arraystretch{2.1} \mathlarger{\mathlarger{\pmb{\cap}}} \, \textit{ :} \: \textit{ geschnitten mit }} \\ \mathlarger{\mathlarger{\pmb{\cup}}} \, \textit{ :} \: \textit{ vereinigt mit }} \\ \mathlarger{\mathlarger{\boldsymbol{\setminus}}} \, \textit{ :} \: \textit{ ohne }} \\ \mathlarger{\mathlarger{\boldsymbol{\overline{\textsf{A}}}} \, \textit{ :} \: \textit{ nicht } \textsf{A}}\\ \end{array} \end{equation*}

brauchen. Dazu betrachten wir die Menge

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{\boldsymbol{\Omega}} = \{1, \, 2, \, 3, \, \dots \, , \, 12 \}}} \end{equation*}

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und deren Teilmengen

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{\textsf{A}} = \{1, \, 3, \, 5, \, 6, \, 7, \, 12 \}}} \end{equation*}

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und

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{\textsf{B}} = \{2, \, 4, \, 6, \, 8, \, 10, \, 12 \}}} \end{equation*}

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Schnittmenge

Die Schnittmenge aus A und B, gesprochen: A geschnitten mit B

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mit

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{A} \pmb{\cap} \mathbf{B} = \{6, \, 12 \}} \end{equation*}

ist die Menge, die die Elemente enthält, die sowohl in A als auch B vorhanden sind.

 
 
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Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge aus A und B, gesprochen: A vereinigt mit B

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mit

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{A} \pmb{\cup} \mathbf{B} = \{1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 10, \, 12 \}} \end{equation*}

ist die Menge, die alle Elemente enthält, die in A vorkommen einschließlich der Elemente, die in B vorkommen.

 
 
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Differenzmenge

Die Differenzmenge aus A\B, gesprochen: A ohne B

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mit

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathbf{A} \pmb{\setminus} \mathbf{B} = \{1, \, 3, \, 5, \, 7 \}} \end{equation*}

ist die Menge, die die Elemente von A enthält, ausgenommen der Elemente, die zur Menge B gehören.

Ein Beispiel, das häufig in der Analysis vorkommt, ist

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{{\mathbbmss{R} \setminus \{0\}}}}} \end{equation*}

Gesprochen: die Menge der reellen Zahlen ohne die Menge, die die Null enthält.

 
 
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Komplement

Das Komplement aus A in \boldsymbol{\Omega}, gesprochen: nicht A

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mit

    \begin{equation*} \mathlarger{\boldsymbol{\overline{\textsf{A}}} = \{2, \, 4, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11 \}} \end{equation*}

ist die Menge, die alle Elemente von \boldsymbol{\Omega} enthält, ausgenommen der Elemente, die zur Menge A gehören.

Beachte: In diesem Fall ist

    \begin{equation*} \mathlarger{\boldsymbol{\overline{\textsf{A}}} \not= \mathbf{B} \pmb{\setminus} \mathbf{A}} , \end{equation*}

denn die Elemente 9 und 11 gehören auch zu dem Komplement von A.

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Testfragen

Wähle eine Antwort oder mehrere Antworten aus.

  • rundes Symbol: single choice (nur eine Antwort ist möglich)
  • quadratisches Symbol: multiple choice (mehrere Antworten sind möglich)

 

Mengenlehre

Welche Elemente enthält die Teilmenge (A \cup B) \setminus C ?

3 sich überschneidende Mengenbilder in 7 Farben

Frage 1 von 6

Welche Elemente enthält die Teilmenge C \setminus (A \cup B) ?

3 sich überschneidende Mengenbilder in 7 Farben

Frage 2 von 6

Welche Elemente enthält die Teilmenge B \cap (A \cup C) ?

3 sich überschneidende Mengenbilder in 7 Farben

Frage 3 von 6

Gib die Teilmenge {6, 8} als Mengenoperation an!

 

3 sich überschneidende Mengen A, B und C

Frage 4 von 6

Gib die Teilmenge {5, 9} als Mengenoperation an!

 

3 sich überschneidende Mengen - Thema Differenzmenge und Komplement

Frage 5 von 6

Gib die Teilmenge {2, 4, 5, 6, 8, 9} als Mengenoperation an!

 

3 sich überschneidende Mengen - Thema Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge und Komplement

Frage 6 von 6


 

 
 
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