Potenzregeln und Potenzgesetze


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Inhaltsverzeichnis



Was ist eine Potenz ?

Eine Potenz ist von der Gestalt

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und drückt die Rechnung

aus.

Es gilt die folgende Hierarchie der Rechenarten

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Das bedeutet:

  • Punktrechnung vor Strichrechnung
  • Potenzrechnung vor Punktrechnung


Beispiel :



Potenzgesetze

Potenzgesetz P1

Multiplikation mit gleicher Basis :


Beispiel :



Division mit gleicher Basis :


Beispiel :



Potenzgesetz P2

Multiplikation mit gleichem Exponenten :


Beispiel :



Division mit gleichem Exponenten:


Beispiel zur Veranschaulichung :



Potenzgesetz P3

Potenz einer Potenz :



Beispiel :


Das Ganze lässt sich auch umdrehen:


Dabei ist zu beachten, dass beispielsweise


ist. Vielmehr ist nach dem oben Dargestellten


Und \(x^2 = 2x\) ist nur für die \(x\)-Werte \(x=0\) und \(x=2\) wahr, aber eben nicht generell.



Potenzregeln

Exponent ist Null

Für alle \(x\) gilt



Potenzen mit negativem Exponenten


Als Bruch geschrieben wird ein negativer Exponent positiv, indem die Potenz vom Zähler in den Nenner oder auch umgekehrt geschrieben wird.

Dazu ein Beispiel zum Vereinfachen eines Bruches mit Potenzen, wobei die 3 Potenzgesetze ebenfalls angewendet werden:



Wurzel als Potenz

Es gilt


Dabei ist zu beachten :

  • Ist bei der Wurzel kein Wurzelgrad angegeben, so ist \(m=2\).
  • Ist bei dem \(x\) kein Exponent angegeben, so ist \(n=1\).


Die Potenzschreibweise der Wurzeln wird häufig bei Ableitungen benötigt. Dazu folgt ein ausführliches Beispiel.



Ableiten von Wurzeln

Die Funktion


kann in dieser Schreibweise nicht abgeleitet werden. Dazu muss \(f(x)\) in der Form


vorliegen. Das erreichen wir mit der Potenzschreibweise des Wurzelausdrucks.


Abgeleitet erhalten wir


Bei einer Subtraktion von Brüche benötigen wir zwei Brüche mit gleichem Nenner und schreiben


Um von der Potenzschreibweise wieder in die Wurzelschreibweise zu kommen, wird zunächst der aufgelöst


und weiter in die Wurzelschreibweise umgeformt.


Alles zusammen sieht dann folgendermaßen aus:



Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen mit positiven Exponenten

Bei den positiven Exponenten habe ich die mit aufgeführt.


Es ist leicht zu erkennen, dass der Exponent die Anzahl der Nullen angibt.



Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten

Es gilt die


Hier ist zu sehen, dass der negative Exponent die Nachkommastelle der \(1\) angibt.


Beispiele aus der Physik

Lichtgeschwindigkeit:
Masse eines Wasserstoffatoms: