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Was ist eine Potenz ?
Eine Potenz ist von der Gestalt
und drückt die Rechnung
aus.
Es gilt die folgende Hierarchie der Rechenarten
Das bedeutet :
- Punktrechnung vor Strichrechnung
- Potenzrechnung vor Punktrechnung
Beispiel :
Potenzgesetze
Potenzgesetz P1
Multiplikation mit gleicher Basis :
Beispiel zur Veranschaulichung :
Division mit gleicher Basis :
Beispiel zur Veranschaulichung :
Potenzgesetz P2
Multiplikation mit gleichem Exponenten :
Beispiel zur Veranschaulichung :
Division mit gleichem Exponenten:
Beispiel zur Veranschaulichung :
Potenzgesetz P3
Potenz einer Potenz :
Beispiel :
Das Ganze lässt sich auch umdrehen:
Dabei ist zu beachten, dass beispielsweise
ist. Vielmehr ist nach dem oben Dargestellten
Und 
ist nur für die 
-Werte 
und 
wahr, aber eben nicht generell.
Potenzregeln
Exponent ist Null
Für alle x gilt
Potenzen mit negativem Exponenten
Als Bruch geschrieben wird ein negativer Exponent positiv, indem die Potenz vom Zähler in den Nenner oder auch umgekehrt geschrieben wird.
Dazu ein Beispiel zum Vereinfachen eines Bruches mit Potenzen, wobei die 3 Potenzgesetze ebenfalls angewendet werden:
Wurzel als Potenz
Es gilt
Dabei ist zu beachten :
- Ist bei der Wurzel kein Wurzelgrad angegeben, so ist m=2.
- Ist bei dem x kein Exponent angegeben, so ist n=1.
Die Potenzschreibweise der Wurzeln wird häufig bei Ableitungen benötigt. Dazu folgt ein ausführliches Beispiel.
Ableiten von Wurzeln
Die Funktion
kann in dieser Schreibweise nicht abgeleitet werden. Dazu muss 
in der Form
vorliegen. Das erreichen wir mit der Potenzschreibweise des Wurzelausdrucks.
Abgeleitet erhalten wir
Bei einer Subtraktion von Brüche benötigen wir zwei Brüche mit gleichem Nenner und schreiben
Um von der Potenzschreibweise wieder in die Wurzelschreibweise zu kommen, wird zunächst der negative Exponent aufgelöst
und weiter in die Wurzelschreibweise umgeformt.
Alles zusammen sieht dann folgendermaßen aus:
Zehnerpotenzen
Zehnerpotenzen mit positiven Exponenten
Bei den positiven Exponenten habe ich die Null mit aufgeführt.
Es ist leicht zu erkennen, dass der Exponent die Anzahl der Nullen angibt.
Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten
Es gilt die Regel für negative Exponenten :
Hier ist zu sehen, dass der negative Exponent die Nachkommastelle der 1 angibt.
Beispiele aus der Physik
Lichtgeschwindigkeit:
Masse eines Wasserstoffatoms:
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