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Was ist eine Potenz ?

Eine Potenz ist von der Gestalt

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und drückt die Rechnung

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aus.

Es gilt die folgende Hierarchie der Rechenarten

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Das bedeutet :

  • Punktrechnung vor Strichrechnung
  • Potenzrechnung vor Punktrechnung

 
Beispiel :

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Potenzgesetze

Potenzgesetz P1

Multiplikation mit gleicher Basis :

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Beispiel zur Veranschaulichung :

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Division mit gleicher Basis :

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Beispiel zur Veranschaulichung :

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Potenzgesetz P2

Multiplikation mit gleichem Exponenten :

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Beispiel zur Veranschaulichung :

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Division mit gleichem Exponenten:

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Beispiel zur Veranschaulichung :

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Potenzgesetz P3

Potenz einer Potenz :

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Beispiel :

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Das Ganze lässt sich auch umdrehen:

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Dabei ist zu beachten, dass beispielsweise

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ist. Vielmehr ist nach dem oben Dargestellten

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Und x^2 = 2x ist nur für die x-Werte x=0 und x=2 wahr, aber eben nicht generell.

Potenzregeln

Exponent ist Null

Für alle x gilt

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Potenzen mit negativem Exponenten

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Als Bruch geschrieben wird ein negativer Exponent positiv, indem die Potenz vom Zähler in den Nenner oder auch umgekehrt geschrieben wird.

Dazu ein Beispiel zum Vereinfachen eines Bruches mit Potenzen, wobei die 3 Potenzgesetze ebenfalls angewendet werden:

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Wurzel als Potenz

Es gilt

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Dabei ist zu beachten :

  • Ist bei der Wurzel kein Wurzelgrad angegeben, so ist m=2.
  • Ist bei dem x kein Exponent angegeben, so ist n=1.

 
Die Potenzschreibweise der Wurzeln wird häufig bei Ableitungen benötigt. Dazu folgt ein ausführliches Beispiel.

 

Ableiten von Wurzeln

Die Funktion

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kann in dieser Schreibweise nicht abgeleitet werden. Dazu muss f(x) in der Form

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vorliegen. Das erreichen wir mit der Potenzschreibweise des Wurzelausdrucks.

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Abgeleitet erhalten wir

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Bei einer Subtraktion von Brüche benötigen wir zwei Brüche mit gleichem Nenner und schreiben

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Um von der Potenzschreibweise wieder in die Wurzelschreibweise zu kommen, wird zunächst der negative Exponent aufgelöst

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und weiter in die Wurzelschreibweise umgeformt.

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Alles zusammen sieht dann folgendermaßen aus:

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Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen mit positiven Exponenten

Bei den positiven Exponenten habe ich die Null mit aufgeführt.

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Es ist leicht zu erkennen, dass der Exponent die Anzahl der Nullen angibt.

 

Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten

Es gilt die Regel für negative Exponenten :

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Hier ist zu sehen, dass der negative Exponent die Nachkommastelle der 1 angibt.

 
Beispiele aus der Physik

Lichtgeschwindigkeit:
3 \cdot 10^8  \, \frac{m}{s} \; = \; 300 000 000 \, \frac{m}{s}

Masse eines Wasserstoffatoms:
1{,}67 \cdot 10^{-27} \, kg \; = \; 0{,}000 000 000 000 000 000 000 000 001 67 \; kg

 
 
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