Quadratische Funktionen

Inhaltsverzeichnis





 

Allgemeine Gleichung einer Parabel

In der Regel liegt eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 
vor. Dabei gibt a den Streckungsfaktor und c den Achsenabschnitt an. Dem Parameter b kann erst nach Umformung, siehe Scheitelpunktform, eine eindeutige Bedeutung zugemessen werden.

 
Der Graph einer quadratischen Funktion stellt eine Parabel dar. Bei dieser sind die Nullstellen von besonderer Bedeutung und werden in einem Extrabeitrag behandelt.







Eigenschaften von Parabeln

Normalparabel

Den Graphen der Funktion fmit

Rendered by QuickLaTeX.com

 
bezeichnet man als Normalparabel.

Rendered by QuickLaTeX.com

 
Die Normalparabel ist symmetrisch um die y-Achse und hat den Scheitelpunkt im Koordinatenursprung.



 

Streckung und Stauchung

In der Form

Rendered by QuickLaTeX.com

 
gibt a den Streckungsfaktor an.

Rendered by QuickLaTeX.com

 
Ist der Streckungsfaktor negativ, so sind die Parabeln nach unten geöffnet.

Rendered by QuickLaTeX.com

 
Ist der |a| größer als 1, so heißt die Parabel gestreckt. Das heißt, dass die Parabel schmaler als die Normalparabel ist.

Liegt der |a| zwischen 0 und 1, so heißt die Parabel gestaucht. Das heißt, dass die Parabel breiter als die Normalparabel ist.





Verschiebung von Parabeln

Verschiebung in der Höhe

In der Form

Rendered by QuickLaTeX.com

 
gibt c die Verschiebung der Parabel und damit auch den Achsenabschnitt (Durchgang durch die y-Achse) an.

Rendered by QuickLaTeX.com



 

Seitliche Verschiebung

In der Form

Rendered by QuickLaTeX.com

 
gibt d die Verschiebung der Parabel in x-Richtung an. Zu beachten ist, dass eine Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts mit

Rendered by QuickLaTeX.com

 
notiert wird.

Rendered by QuickLaTeX.com

 
Die Kombination von Höhenverschiebung und seitlicher Verschiebung der Parabel wird in dem gesonderten Thema Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion behandelt.

 
 
zurück zum Inhaltsverzeichnis





 

Graphische Nullstellenbestimmung

Für Nullstellen gilt die Voraussetzung

Rendered by QuickLaTeX.com

 
Um die Nullstellen von beispielsweise

Rendered by QuickLaTeX.com

 
zu ermitteln, gilt nun

Rendered by QuickLaTeX.com

 
Dies stellt nun den Lösungsansatz dar, die Schnittpunkte der Geraden

Rendered by QuickLaTeX.com

 
und der Parabel

Rendered by QuickLaTeX.com

 
zu berechnen, denn Schnittpunkte zweier Funktionen werden durch Gleichsetzen ermittelt.

 
Wir zeichnen nun die Gerade g mit dem Achsenabschnitt b=6 und der Steigung m=1 sowie die Normalparabel h mit der Parabelschablone.

Rendered by QuickLaTeX.com

 
Die Schnittstellen x_1=-2 und x_2=3 sind nun die Nullstellen der Parabel

Rendered by QuickLaTeX.com

 
wie hier zu sehen ist:

Rendered by QuickLaTeX.com



 

Übungen

Wie lauten die Nullstellen von

  1. \; f(x) = x^2 - 2x - 3
  2. \; f(x) = x^2 - 3x + 2
  3. \; f(x) = x^2 + \frac{3}{2} x - 2{,}5

 
Löse graphisch mit Parabelschablone und Lineal.





 

Lösungen

  1. Die Funktion aufteilen in eine Gerade und eine Normalparabel:

     

    Rendered by QuickLaTeX.com

     
    Mit dem Achsenabschnitt b=3 und der Steigung m=2

    Rendered by QuickLaTeX.com

     
    ergeben sich die Schnittstellen

        \[ x_1=-1 \quad \textrm{und} \quad x_2=3 \; , \]

    die zugleich die Nullstellen von

    Rendered by QuickLaTeX.com

     
    und damit des Graphen f sind.

    Rendered by QuickLaTeX.com

  2.  
     

  3. Die Funktion aufteilen in eine Gerade und eine Normalparabel:

     

    Rendered by QuickLaTeX.com

     
    Mit dem Achsenabschnitt b=-2 und der Steigung m=3

    Rendered by QuickLaTeX.com

     
    ergeben sich die Schnittstellen

        \[ x_1=1 \quad \textrm{und} \quad x_2=2 \; , \]

    die zugleich die Nullstellen von

    Rendered by QuickLaTeX.com

     
    und damit des Graphen f sind.

    Rendered by QuickLaTeX.com

  4.  
     

  5. Die Funktion aufteilen in eine Gerade und eine Normalparabel:

     

    Rendered by QuickLaTeX.com

     
    Mit dem Achsenabschnitt b=2,5 und der Steigung m=-\frac{3}{2}

    Rendered by QuickLaTeX.com

     
    ergeben sich die Schnittstellen

        \[ x_1=-2{,}5 \quad \textrm{und} \quad x_2=1 \; , \]

    die zugleich die Nullstellen von

    Rendered by QuickLaTeX.com

     
    und damit des Graphen f sind.

    Rendered by QuickLaTeX.com

 
 
zurück zum Inhaltsverzeichnis

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.

Bitte füllen Sie dieses Feld aus.
Bitte füllen Sie dieses Feld aus.
Bitte gib eine gültige E-Mail-Adresse ein.

Menü