Rechnen mit Vektoren

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Inhaltsverzeichnis



Im Gegensatz zum Rechnen mit reellen Zahlen ist Division nicht definiert und nicht erlaubt.



Vektoraddition und Vektorsubtraktion

Vektoren können miteinander addiert werden, sofern sie von gleicher Dimension sind, jedoch nicht mit Skalaren. Das heißt, dass zum Beispiel die Rechnungen

\( 3 + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \) und \( \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

nicht definiert sind. Geometrisch ist eine Vektoraddition eine Vektorkette von hintereinander liegenden Vektoren.

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Entsprechend ist eine Vektorsubtraktion eine Vektorkette mit dem Gegenvektor.

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Eine Vektoraddition wird auf folgende Weise durchgeführt.


Bei Vektoren in der Ebene:

\( \begin{array}{ l*{5}{l} } \vec{a} + \vec{b} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)


Bei Vektoren im Raum:

\( \begin{array}{ l*{5}{l} } \vec{a} + \vec{b} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)


Die Vektorsubtraktion verläuft dementsprechend.


Bei Vektoren in der Ebene:

\( \begin{array}{ l*{5}{l} } \vec{a} - \vec{b} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)


Bei Vektoren im Raum:

\( \begin{array}{ l*{5}{l} } \vec{a} - \vec{b} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ a_3 - b_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)


Die Rechnungen der obigen Darstellungen lauten dann

\( \begin{array}{ l*{7}{l} } \vec{a} + \vec{b} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 + 4 \\ 4 + 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)

und

\( \begin{array}{ l*{9}{l} } \vec{a} - \vec{b} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -4 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 + (-4) \\ 4 + (-1) \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 - 4 \\ 4 - 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)



Aufgabe zur Vektoraddition

Ein Parallelogramm ist mit den Punkten \(A\), \(B\) und \(C\) gegeben. Wie muss der Punkt \(D\) nach der Berechnung mit den Ortsvektoren der Punkte lauten?

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Lösung zur Vektoraddition

Vektor \(\vec{d}\) kann mit der Linearkombination

\( \vec{d} \; = \; \vec{a} + \vec{AD} \)

bestimmt werden.

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\(\vec{AD}\) ist in dem Parallelogramm identisch mit \(\vec{BC}\). Es gilt also

\( \vec{d} \; = \; \vec{a} + \vec{BC} \)

Der Verbindungsvektor \(\vec{BC}\) kann durch \(\vec{c} - \vec{b}\) ausgedrückt werden. Damit gilt weiter

\( \begin{array}{ r c l } \vec{d} & = & \vec{a} + \vec{c} - \vec{b} \\[3pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[3pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 + 4 - 3 \\ 1 + 5 - 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[3pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -1 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)

Der gesuchte Punkt ist \(D(-1|4)\).




Multiplikation von Vektoren

Die eine Multiplikation gibt es nicht. Vielmehr werden 3 verschiedene Arten von Multiplikationen unterschieden.



S-Multiplikation

Die S-Multiplikation ist eine Multiplikation zwischen einem Vektor und einem Skalar. Was bei der Addition nicht erlaubt ist, Berechnung mit Skalar und Vektor, geht bei der Multiplikation schon. Die S-Multiplikation wird nun gebildet


bei Vektoren in der Ebene mit

\( \begin{array}{ l*{5}{l} } c \cdot \vec{a} & = & c \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} c \cdot a_1 \\ c \cdot a_2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)



und bei Vektoren im Raum mit

\( \begin{array}{ l*{5}{l} } c \cdot \vec{a} & = & c \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} c \cdot a_1 \\ c \cdot a_2 \\ c \cdot a_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)


Geometrisch kann eine S-Multiplikation veranschaulicht werden mit

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Multiplikationen mit 2 Vektoren

Diese Multiplikationen sind benannt nach ihrem Ergebnis:

  • Skalarprodukt (das Ergebnis ist ein Skalar)
  • Vektorprodukt (das Ergebnis ist ein Vektor), das Vektorprodukt heißt auch Kreuzprodukt gemäß seiner Schreibweise



Skalarprodukt

Das Skalarprodukt kann mit verschiedenen Zeichen geschrieben werden.

Üblich sind: \(\cdot\), \(\circ\), \(\ast\), •

Im Studium in der Disziplin ,,Lineare Algebra'' wird der Mal-Punkt verwendet. Ich bevorzuge und verwende jedoch das Zeichen \(\circ\), um Verwechselungen mit der S-Multiplikation zu vermeiden.


Das Skalarprodukt wird gebildet bei Vektoren in der Ebene mit

\( \begin{array}{ l*{5}{l} } \vec{a} \circ \vec{b} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & a_1 \cdot b_1 \; + \; a_2 \cdot b_2 \end{array} \)


und bei Vektoren im Raum mit

\( \begin{array}{ l*{5}{l} } \vec{a} \circ \vec{b} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & a_1 \cdot b_1 \; + \; a_2 \cdot b_2 \; + \; a_3 \cdot b_3 \end{array} \)



Orthogonalität von Vektoren

Sind zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) orthogonal zueinander, das heißt, dass sie einen 90°-Winkel miteinander bilden, so gilt die Gleichung

\( \vec{a} \circ \vec{b} \; = \; 0 \)


Sind ferner zwei linear unabhängige Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) jeweils orthogonal zu einem dritten Vektor \(\vec{n}\), so ist dieser Vektor der Normalenvektor bezüglich der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). Es gilt dann

\( \vec{a} \circ \vec{n} \; = \; 0 \qquad \textit{und} \qquad \vec{b} \circ \vec{n} \; = \; 0 \)



Aufgaben zur Orthogonalität von Vektoren
  1. Es ist zu prüfen, ob die folgenden Vektoren orthogonal zueinander sind.

    a)   \( \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \), \(\; \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

    b)   \( \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \), \(\; \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

  2. Welchen Wert muss \(c\) haben, damit die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) orthogonal zueinander sind?

    a)   \( \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \), \(\; \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ c \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

    b)   \( \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2c \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \), \(\; \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 3 \\ c \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

    c)   \( \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ -2 \\ 4c \end{array} \right) \end{smallmatrix} \), \(\; \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{l} 2 \\ c^2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

  3. Gegeben sei ein Vektor \(\vec{n} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -5 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \). Wie könnten die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und lauten, damit \(\vec{n}\) der Normalenvektor dieser beiden Vektoren ist?

  4. Wie kann ein Vektor \(\vec{n}\) heißen, wenn die folgenden Vektoren

    \( \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)   und   \( \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 6 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

    gegeben sind?



Lösungen zur Orthogonalität von Vektoren
  1. Die Prüfung erfolgt durch die Bestimmung des Skalarproduktes.

    a)   \( \vec{a} \circ \vec{b} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; = \; 4 \cdot 2 \; - \; 2 \cdot 1 \; + \; 3 \cdot (-2) \; = \; 0 \)

          Die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind orthogonal zueinander.


    b)   \( \vec{a} \circ \vec{b} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; = \; 3 \cdot 2 \; + \; 1 \cdot 4 \; + \; 5 \cdot (-1) \; = \; -5 \; \not= \; 0 \)

          Die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind nicht orthogonal zueinander.


  2. Für die Orthogonalität muss das Skalarprodukt der Vektoren Null sein.

    a)   Es gilt
        \( \begin{array}{ r c l l } \vec{a} \circ \vec{b} & = & 0 \\[5pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2\\ 4 \\ c \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[8pt] 3 \cdot 2 \; + \; 1 \cdot 4 \; + \; 5 \cdot c & = & 0 \\[3pt] 10 \; + \; 5c & = & 0 & | -10 \\[3pt] 5c & = & -10 & | :5 \\[3pt] c & = & -2 \\ \end{array} \)


    b)   Es gilt
        \( \begin{array}{ r c l l } \vec{a} \circ \vec{b} & = & 0 \\[5pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2c \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 5\\ 3 \\ c \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[8pt] 2 \cdot 5 \; + \; 2c \cdot 3 \; + \; 4 \cdot c & = & 0 \\[3pt] 10 \; + \; 10c & = & 0 & | -10 \\[3pt] 10c & = & -10 & | :10 \\[3pt] c & = & -1 \\ \end{array} \)


    c)   Es gilt
        \( \begin{array}{ r c l l } \vec{a} \circ \vec{b} & = & 0 \\[5pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 4c \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2\\ c^2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[8pt] 3 \cdot 2 \; - \; 2 \cdot c^2 \; + \; 4c \cdot 1 & = & 0 \\[3pt] -2c^2 \; + \; 4c \; + \; 6 & = & 0 & | : (-2) \\[3pt] c^2 \; - \; 2c \; - \; 3 & = & 0 & \\[5pt] c_{1,2} & = & -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[8pt] & = & -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-3)}\\[8pt] & = & 1\pm \sqrt{1^2 + 3} \\[5pt] & = & 1\pm \sqrt{4} \\[3pt] & = & 1\pm 2 \\[3pt] c_1 & = & 1 + 2 \; = \; 3 \\[3pt] c_2 & = & 1 - 2 \; = \; -1 \\ \end{array} \)


  3. Für Vektor \(\vec{a}\) wird ein Wert von Vektor \(\vec{n}\) auf Null gesetzt, zum Beispiel der erste Wert. Die anderen beiden Werte werden für Vektor \(\vec{a}\) übernommen, jedoch ihre Positionen vertauscht. Dabei erhält einer der beiden Werte das umgekehrte Vorzeichen. Es ergibt sich damit das Skalarprodukt

    \( \vec{n} \circ \vec{a} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -5 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; = \; -5 \cdot 0 \; + \; 2 \cdot 3 \; + \; 3 \cdot (-2) \; = \; 0 \)

    Für Vektor \(\vec{b}\) wird ein anderer Wert von Vektor \(\vec{n}\) auf Null gesetzt, zum Beispiel der zweite Wert. Ansonsten wird entsprechend wie bei Vektor \(\vec{a}\) verfahren. Hier ergibt sich

    \( \vec{n} \circ \vec{b} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -5 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; = \; -5 \cdot 3 \; + \; 2 \cdot 0 \; + \; 3 \cdot 5 \; = \; 0 \)

    Beide Skalarprodukte ergeben Null. Damit ist Vektor \(\vec{n}\) der Normalenvektor der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).


  4. Zuerst wird ein Gleichungssystem mit der Orthogonalitätsbedingung beider Vektoren aufgestellt.

    \( \begin{array}{ r r c l l } \textrm{I} & \vec{a} \circ \vec{n} & = & 0 \\[3pt] \textrm{II} & \vec{b} \circ \vec{n} & = & 0 \\ \end{array} \)


    \( \begin{array}{ r r c l l } \textrm{I} & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[5pt] \textrm{II} & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 6 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\ \end{array} \)

    Eine Komponente des Normalenvektors wird auf einen Wert festgelegt, zum Beispiel \(n_3\). Dieser sollte ungleich Null sein. Günstig ist \(n_3=1\). Es ergibt sich

    \( \begin{array}{ r r c l l } \textrm{I} & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n_1 \\ n_2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[5pt] \textrm{II} & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 6 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n_1 \\ n_2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\ \end{array} \)

    Die Skalarprodukte werden nun aufgelöst.

    \( \begin{array}{ r r c l l } \textrm{I} & 5 \cdot n_1 \; + \; 2 \cdot n_2 \; + \; 4 \cdot 1 & = & 0 \\[3pt] \textrm{II} & -2 \cdot n_1 \; + \; 6 \cdot n_2 \; + \; 3 \cdot 1 & = & 0 \\ \end{array} \)

    \( \begin{array}{ r r c l l } \textrm{I} & 5n_1 \; + \; 2n_2 \; + \; 4 & = & 0 \\[3pt] \textrm{II} & -2n_1 \; + \; 6n_2 \; + \; 3 & = & 0 \\ \end{array} \)

    Das Gleichungssystem wird nun gelöst.

    \( \left. \begin{array}{ r r c l l } \textrm{I} & 5n_1 \; + \; 2n_2 \; + \; 4 & = & 0 & | \cdot (-3) \\[3pt] \textrm{II} & -2n_1 \; + \; 6n_2 \; + \; 3 & = & 0 \\ \end{array} \right] + \)


    \( \begin{array}{ r r c r l } \textrm{II} & -17n_1 \; - \; 9 & = & 0 & | + 9 \\[3pt] & -17n_1 & = & 9 & | : (-17) \\[3pt] & n_1 & = & -\frac{9}{17} \\ \end{array} \)

    \(n_1\) wird nun in Gleichung \(\textrm{I}\) eingesetzt.

    \( \begin{array}{ r r c l l } \textrm{I} & 5 \cdot \left(-\frac{9}{17}\right) \; + \; 2n_2 \; + \; 4 & = & 0 \\[6pt] & \frac{23}{17} \; + \; 2n_2 & = & 0 & | - \frac{23}{17} \\[6pt] & 2n_2 & = & - \frac{23}{17} & | : 2 \\[6pt] & n_2 & = & - \frac{23}{34} \\ \end{array} \)

    Der Normalenvektor ist damit

    \( \vec{n} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -\frac{9}{17} \\ - \frac{23}{34} \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

    Mit diesem Vektor lässt sich, falls dies gefordert ist, schlecht weiter arbeiten. Da es unendlich viele Normalenvektoren zu den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gibt, nämlich auch alle Vielfachen von diesem Vektor, wird dieser Vektor mit dem Hauptnenner \(34\) multipliziert. Es ergibt sich dann der Normalenvektor

    \( \vec{n} \; = \; 34 \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -\frac{9}{17} \\ -\frac{23}{34} \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -18 \\ -23 \\ 34 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

    Anmerkung:
    Hier wurde bewusst mit krummen Zahlen gearbeitet, um auch den letzten Schritt zeigen zu können. Da es unendlich viele Normalenvektoren gibt, konnte zu Beginn \(n_3\) auf einen beliebigen Wert, in diesem Fall auf \(1\), gesetzt werden.



Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt oder auch Vektorprodukt zweier Vektoren wird mithilfe der Berechnung von Determinanten einer Matrix ermittelt. Was ist nun eine Matrix und ihre Determinante?

Eine Matrix ist eine Anordnung von Elementen, in der Regel Zahlen oder Variablen, die in Zeilen und Spalten vorliegen, ähnlich wie bei einer Tabelle. Als Beispiel folgt eine \((2 \times 2)\) - Matrix, also mit 2 Zeilen und 2 Spalten.

\( \begin{array}{ r c l } \mathbf{M} &= & \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix} \end{array} \)

Ein Vektor kann, zumindest von der Schreibweise her, als eine einspaltige Matrix verstanden werden. Allerdings unterscheiden sich Matrizen und Vektoren in ihren Eigenschaften.

Die Determinante dieser Matrix wird nun folgendermaßen geschrieben und berechnet:

\( \begin{array}{ r c l c l } det \; \mathbf{M} &= & \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{vmatrix} & = & a \cdot d - b \cdot c \\ \end{array} \)

Diese Berechnungsweise kommt im Kreuzprodukt zur Anwendung.

Bis hierhin soll es nun zu Matrizen und Determinanten genügen. Zu einem späteren Zeitpunkt werden diese Themen in Extrabeiträgen ausführlich behandelt.



Normalenvektor

Wie bei der vorherigen Aufgabe zu sehen war, lässt sich der Normalenvektor mit zwei Skalarprodukten berechnen. Einfacher noch geht es mit dem Kreuzprodukt.

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Ist ein Vektor \(\vec{n}\) der Normalenvektor von den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), also orthogonal zu diesen beiden, so kann \(\vec{n}\) mit dem Kreuzprodukt von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) berechnet werden.


Seien nun

\( \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)   und   \( \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

Dann ist

\( \vec{n} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \times \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

Die Berechnung geht nun wie folgt vonstatten: Die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) werden jeweils zweimal untereinander geschrieben und nebeneinander gestellt. Es entsteht quasi eine \((6 \times 2)\) - Matrix. Die erste und die letzte Zeile davon werden gestrichen. Jeweils 2 der verbliebenen Zeilen werden zu Matrizen wie dargestellt zusammengefasst und deren Determinante berechnet.

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Aus den Ergebnisse bildet sich der Normalenvektor mit

\( \vec{n} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ -2 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)



Flächenberechnung mit Vektoren

Die Fläche eines Parallelogramms

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wird berechnet mit dem Betrag des Kreuzproduktes der Vektoren, die dieses Parallelogramm aufspannen.

\( \begin{array}{ r c l } A & = & \begin{vmatrix} \vec{a} \times \vec{b} \\ \end{vmatrix} \\ \end{array} \)

Die Fläche entspricht also dem Betrag des Normalenvektors der Spannvektoren.


Die Fläche eines Dreiecks

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entspricht der Fläche des halben Parallelogramms.

\( \begin{array}{ r c l } A & = & \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \vec{a} \times \vec{b} \\ \end{vmatrix} \\ \end{array} \)


Eine andere Möglichkeit die Fläche eines Dreiecks zu berechnen besteht darin, die Beträge zweier Spannvektor und deren eingeschlossenen Winkel zu verwenden.

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\( \begin{array}{ r c l } A & = & \frac{1}{2} \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot sin(\alpha) \\ \end{array} \)

Da die Berechnung des Winkels aber relativ aufwändig ist, kommt dieses Verfahren eher selten zur Anwendung.



Aufgaben zur Flächenberechnung mit Vektoren
  1. Wie groß ist die Fläche des Parallelogramms

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    mit den Vektoren

      \( \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ -5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)   und   \(\; \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \) ?


  2. Ein Dreieck hat die Eckpunkte \(A(2|4|1)\), \(B(5|6|-3)\), \(C(-1|3|-1)\) sowie den Innenwinkel \( \alpha \approx 81{,}44^\circ \).

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    Wie groß ist das Dreieck, wenn die Fläche mit dem

    a)   Kreuzprodukt,
    b)   den Beträgen und dem Winkel

    berechnet wird?



Lösung zur Flächenberechnung mit Vektoren
  1. Es gilt:

    \( \begin{array}{ r c l } A & = & \begin{vmatrix} \vec{a} \times \vec{b} \\ \end{vmatrix} \\ \end{array} \)

    Das Kreuzprodukt wird berechnet mit

    my image

    Das Kreuzprodukt ist also

    \( \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 23 \\ -19 \\ 10 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

    Dieses eingesetzt ergibt mit der Berechnung des Betrages des Vektors

    \( \begin{array}{ r c l c l } A & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 23 \\ -19 \\ 10 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} & = & \sqrt{23^2 + (-19)^2 + 10^2} & = & 31{,}46 \, \textit{FE}\\ \end{array} \)


  2. Für die Berechnung der Dreiecksfläche
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    werden zunächst die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) benötigt.

    \(\; \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 6 \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

    \(\; \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -1 \\ 3 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -3 \\ -1 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)


    a)   Die Fläche des Dreiecks ist
       
    \(\quad \begin{array}{ r c l } A & = & \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \vec{AB} \times \vec{AC} \\ \end{vmatrix} \\ \end{array} \)

          Das Kreuzprodukt wird berechnet mit

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          Das Kreuzprodukt ist also

    \(\quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -8 \\ 18 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

          Dieses eingesetzt ergibt

    \(\quad \begin{array}{ r c l c l l l } A & = & \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -8 \\ 18 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} & = & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-8)^2 + 18^2 + 3^2} & = & 9{,}96 \, \textit{FE}\\ \end{array} \)


    b)   Die Fläche des Dreiecks ist dieses Mal

    \(\quad \begin{array}{ r c l } A & = & \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot sin(\alpha) \\ \end{array} \)

          Vektoren und Winkel eingesetzt ergibt

    \(\quad \begin{array}{ r c l c l l l } A & = & \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -3 \\ -1 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \cdot sin(81{,}44^\circ) \\[8pt] & = & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3^3 + 2^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{(-3)^3 + (-1)^2 + (-2)^2} \cdot sin(81{,}44^\circ) \\[4pt] & = & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{29} \cdot \sqrt{14} \cdot sin(81{,}44^\circ)\\[3pt] & = & 9{,}96 \, \textit{FE}\\ \end{array} \)



Abituraufgabe zu Rechnen mit Vektoren

Quelle: HMF-Aufgaben, Analytische Geometrie, Abitur 2017, Schleswig-Holstein

Gegeben seien die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \in\mathbb{R}^3\) und die reellen Zahlen \(r\) und \(t\).
Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle an, ob es sich bei dem Ausdruck um einen Vektor oder um eine Zahl (Skalar) handelt oder ob der Ausdruck nicht definiert ist.

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(3 P)


  1. Aufgabe

    \( \begin{array}{ l c l } \vec{a} \times (\vec{b}+r \cdot \vec{c}) & & \\[5pt] = \; \vec{a} \times (\vec{b}+Zahl \cdot Vektor) & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{S-Multiplikation}}\\[5pt] = \; \vec{a} \times (\vec{b}+Vektor) \\[5pt] = \; \vec{a} \times (Vektor+ Vektor) & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Vektoraddition}}\\[5pt] = \; \vec{a} \times Vektor \\[5pt] = \; Vektor \times Vektor & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Vektorprodukt (Kreuzprodukt)}}\\[5pt] \Rightarrow Vektor \\ \end{array} \)


  2. Aufgabe

    \( \begin{array}{ l c l } \vert \vec{a} \vert \times \vec{b} & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Betrag eines Vektors}}\\[5pt] = \; Zahl \times Vektor & & \\[5pt] \Rightarrow nicht \; definiert \\ \end{array} \)


  3. Aufgabe

    \( \begin{array}{ l c l } r \cdot \vec{c}-(\vec{a} \circ \vec{b}) \cdot \vec{c} & & \\[5pt] = \; r \cdot \vec{c}-(Vektor \circ Vektor) \cdot \vec{c} & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Skalarprodukt}}\\[5pt] = \; r \cdot \vec{c}-Zahl \cdot \vec{c} & & \\[5pt] = \; Zahl \cdot Vektor-Zahl \cdot Vektor & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{S-Multiplikation}}\\[5pt] = \; Vektor-Vektor & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\text{Vektoraddition/-subtraktion}}\\[5pt] \Rightarrow Vektor \\ \end{array} \)


  4. Aufgabe

    \( \begin{array}{ l c l } (\vec{a} \circ \vec{a})+(r \cdot \vert \vec{c}\vert)^2 & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Betrag eines Vektors}}\\[5pt] = \; (\vec{a} \circ \vec{a})+(Zahl \cdot Zahl)^2 & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Multiplikation reeller Zahlen}}\\[5pt] = \; (\vec{a} \circ \vec{a})+(Zahl)^2 & & \\[5pt] = \; (\vec{a} \circ \vec{a})+Zahl \cdot Zahl & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Multiplikation reeller Zahlen}}\\[5pt] = \; (\vec{a} \circ \vec{a})+Zahl & & \\[5pt] = \; (Vektor \circ Vektor)+Zahl & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Skalarprodukt}}\\[5pt] = \; Zahl+Zahl & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Addition reeller Zahlen}}\\[5pt] \Rightarrow Zahl \\ \end{array} \)


  5. Aufgabe

    \( \begin{array}{ l c l } \vec{c} \times (t \cdot \vec{a}-r \cdot \vec{b})^2 & & \\[5pt] = \; \vec{c} \times (Zahl \cdot Vektor-Zahl \cdot Vektor)^2 & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Skalarprodukt}}\\[5pt] = \; \vec{c} \times (Vektor-Vektor)^2 & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Vektoraddition/-subtraktion}}\\[5pt] = \; \vec{c} \times (Vektor)^2 & & \\[5pt] = \; \vec{c} \times (Vektor \circ Vektor) & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Skalarprodukt}}\\[5pt] = \; \vec{c} \times Zahl & & \\[5pt] = \; Vektor \times Zahl & & \\[5pt] \Rightarrow nicht \; definiert \\ \end{array} \)


  6. Aufgabe

    \( \begin{array}{ l c l } \vec{b} \times \big(\vec{c}\circ (r \cdot \vec{a})\big) & & \\[5pt] = \; \vec{b} \times \big(\vec{c}\circ (Zahl \cdot Vektor)\big) & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{S-Multiplikation}}\\[5pt] = \; \vec{b} \times (\vec{c}\circ Vektor) & & \\[5pt] = \; \vec{b} \times (Vektor\circ Vektor) & \color{#28a1c5}{\rightarrow} & \color{#28a1c5}{\textrm{Skalarprodukt}}\\[5pt] = \; \vec{b} \times Zahl & & \\[5pt] = \; Vektor \times Zahl & & \\[5pt] \Rightarrow nicht \; definiert \\ \end{array} \)