Scheitelpunktform

Inhaltsverzeichnis

 

Scheitelpunkt und Scheitelpunktform

Als den Scheitelpunkt bezeichnet man den Punkt, wo der Verlauf der Parabel von fallend nach steigend bzw. von steigend nach fallend wechselt. Also ist der Scheitelpunkt bei nach oben geöffneten Parabeln der tiefste Punkt und bei nach unten geöffneten Parabeln der höchste Punkt.

 
Bei der Normalparabel liegt der Scheitelpunkt im Koordinatenursprung.

 
Ist der Scheitelpunkt nun aus dem Koordinatenursprung verschoben, so kann man den Scheitelpunkt S(d | e) in der Scheitelpunktform

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direkt ablesen.

 
In der Regel liegt die quadratische Funktionsgleichung in der allgemeinen Form

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vor.

 


Wie kommt man nun

 

von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform

 
Dazu benötigen wir die ersten beiden binomischen Formeln:

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Beispiel:

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Zunächst muss bei der Scheitelpunktform der Teil

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bestimmt werden. Genauer gesagt, dass x und das d werden gesucht.

 
Offensichtlich entspricht der Term

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dem Term der zweiten binomischen Formel

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Darüber kann nun auf a und b und damit auf den linken Teil

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der binomischen Formel geschlossen werden.

 
Es ist leicht zu erkennen, dass

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ist.

 
Weiter gilt:

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Da a=x ist, muss in dem obigen Beispiel gelten

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Merke:

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 Die Bestimmung der Scheitelpunktform erfolgt nun auf folgende Weise:

 

Scheitelpunktform bei einer verschobenen Normalparabel

Der Term

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wird mit der quadratischen Ergänzung zum vollständigen Binom ergänzt.

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Da die Funktionsgleichung ins Ungleichgewicht kommen würde, wird die Ergänzung gleichzeitig wieder abgezogen.

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Die zum Binom gehörigen Teile können nun umgeformt werden.

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Zusammengefasst ergibt sich die Scheitelpunktform

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mit dem Scheitelpunkt S(2 | 5).



 

Übungen

Zur Einüben und zum Festigen des Verfahrens der quadratischen Ergänzung folgen hier nun einige Aufgaben mit Lösungen.

 
Stelle die Scheitelpunktform der Funktionsgleichungen

  1. \; f(x) = x^2 - 6x + 3
  2. \; f(x) = x^2 + 12x + 32
  3. \; f(x) = x^2 - 3x - 0{,}75

auf.

 
Gib auch jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes an.

 
 
Lösungen





 

Scheitelpunktform bei einer gestreckten Parabel

Bei einer gestreckten Parabel kommt der Streckungsfaktor mit a>1 vor. Ich wähle hier nun ganzzahlige Werte für a. Zu Brüchen kommen wir später.

 
Beispiel:

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Um die quadratische Ergänzung durchführen zu können, muss vorerst die 3 vor dem x^2 ausgeklammert werden. Notwendig ist das Ausklammern nur bei den Teilen, die ein x enthalten.

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Nun kann die quadratische Ergänzung durchführt werden.

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Die zum Binom gehörigen Teile können umgeformt werden.

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also

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Zum Schluss wird ausmultipliziert, so dass der Teil, der nicht zum Binom gehört, also die -4, ohne Klammer steht.

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Es ergibt sich folgender Verlauf:

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Übungen

Stelle die Scheitelpunktform der Funktionsgleichungen

  1. \;f(x) =2x^2 + 16x + 30
  2. \; f(x) = -2x^2 + 20x -40

 
Gib auch die Koordinaten der Scheitelpunkte an.

 
 
Lösungen





 

Scheitelpunktform mit Brüchen

Bei gestauchten und gestreckten Parabeln kann der Streckungsfaktor a als Bruch angegeben sein. Bei gestauchten Parabeln ist der Streckungsfaktor zwingend ein Bruch, denn der Streckungsfaktor muss dann ja zwischen -1 und 1 liegen.

 
Beispiel:

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Um den Wert für die -4 herauszubekommen, wenn nun die \frac{2}{3} ausgeklammert wird, multiplizieren wir den Kehrwert von \frac{2}{3} mit -4.

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Es ergibt sich

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Es folgt die quadratische Ergänzung

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und die Binomumformung:

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Schließlich wird wieder ausmultipliziert

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und zusammengefasst.

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Wir erhalten folgenden Graphen:

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Übungen

Stelle die Scheitelpunktform der Funktionsgleichungen

  1. \; f(x) = \frac{1}{4}x^2 - x - 2
  2.  

  3. \; f(x) = \frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{3}x -\frac{7}{3}
  4.  

  5. \; f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{5}x +\frac{223}{50}

 
Gib auch die Koordinaten der Scheitelpunkte an.

 
 
Lösungen





 

Nullstellenberechnung mit der Scheitelpunktform

Liegt eine quadratische Gleichung in der Scheitelpunktform vor, so lassen sich die Nullstellen relativ unkompliziert ohne Ausklammern oder PQ-Formel berechnen.

 
Beispiel:

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Für die Bestimmung der Nullstellen gilt folgende Bedingung:

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Einsetzen von f(x) :

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Beim Wurzelziehen entstehen 2 Lösungen :

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Übungen

Wie lauten die Nullstellen der Funktion

  1. \; f(x) = (x + 1)^2 - 4
  2. \; f(x) = -\frac{2}{3}(x - 2)^2 + 6

 
 
Lösungen




 

Umformung der Scheitelpunktform in die allgemeine Form

Liegt die quadratische Gleichung in der Scheitelpunktform vor, so wird zunächst das Binom mit der 1. bzw. 2. binomischen Formel

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aufgelöst.

 
Beispiel:

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Es gilt

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Lösungen

Lösungen zur Scheitelpunktform bei einer verschobenen Normalparabel

  1. Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform:
     

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    Es ergibt sich folgender Scheitelpunkt, hier mit dem dazugehörigen Graphen:

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  2.  
     

  3. Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform:
     

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    Es ergibt sich folgender Scheitelpunkt:

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  4.  
     

  5. Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform:
     

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    Es ergibt sich folgender Scheitelpunkt:

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Lösungen zur Scheitelpunktform bei einer gestreckten Parabel

  1. Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform:
     

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    Es ergibt sich folgender Scheitelpunkt, hier mit dem dazugehörigen Graphen:

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  2.  
     

  3. Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform:
     

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    Es ergibt sich folgender Scheitelpunkt:

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Lösungen zur Scheitelpunktform mit Brüchen

  1. Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform:
     

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    Es ergibt sich folgender Scheitelpunkt, hier mit dem dazugehörigen Graphen:

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  2.  
     

  3. Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform:
     

    Rendered by QuickLaTeX.com

     
    Es ergibt sich folgender Scheitelpunkt:

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  4.  
     

  5. Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform:
     

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    Es ergibt sich folgender Scheitelpunkt:

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Lösungen zu Nullstellenberechnung mit der Scheitelpunktform

  1. Bedingung: f(x)=0
     

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     graphisch dargestellt:

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  2.  
     

  3. Bedingung: f(x)=0
     

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    graphisch dargestellt:

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