Spiegeln von Funktionen

my image

Inhalt



Achsenspiegelung

Eine Funktion kann sowohl um die \(x\)-Achse als auch um die \(y\)-Achse gespiegelt werden.

Der Graph einer Funktion \(f\) mit der Funktionsvorschrift \(f(x)\) wird durch



um die \(y\)-Achse gespiegelt und durch



um die \(x\)-Achse gespiegelt.

Es folgen Beispiele zu exponentielle Funktionen (incl. e-Funktion), Logarithmusfunktionen, trigonometrischen Funktionen und ganzrationalen Funktionen.



Spiegelung von exponentiellen Funktionen

Spiegelung um die y-Achse von exponentiellen Funktionen

Eine Funktion \(e^x\) wird laut Achsenspiegelung mit \(e^{-x}\) um die \(y\)-Achse gespiegelt.

my image


Bei Exponentialfunktionen von der Form \(b^x\) mit \(b \not= e\) ist nun mit \(\left(\frac{1}{b}\right)^x\) gespiegelt worden.

my image


Was bedeutet das?

Formen wir jetzt den Ausdruck \(\left(\frac{1}{b}\right)^x\) mit dem 2. Potenzgesetz um, so erhalten wir Folgendes:



Mit



und der Potenzregel für negative Potenzen folgt



Im Grunde ist also \(\left(\frac{1}{b}\right)^x\) das Gleiche wie \(b^{-x}\) . Nur ist bei Exponentialfunktionen die Schreibweise


üblich.


Spiegelung um die x-Achse von exponentiellen Funktionen

Bei der Spiegelung um die \(x\)-Achse bekommen die gespiegelte \(e\)-Funktion

my image


und die gespiegelte exponentielle Funktion

my image


ein Minus vor dem Funktionsterm.



Spiegelung von ganzrationalen Funktionen

Spiegelung um die y-Achse von ganzrationalen Funktionen

Hier wird bei der Spiegelung der \(x\)-Wert negativ.
my image

Es ergeben sich also die Ausdrücke




Spiegelung um die x-Achse von ganzrationalen Funktionen

my image





Spiegelungen von verschobenen ganzrationalen Funktionen

Entsprechend verhält es sich, wenn eine verschobene ganzrationale Funktion vorliegt.

Wir betrachten die Spiegelung um die \(y\)-Achse

my image

und die Spiegelung um die \(x\)-Achse.

my image


Offensichtlich entstehen in diesem Fall dieselben Graphen. Hier scheint es sich um eine punktsymmetrische Funktion \(f\) zu handeln. Wie entsteht nun eine Punktsymmetrie?

Aber vorerst zurück zu den obigen Spiegelungen. Wir erhalten folgende Funktionsterme:




Spiegelung von trigonometrischen Funktionen

Spiegelung um die y-Achse von trigonometrischen Funktionen


my image

mit



Spiegelung um die x-Achse von trigonometrischen Funktionen


my image

mit




Spiegelung von Logarithmusfunktionen

Spiegelung um die y-Achse von Logarithmusfunktionen


my image


Beachte:

Der Logarithmus kann nur aus positiven Zahlen gezogen werden.


Also gilt



Spiegelung um die x-Achse von Logarithmusfunktionen


my image



Es gilt