Streckung und Stauchung von Funktionen

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Inhalt


Das Strecken und Stauchen von Funktion kann am besten anhand von trigonometrischen Funktionen deutlich gemacht werden.

 

Streckung und Stauchung von trigonometrischen Funktionen

Streckung und Stauchung in y-Richtung


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Zieht man eine Kugel, die an einer Feder hängt, nach unten und lässt los, so beginnt die Feder zu schwingen. In zeitlicher Abfolge nimmt die Kugel Positionen gemäß einer Sinuskurve ein. Die Auslenkung aus der Ruhelage der Feder nennt man Amplitude.

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Die Amplitude gibt die Streckung der Funktion



durch



mit dem Parameter \(a\) an. Dabei gilt:

  • a > 1 :   Streckung der Sinusfunktion
  • a < 1 :   Stauchung der Sinusfunktion

Negative \(a\)-Werte ergeben eine Spiegelung um die \(x\)-Achse.


Streckung und Stauchung in x-Richtung

Bei der allgemeinen Gleichung der trigonometrischen Funktionen



ist der Parameter \(b\) verantwortlich für die Streckung/Stauchung in \(x\)-Richtung.

Nach einer Schwingung der Feder im obigen Modell kehren die Funktionswerte periodisch wieder. Wir sprechen bei den trigonometrischen Funktionen von periodischen Funktionen.

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Bei der Funktion von \(sin(x)\) hat eine Periode die .

Das bedeutet, dass der Parameter \(b\) gleichzeitig die Frequenz, also wie häufig eine Periode auf \(2 \pi\) vorkommt.

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Beim roten Graphen sind also 3 komplette Schwingungen auf der Länge von \(2 \pi\) enthalten.


 

Streckung und Stauchung von exponentiellen Funktionen

Streckung und Stauchung in \(x\)-Richtung von exponentiellen Funktionen

Bei Funktion vom Typ \(b^x\) wird die Streckung (Stauchung) in \(x\)-Richtung durch die Basis \(b\) der Potenz gesteuert.

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Dabei bewirkt

  • b < 1 eine Stauchung des Graphen der Funktion
  • b > 1 eine Streckung des Graphen der Funktion


Es gilt, dass \(b\) stets positiv ist und alle Graphen durch den Punkt \((0 | 1)\) laufen.


Streckung und Stauchung in \(y\)-Richtung von exponentiellen Funktionen

Die Streckung (Stauchung) in \(y\)-Richtung in der Form



wird durch den Parameter \(a\) bestimmt. Jeder Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 | a)\).

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Negative \(a\)-Werte bewirken eine Spiegelung des Graphen um die \(x\)-Achse.


 

Streckung und Stauchung von e-Funktionen

Streckung und Stauchung in \(x\)-Richtung von e-Funktionen

Die Streckung und Stauchung in \(x\)-Richtung einer \(e\)-Funktion entspricht im Prinzip der einer exponentiellen Funktion. Nur ist die Basis jetzt schon belegt mit \(e\). Wir müssen also \(b^x\) umschreiben in



Dies können wir durch die Umkehrung \(ln(x)\) des Ausdrucks \(e^x\) erreichen, denn es gelten die Beziehungen :



Wir verwenden also



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Für wachsende \(e\)-Funktionen ist \(k > 0\). Dabei bewirkt

  • k < 1 eine Stauchung des Graphen der Funktion
  • k > 1 eine Streckung des Graphen der Funktion

Negative \(k\)-Werte bewirken eine Spiegelung des Graphen um die \(y\)-Achse.



Streckung und Stauchung in \(y\)-Richtung von e-Funktionen

Eine Streckung/Stauchung in \(y\)-Richtung einer \(e\)-Funktion erfolgt entsprechend der exponentiellen Funktionen mit



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Streckung und Stauchung von ganzrationalen Funktionen

Im Gegensatz zu den anderen Funktionstypen ist es hier üblich, nur in \(y\)-Richtung zu strecken oder zu stauchen. Bei in der Form



bildet der Parameter \(a\) den Streckungsfaktor. Eine Ausnahme stellt das Polynom



dar. Hier handelt es sich um eine lineare Funktion, die wie folgt notiert wird :



\(m\) bezeichnet dabei die Steigung der Funktion, die durch eine Gerade darstellt wird.

Als Beispiel der Streckung und Stauchung von betrachten wir die Potenzfunktion



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Es gilt

  • a < 1 bewirkt eine Stauchung der
  • a > 1 bewirkt eine Streckung der Normalparabel

Negative \(a\)-Werte bewirken eine Spiegelung des Graphen um die \(x\)-Achse.