Substitution

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Um die Gleichung

\(\quad 0 = x^4 - 13x^2 + 36 \)

zu lösen, wird ein Ausdruck ersetzt (substituiert).



biquadratische Gleichung

\(\quad \begin{array}{ r c l } z & = & x^2 \\[6pt] 0 & = & z^2- 13z+ 36 \\ \end{array} \)


Weiter geht es mit der PQ-Formel :

\(\quad \begin{array}{ r c l l } z_{1,2} & = & -\frac{p}{2 }\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[8pt] z_{1,2} & = & -\frac{-13}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-13}{2}\right)^2-36} \\[8pt] z_{1,2} & = & \frac{13}{2} \pm \sqrt{\frac{169}{4}-36} & | \; \text{erweitern} \\[8pt] z_{1,2} & = & \frac{13}{2} \pm \sqrt{\frac{169}{4}-\frac{144}{4}} \\[8pt] z_{1,2} & = & \frac{13}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} & | \; \text{Wurzelgesetz} \\[8pt] z_{1,2} & = & \frac{13}{2} \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} \\[8pt] z_{1,2} & = & \frac{13}{2} \pm \frac{5}{2} \\[8pt] z_1 & = & \frac{18}{2} = 9 \\[6pt] z_2 & = & \frac{8}{2} =4 \\ \end{array} \)


Die \(x\)-Werte bekommen wir, indem wir resubstituieren:

\(\quad \begin{array}{ r c r l } x^2 & = & z & \\[16pt] x^2 & = & 9 & | \sqrt{\dots} \\[6pt] x_1 & = & 3 & \\[6pt] x_2 & = & -3 & \\[16pt] x^2 & = & 4 & | \sqrt{\dots} \\[6pt] x_3 & = & 2 & \\[6pt] x_4 & = & -2 & \\ \end{array} \)


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triquadratische Gleichung

Es sind natürlich auch Substitutionen höheren Grades möglich.

\(\quad 0 = x^6 - 9x^3 - 8 \)


\(x^3\) ist in beiden \(x\)-Termen enthalten.

\(\quad \begin{array}{ r c l } z & = & x^3 \\ 0 & = & z^2 - 7z - 8 \\ \end{array} \)


Eingesetzt in die PQ-Formel :

\(\quad \begin{array}{ r c l l } z_{1,2} & = & -\frac{p}{2 }\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[8pt] z_{1,2} & = & -\frac{-7}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-7}{2}\right)^2+8} \\[8pt] z_{1,2} & = & \frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}+8} & | \; \text{erweitern} \\[8pt] z_{1,2} & = & \frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}+\frac{32}{4}} \\[8pt] z_{1,2} & = & \frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4}} & | \; \text{Wurzelgesetz} \\[8pt] z_{1,2} & = & \frac{7}{2} \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}} \\[8pt] z_{1,2} & = & \frac{7}{2} \pm \frac{9}{2} \\[8pt] z_1 & = & \frac{16}{2} = 8 \\[6pt] z_2 & = & -\frac{2}{2} =- 1 \\ \end{array} \)


Hinweis: Im Gegensatz zu Wurzeln mit einem geraden Wurzelgrad kann man bei Wurzel mit einem ungeraden Wurzelgrad auch von einer negativen Zahl die Wurzel ziehen.

\(\quad \begin{array}{ r l } 3\cdot 3 & = 9 \\[6pt] -3 \cdot (-3)& = 9 \\ \end{array} \)


aber:

\(\quad \begin{array}{ r c r l r c r } 2 \cdot 2\cdot 2 & = & 8 & \quad \Rightarrow \quad & \sqrt[3]{8} & =& 2 \\[6pt] -2 \cdot (-2) \cdot (-2) \quad & = & -8 & \quad \Rightarrow & \sqrt[3]{-8} & = &-2\\ \end{array} \)


Weiter mit der Resubstitution:

\(\quad \begin{array}{ r c l l l } x^3 & = & 8 & & | \sqrt[3]{\dots} \\[6pt] x_1 & = & 2 & \\[16pt] x^3 & = & -1 & & | \sqrt[3]{\dots} \\[6pt] x_2 & = & -1 & \\ \end{array} \)


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