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Was ist Symmetrie?

Zunächst einige Vorbetrachtungen:

 
Bei dem Buchstaben M handelt es sich um einen symmetrischen Buchstaben,

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denn es lässt sich eine Symmetrieachse anlegen, so dass jeder Punkt des Buchstabens um die Symmetrieachse gespiegelt ist.

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Betrachten wir nun den Buchstaben Z. Dieser scheint auch irgendwie symmetrisch zu sein, aber nicht wie bei dem Buchstaben M. Denn wie wir hier die Symmetrieachse auch anlegen, würden die Spiegelpunkte immer auf den verkehrten Seite liegen.

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Vielmehr handelt es sich hier um eine Drehsymmetrie. Das heißt, dass jeder Punkt um einen Zentrumspunkt um 180° gedreht ist.

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Man kann auch sagen, dass jeder Punkt um diesen Zentrumspunkt gespiegelt ist.

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Symmetrische Funktionen

Wir wenden nun die Symmetrie auf Funktionen an:

 

Symmetrie per Achsenspiegelung

Nach den obigen Betrachtungen sind diese beiden Funktionsgraphen symmetrisch.

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Spiegelung an der y-Achse

Wir möchten den Begriff symmetrisch aber nun enger fassen. Im Folgenden soll eine Funktion dann symmetrisch sein, wenn sie um die y-Achse gespiegelt ist.

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Das heißt, dass wir den Inhalt des I. und IV. Quadranten spiegelverkehrt im II. und III. Quadranten wiederfinden.

 

Zweifache Achsenspiegelung

Die andere Art der Symmetrie ist eine Drehspiegelung um den Koordinatenursprung.

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Das heißt, dass der Inhalt des I. Quadranten um 180° gedreht im III. Quadranten und dass der Inhalt des II. Quadranten um 180° gedreht im IV. Quadranten vorzufinden ist.

 
Die Drehspiegelung können wir auch als eine Spiegelung zunächst um eine und anschließend um die andere Achse auffassen. Das heißt, dass die obige Funktion um die y-Achse gespiegelt folgenden Graphen ergibt:

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Eine weitere Spiegelung um die x-Achse ergibt diesen Graphen,

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was genau der ursprüngliche Graph ist.
 
Folglich ist die Funktion symmetrisch um den Koordinatenursprung.

 

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Achsensymmetrie

Für achsensymmetrische Funktionen gilt die Bedingung

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Wie man leicht erkennen kann, haben alle Punkte mit positiven x-Wert den gleichen Funktionswert wie die entsprechenden Punkte mit negativen x-Wert bei der Gauß’schen Glockenkurve der Normalverteilung

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Wir überprüfen die Achsensymmetrie, indem wir f(-x) bestimmen.

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Die Bedingung ist für alle Punkte der Funktion erfüllt und damit die Achsensymmetrie nachgewiesen.

 

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Punktsymmetrie

Die Bedingung für Punktsymmetrie ist

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Wir untersuchen dies am Beispiel der Funktion

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Wir ermitteln f(-x)

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Es liegt eine Punktsymmetrie vor,

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denn bei jedem Punkt mit negativem x-Wert ist der Funktionswert der Funktionswert mit umgekehrten Vorzeichen im Vergleich zu den Punkten mit entsprechenden positivem x-Wert.
 

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Beispiel einer vollständigen Symmetrieuntersuchung

Wir nehmen als Beispiel die Funktion

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und prüfen zunächst die Achsensymmetrie mit der Bedingung

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Wir ermitteln f(-x):

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Weiter prüfen wir die Bedingung

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und ermitteln -f(x):

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Die Funktion ist weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch.

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Es liegt also keine Symmetrie vor.

 

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Symmetrien ganz-rationaler Funktionen

Einige Vorüberlegungen:

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Wir können also erkennen:

  • (-x)^n mit geradem n ergibt eine positive Potenz
  • (-x)^n mit ungeradem n ergibt eine negative Potenz

 
Daraus lassen sich die Regeln für ganz-rationale Funktionen ableiten:

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und

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