Verhalten im Unendlichen

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Inhalt


Das Verhalten im Unendlichen zählt zu den, ich nenne es einmal allgemeine Eigenschaften einer Funktion, ebenso wie die Symmetrie oder der Definitionsbereich einer Funktion.

 

Randverhalten

Das Verhalten für \(x \to \infty\) oder \(x \to - \infty\) wird auch als das Randverhalten einer Funktion bezeichnet.

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Das heißt nun: Wie verhält sich die Funktion am linken und am rechten Rand? Geht sie nach oben oder nach unten?

 

Grenzwertverhalten

Die Frage ist also, welchen Wert für \(f(x)\) die Funktion annimmt, wenn \(x\) nun \(\pm \infty\) groß wird. Nun ist es aber so, dass wir mit reellen Zahlen arbeiten, die so definiert sind, dass alle \(x\)-Werte (und auch \(y\)-Werte) stets größer als \(-\infty\) und stets kleiner als \(\infty\) sind. Deshalb können wir \(f(x)\) auch nur beschreiben für \(x\)-Werte, die nahezu unendlich groß werden.

Wir schreiben \(\lim \limits_{x \to \infty} f(x)\), was den \(y\)-Wert dafür ausdrückt, dass \(x\) den Grenzwert (limes) dafür annimmt, dass \(x\) gegen unendlich geht.

In der obigen Abbildung haben wir dann

 

Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen

Wenn \(x \to \infty\) strebt bei Potenzen der Form \(x^n\) mit \(x \in \mathbb{R}\) und \(n \in \mathbb{N}\), gilt stets



Strebt \(x \to -\infty\), so liegt der Fall etwas anders. Als Beispiele sind hier die Grenzwerte für \(n \in \{2, \; 3, \; 4, \; 5\}\) aufgeführt.


Strebt \(x \to -\infty\), so ist

  • \(\lim \limits_{x \to -\infty} x^n = \infty\) , wenn \(n\) eine gerade Zahl ist

  • \(\lim \limits_{x \to -\infty} x^n = -\infty\) , wenn \(n\) eine ungerade Zahl ist


Liegt nun der Term \(ax^n\) mit \(a \in \mathbb{R}\) vor, so ändert sich das Vorzeichen des Grenzwertes, wenn \(a\) eine negative Zahl ist. So ist



Haben wir eine ganzrationale Funktion (Polynom) in der Form



so ist allein der Term \(a_nx^n\) ausschlaggebend für das Verhalten \(\to \pm \infty\).

Beispiel:



denn


 

Verhalten im Unendlichen bei e-Funktionen

Grenzwert einer e-Funktion

Wollen wie den Grenzwert einer \(e\)-Funktion ermitteln, so kann neben den nicht fassbaren (divergenten) Grenzwerten \(\infty\) und \(-\infty\) auch ein fassbarer (konvergenter) Grenzwert vorkommen. Betrachten wir dazu zunächst die Funktion



für alle \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x > 0\). So stellen wir fest,

x
f(x)
1
1
10
0,1
100
0,01
1000
0,001
10000
0,0001
100000
0,00001



dass für größer werdende \(x\)-Werte der \(y\)-Wert immer kleiner wird, jedoch immer positiv bleibt.

Die Frage ist nun:

Welchen Wert nimmt die Funktion an, wenn \(x\) unendlich groß wird und wie können wir das beschreiben?

 

Größte untere Schranke

Auf direktem Wege ist dies nicht leicht zu beschreiben. Wir schauen uns das Feld um den Wertebereich herum an. Wo kommt die Funktion \(f\) nun vor? Und wo kommt sie in \(y\)-Richtung betrachtet nicht vor?

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In der gibt es den Begriff der Schranke.

Es ist zu erkennen, dass für alle positiven \(x\)-Werte sich eine obere Schranke nicht beschreiben lässt, im Gegensatz zu einer unteren Schranke. Als untere Schranke bezeichnet man Werte, die von der Funktion \(f\) nicht unterschritten werden. Zum Beispiel sind \(a = -10\) oder \(a = -2\) untere Schranken der Funktion \(f\). Es ist nun nicht zwingend notwendig, dass die Funktion \(f\) diese Schranke erreicht.

Uns interessiert nun die größte untere Schranke, die von dem Wert \(0\) gebildet wird. In diesem Fall strebt die Funktion \(f\) in \(y\)-Richtung diesem Wert entgegen, denn die \(y\)-Werte werden immer kleiner, bleiben jedoch stets positiv.

Der Grenzwert (Limes) der Funktion wird nun durch diese Schranke ausgedrückt. Wir schreiben



Dies gilt auch für den Term \(\dfrac{1}{e^x}\) mit


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Asymptote einer e-Funktion

Eine \(e\)-Funktion kann natürlich auch verschoben sein, zum Beispiel in der Höhe.


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Wie hier zu sehen ist strebt \(f(x)\) für \(x \to \infty\) dem Wert \(1\)entgegen. Dieser Wert wird die Asymptote \(y_A = 1\) genannt.

Eine Asymptote ist eine Funktion, hier eine Gerade, an die sich die zu untersuchende Funktion im Unendlichen anschmiegt.

Wir können das rechnerisch nachprüfen:



Mit den Potenzregeln gilt



und weiter gilt nach den Regeln für Grenzwerte



Damit erhalten wir



Weiter geht es mit dem linken Rand:



Diese Funktion verhält sich also nur am rechten Rand asymptotisch. Dasgleiche kann natürlich auf der linken Seite sein. Dazu nehmen wir jetzt eine verschobene und gleichzeitig um die \(x\)-Achse gespiegelte Funktion.



Betrachten wir zunächst den linken Rand:



Und noch den rechten Rand:



Wir erhalten folgenden Graphen:

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begrenztes Wachstum

Im Zusammenhang mit der Asymptote einer \(e\)-Funktion spielt das begrenzte Wachstum eine herausragende Rolle. Mit dem begrenzten Wachstum wird oft das Wachstumsverhalten einer Pflanze beschrieben. Es gibt aber auch andere Anwendungsfälle.

Das begrenzte Wachstum wird beschrieben durch



oder auch, wenn das \(S\) ausgeklammert wird,



In der 1. Schreibweise können wir erkennen, dass wir es mit Spiegelungen, Streckungen und Verschiebungen einer \(e\)-Funktion zu tun haben. Wie sieht nun die Funktion



graphisch aus?


Spiegelung

Ausgehend von der Funktion \(e^t\) spiegeln wir diese um beide Achsen.

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Wir erhalten mit \(-e^{-t}\) schon einmal einen wachsenden Graphen, wobei das Höhenwachstum sich permanent verringert, was ja auch dem Wachstumsverhalten einer Pflanze entspricht.


Verschiebung

\(S\) steht für die Wachstumsgrenze und ist gleichzeitig die Asymptote der Funktion. Wir verschieben die Funktion um \(8 \; m\) nach oben

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mit



Streckung in y-Richtung

Die Pflanze wurde gepflanzt als sie eine Höhe von \(80 \; cm\) hatte.

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Damit der Graph durch den richtigen Startwert verläuft, muss die Abweichung von der Wachstumsgrenze auf das \(7{,}2\)-fache gestreckt werden. Dafür ist der Parameter \(a\) verantwortlich und wir erhalten



Streckung in x-Richtung

Nun ist das Wachstum der Pflanze aber unverhältnismäßig stark angestiegen. Um das zu korrigieren, strecken wir den Graphen noch in \(x\)-Richtung mit dem Parameter \(k\) und erhalten



Klammern wir nun die \(8\) noch aus,



so erhalten wir auch die eingangs notierte Funktion.

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Verhalten im Unendlichen bei zusammengesetzten Funktionen

Funktionen können in verschiedener Weise zusammengesetzt sein, wie ich es schon bei der Nullstellenberechnung gezeigt habe. Beim Verhalten im Unendlichen konzentriere ich mich auf Multiplikationen/Divisionen von einer ganzrationalen Funktion und einer \(e\)-Funktion. Dazu folgen 2 Beispiele.


Beispiel 1



Wir berechnen zunächst den Grenzwert für \(x \to \infty\).



Wir bekommen hier einen Ausdruck in der Form \(\infty \cdot \infty\) heraus. Das ergibt wiederum \(\infty\).


Weiter berechnen wir den Grenzwert für \(x \to -\infty\) mithilfe der Potenzregeln :



In diesem Fall bekommen wir einen Ausdruck in der Form \(\frac{\infty}{\infty}\) heraus.

 

Satz von L’Hospital

Liegen unbestimmte Ausdrücke in der Art \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\) vor, so werden deren Grenzwerte in der Regel mit dem berechnet.

Sind bei einem Ausdruck \(\frac{g(x)}{h(x)}\) sowohl \(g\) als auch \(h\) an einer Stelle \(x_0\) differenzierbar und stetig in ihrer Ableitungsfunktion, so gilt



Die obengenannte Regel lässt sich auch für \(x_0 = \infty\) anwenden und kann mehrfach durchgeführt werden.

Im Beispiel wird nun der Grenzwert für



Sowohl ganzrationale Funktion als auch e-Funktionen sind für alle \(x \in \mathbb{R}\) differenzierbar und auch sie selbst und ihre Ableitungsfunktionen stetig. Deshalb gilt dies auch für \(g\) und \(h\).



Dieser Ausdruck ist ebenfalls von der Form \(\frac{\infty}{\infty}\). Wir wenden den Satz von L’Hospital erneut an.



Insgesamt strebt die Funktion linksseitig asymptotisch gegen Null.

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Beispiel 2



Wir berechnen zunächst den Grenzwert für \(x \to \infty\).



Wir bekommen hier einen Ausdruck in der Form \(\frac{\infty}{\infty}\) heraus und berechnen weiter mit dem Satz von L’Hospital.



Wir betrachten nun den Ausdruck \(e^{x^2}\).

Wir können die Substitution \(z = x^2\) anwenden, denn es gilt \(\lim \limits_{x \to \infty} x^2 = \infty \;\) und \(\; \lim \limits_{z \to \infty} z = \infty\). Damit erhalten wir



Entsprechend ist



und der Graph strebt für \(x \to \pm \infty\) gegen Null.

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Vereinfachte Berechnung für das Verhalten gegen Unendlich von Produktfunktionen

Haben wir es wie bei den vorangegangenen Beispielen es mit einer ganzrationalen Funktion und einer e-Funktion zu tun, so würde die ganzrationale Funktion durch einfaches bzw. mehrfaches Ableiten stets verschwinden. Daraus folgt, dass der Grenzwert nur von der \(e\)-Funktion berecchnet werden muss. Wir wenden uns nun noch einmal den beiden Beispielen von oben zu.


Beispiel 1



Wir berechnen als erstes den Grenzwert für \(x \to \infty\)



und weiter den Grenzwert für \(x \to -\infty\). Hierbei ist es wichtig, das Minus vor dem \(x\) durch Umformung zu beseitigen.



Die Funktion strebt linksseitig asymptotisch gegen Null.

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Beispiel 2



Wir berechnen den Grenzwert für \(x \to \pm \infty\).



Die Funktion strebt beidseitig asymptotisch gegen Null.

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