Verhalten im Unendlichen

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Das Verhalten im Unendlichen zählt zu den, ich nenne es einmal allgemeine Eigenschaften einer Funktion, ebenso wie die Symmetrie oder der Definitionsbereich einer Funktion.

Das Verhalten für x \to \infty oder x \to - \infty wird auch als das Randverhalten einer Funktion bezeichnet.

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Grenzwertverhalten

Für die reellen Zahlen ist \infty ( und auch -\infty ) nicht definiert, sondern nur alle konkreten Zahlen zwischen -\infty und \infty. Deshalb können wir f(x) auch nur beschreiben für x-Werte, die nahezu unendlich groß werden.

Wir schreiben \lim \limits_{x \to \infty} f(x), was den y-Wert dafür ausdrückt, dass x den Grenzwert (limes) dafür annimmt, dass x gegen unendlich geht.

In der obigen Abbildung haben wir dann

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Das Verhalten im Unendlichen spielt bei ganzrationalen Funktionen, e-Funktionen und Logarithmusfunktionen sowie bei deren Kombinationen eine wichtige Rolle.

 

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Verhalten im Unendlichen bei e-Funktionen

e-Funktionen weisen ein asymptotisches Verhalten auf.

 
Beispiel:

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Dass heißt, dass f(x) einem konkreten Wert entgegen strebt, allerdings nur auf der einen Seite, in diesem Fall rechts.

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Wir prüfen dies rechnerisch:

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Mit den Potenzregeln gilt

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und ferner gilt

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Damit erhalten wir

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Weiter geht es mit dem linken Rand:

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Verhalten im Unendlichen bei zusammengesetzten Funktionen

Häufig sind Funktionen aus einer ganz-rationalen Funktion und einer e-Funktion zusammengesetzt.

 
Beispiel:

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Es gilt

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Bei einer ganz-rationalen Funktion ist das x mit dem größten Exponenten ausschlaggebend. Es folgt

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Für die e-Funktion gilt

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Insgesamt erhalten wir also

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Für den linken Rand gilt

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Im Einzelnen betrachtet:

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und

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Wir bekommen hier einen Ausdruck \infty \cdot 0. Wenn etwas mit Null multipliziert wird, kommt Null heraus. Andererseits gilt auch, dass eine Multiplikation mit unendlich wieder unendlich ergibt.

Solche Fälle, also \infty \cdot 0 oder 0 \cdot \infty werden regulär mit dem Satz von L’Hospital gelöst. Darauf möchte ich an dieser Stelle nicht eingehen. Denn dieser Satz wird nicht im Lehrplan des Abiturs Schleswig-Holsteins aufgeführt. Statt dessen verwenden wir ein Vorgehen für den “einfachen Hausgebrauch“.

Wir sagen nun, dass eine dieser beiden Grenzwertverhalten überwiegt, also dass f(x) gegen unendlich geht oder dass f(x) gegen Null geht. Dazu erstellen wir eine Wertetabelle.

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Es ist leicht zu erkennen, das die e-Funktion wesentlich schneller anwächst. Damit ist
\frac{1}{e^{x^3}} dominant und es gilt

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Tatsächlich ist unendlich im Exponenten einer e-Funktion stets dominierend gegenüber einem unendlich in einer ganz-rationalen Funktion.

 
Wir erhalten folgenden Graphen:

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Asymptote

Eine Asymptote ist eine Funktion, oft eine Gerade, an die sich die zu untersuchende Funktion für x \to \pm \infty anschmiegt.

 
Beispiel:

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Asymptoten sind bei e-Funktionen und bei gebrochen-rationalen Funktionen wie in diesem Beispiel anzutreffen. Wir ermitteln von dieser Funktion f mit

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sowie anderer gebrochen-rationaler Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

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Der Teil vor dem Rest bildet die Asymptote

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In diesem Fall haben wir also eine Geradengleichung.

 

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