Verschieben von Funktionen
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Funktionen können nach links oder rechts und nach oben oder unten verschoben werden. Wir betrachten nun dies bei ganzrationalen Funktionen, e-Funktionen und trigonometrischen Funktionen.
Am Besten kann man die Verschiebung bei trigonometrischen Funktionen sehen.
Verschieben von trigonometrischen Funktionen
Verschieben in x-Richtung von trigonometrischen Funktionen
Bei der allgemeinen Gleichung der trigonometrischen Funktionen
\(\quad f(x) \; = \; a \cdot sin \big( b \cdot (x - c) \big) + d \)
ist der Parameter \(c\) verantwortlich für die Verschiebung des Graphen in \(x\)-Richtung.
Dabei ist zu beachten, dass in der allgemeinen Gleichung \(x - c\) steht, was dann auch so notiert werden muss. Das heißt, dass bei einer Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts muss die verschobene Funktion
\(\quad f(x) \; = \; sin(x - 1) \)
lauten und bei einer Verschiebung um \(1\) Einheit nach links
\(\quad f(x) \; = \; sin\big(x - (-1)\big) \; = \; sin(x + 1) \)
Verschieben in y-Richtung von trigonometrischen Funktionen
Verschieben wir weiter die obige Funktion zu einer Funktion \(g\) um 2 Einheiten nach oben,
so entsteht nach der , wobei der Parameter \(d\) die Höhenverschiebung angibt,
\(\quad f(x) \; = \; sin(x - 1) + 2 \)
Verschieben von e-Funktionen
Eine gestreckte und gestauchte und verschobene \(e\)-Funktion ist allgemein von der Form
\(\quad f(x) \; = \; a \cdot e^{b \cdot (x - c)} +d \)
Dabei geben \(c\) und \(d\) entsprechend der trigonometrischen Funktionen die Verschiebungen an.
\(e^x\) sei um \(0{,}5\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben verschoben.
Aus den Verschiebungen ergibt sich die Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung
\(\quad f(x) \; = \; e^{x - 0{,}5} +1 \)
Verschieben von ganzrationalen Funktionen
Entsprechend der Verschiebung trigonometrischer Funktionen werden ganzrationale Funktionen verschoben.
Ganzrationale Funktionen können als die Summe von Potenzfunktionen aufgefasst werden.
Deren Verschiebung werden auf folgende Weise notiert:
Seitliche Verschiebung von Potenzfunktionen
Beachte:
''Bei Verschiebung in x-Richtung müssen wir immer das umgekehrte Vorzeichen nehmen.''
Höhenverschiebung von Potenzfunktionen
Verschiebung von Polynomen
Die Verschiebung wird nun angewendet auf ein Polynom, zusammengesetzt aus mehreren Potenzfunktionen, mit beispielsweise einer Funktion \(f\) ,
\(\quad f(x) \; = \; 0{,}25x^3 - 1{,}5x^2 + 0{,}75x + 2{,}5 \)
die um \(2\) Einheiten nach rechts und \(1{,}5\) Einheiten nach oben versetzt wird.
Es ergibt sich eine Funktion \(g\) mit
\(\quad g(x) \; = \; 0{,}25 \cdot (x-2)^3 - 1{,}5 \cdot (x-2)^2 + 0{,}75 \cdot (x-2) + 4 \)
Beachte: Jeder \(x\)-Wert erhält die gleiche Verschiebung.