Zahlenbereiche

 

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Zahlenbereiche und Zahlenmengen

Bei den Zahlenmengen handelt es um Mengen, die Zahlen beschreiben. Jedoch lassen sich nur Elemente aus der Menge der natürlichen Zahlen und Elemente aus der Menge der ganzen Zahlen in aufzählender Weise (mit Fortsetzungspunkten) schreiben, da sie konktrete Nachfolger haben.

Bei der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der reellen Zahlen ist es wohl sinnvoller von Zahlenbereichen zu sprechen.

Es werden dennoch die Begriffe Zahlenmenge und Zahlenbereich synonym verwendet.

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Darstellung der Zahlenmengen (Zahlenbereiche)

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Menge der natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen wird geschrieben als

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{N}} = \{1, \, 2, \, 3, \dots \}}} \end{equation*}

und bezeichnet alle möglichen Anzahlen der in der Natur abzählbaren Objekt. Dabei zählt die Null nicht zu den natürlichen Zahlen.

Soll die Null bei unserer Menge mit enthalten sein, so gibt es die Schreibweise

    \begin{equation*} \mathlarger{{\mathbb{{N}}_0}= \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \dots \}} \end{equation*}

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Menge der ganzen Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen wird geschrieben als

    \begin{equation*} \mathlarger{{\mathbb{Z}} = \{\dots,\, -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3, \dots \}} \end{equation*}

und beinhaltet die ganzen Zahlen zwischen -\infty und \infty.

Möchte man nur die negativen ganzen Zahlen beschreiben, ist dies möglich mit

    \begin{equation*} \mathlarger{{\mathbb{Z}^{-}} = \{\dots,\, -3, \, -2, \, -1\}} \end{equation*}

bzw. die positiven ganzen Zahlen mit

    \begin{equation*} \mathlarger{{\mathbb{Z}^{+}} = \{ 1, \, 2, \, 3, \dots \}} \end{equation*}

was ja identisch ist mit der Menge der natürlichen Zahlen.

Soll die Null mit enthalten sein, kann man schreiben

    \begin{equation*} \mathlarger{{\mathbb{Z}_{0}^{-}} = \{\dots,\, -3, \, -2, \, -1, \, 0\}} \end{equation*}

oder

    \begin{equation*} \mathlarger{{\mathbb{Z}_{0}^{+}} = \{ 0, \, 1, \, 2, \, 3, \dots \}} \end{equation*}

Oft braucht man die ganze Zahlen ohne die Null:

    \begin{equation*} \mathlarger{{\mathbb{Z} \setminus \{0\}} = \{\dots,\, -3, \, -2, \, -1, \, 1, \, 2, \, 3, \dots \}} \end{equation*}

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Menge der rationalen Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen ist definiert mit

    \begin{equation*} \mathlarger{\mathlarger{\mathbb{Q} = \bigl{\{} x \, \bigl{|} \, x= \mathsmaller{\frac{p}{q}} \, , \, p\in\mathbb{Z} \, , \, q \in\mathbb{Z}\setminus \{0\} \bigr{\}} \, }} \end{equation*}

und beschreibt die Menge aller Bruchzahlen.

Damit wird die Menge der ganzen Zahlen mit Werten zwischen 2 benachbarten ganzen Zahlen erweitert.

Entsprechend der ganzen Zahlen können auch hier nur Teilbereiche der rationalen Zahlen betrachtet werden.

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{2.1} \begin{array}{ l } \renewcommand\arraystretch{2.1} \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{Q}^{-}} = \{x \, | \, x < 0\} \, , \, x \in\mathbb{Q} \} }}\\  \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{Q}_{0}^{-}} = \{x \, | \, x \leq 0\} \, , \, x \in\mathbb{Q} \} }}\\  \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{Q}^{+}} = \{x \, | \, x > 0\} \, , \, x \in\mathbb{Q} \} }}\\ \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{Q}_{0}^{+}} = \{x \, | \, x \geq 0\} \, , \, x \in\mathbb{Q} \} }}\\ \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{Q} \setminus \{0\}} = \{x \, | \, x < 0\} \, \cup \, x > 0\} \, , \, x \in\mathbb{Q} \} }}\\ \end{array} \end{equation*}

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Menge der reellen Zahlen

Um die Lücken zwischen 2 rationalen Zahlen zu schließen, werden die rationalen Zahlen bei den reellen Zahlen um die irrationalen Zahlen ergänzt.

Dazu zählen \pi , die Eulersche Zahl e, sowie Wurzeln, die nicht als rationale Zahlen ausgedrückt werden können.

Damit ist der ganze Bereich zwischen -\infty und \infty übergangslos abgedeckt.

Ebenso wie bei den ganzen Zahlen können hier nur Teile der reellen Zahlen betrachtet werden:

    \begin{equation*} \renewcommand\arraystretch{2.1} \begin{array}{ l } \renewcommand\arraystretch{2.1} \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{R}^{-}} = \{x \, | \, x < 0 \} \, , \, x \in\mathbb{R} \}}} \\ \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{R}_{0}^{-}} = \{x \, | \, x \leq 0\} \, , \, x \in\mathbb{R} \}}} \\ \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{R}^{+}} = \{x \, | \, x > 0\} \, , \, x \in\mathbb{R} \}}} \\ \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{R}_{0}^{+}} = \{x \, | \, x \geq 0\} \, , \, x \in\mathbb{R} \}}} \\ \mathlarger{\mathlarger{{\mathbb{R} \setminus \{0\}} = \{x \, | \, x < 0\} \, \cup \, x > 0\} \, , \, x \in\mathbb{R} \}}} \\ \end{array} \end{equation*}

Der Bereich der reelllen Zahlen lässt sich noch erweitern zu den Bereich der komplexen Zahlen. Mehr dazu im Blogbeitrag der Diskriminante.

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Testfrage

Zahlenbereiche

Welche Mengen sind gleich?

 


 

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